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やりなおしの数学・微分積分篇(26/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

www.rokakuho.co.jp

今日のまとめ

  • 多変数関数においても極限、(一様)連続、最大値(最小値)の存在および中間値の定理が定義できる。

7. 多変数関数の微分

 2つ以上の変数を持つ関数(多変数関数)の微分およびその応用を取り扱う。まずは2変数関数を中心に扱い、その後に一般のn(\geq2)変数関数の場合を扱う。

7.2 関数の極限と連続性

 本節では、一般のn(\geq2)変数関数でも全く同様に定義できることから、2変数関数で議論する。

 A\subset\mathbb{R}^2で定義された関数f:A\rightarrow \mathbb{R},(x,y)\propto f(x,y)を考える。\boldsymbol{x}_0\in\bar{A}として、\boldsymbol{x}\in Aが限りなく\boldsymbol{x}_0に近づくとき、関数値f(\boldsymbol{x})\alpha\in\mathbb{R}に限りなく近づくことを次のように定める。

7.2.1 多変数関数の極限


多変数関数の極限 任意に与えた\varepsilon\gt0に対して適当に\delta\gt0を選ぶとA\ni\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{x}_0U(\boldsymbol{x}_0;\delta)に属する限り

\begin{aligned}
\left|f(\boldsymbol{x})-\alpha\right|\lt\varepsilon
\end{aligned}

が成り立つとき、


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x}_0}f(\boldsymbol{x})=\alpha},\ f(\boldsymbol{x})\rightarrow\alpha(\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x}_0)
\end{aligned}

と表す。

 特に\boldsymbol{x}_0\in Aについて


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x}_0}f(\boldsymbol{x})}=f(\boldsymbol{x}_0)
\end{aligned}

が成り立つとき、f(\boldsymbol{x})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0において連続であるという。{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in Aにおいてf(\boldsymbol{x})が連続であるとき、f(\boldsymbol{x})A上で連続であるという。
 この“連続”という概念をより厳しくした条件として一様連続がある。

7.2.2 多変数関数の一様連続性


多変数関数における一様連続 A\subset\mathbb{R}^2において定義された関数f(\boldsymbol{x})

\begin{aligned}
{}^{\forall}\varepsilon\gt0({}^{\exists}\delta\gt0({}^{\forall}\boldsymbol{x},{}^{\forall}\boldsymbol{x}^{\prime}\in A\ s.t.\ d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}^{\prime})\lt\delta(|f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x}^{\prime})|\lt\varepsilon)))
\end{aligned}

を満たすとき、f(\boldsymbol{x})A上で一様連続であるという。

7.2.3 多変数関数の収束性


多変数関数値の収束 f(\boldsymbol{x})A\subset\mathbb{R}^2で定義された関数とし、\boldsymbol{x}_0\in\bar{A}とする。このとき以下の2条件は同値である。

  1. f(\boldsymbol{x})\rightarrow\alpha(\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x}_0)
  2. \boldsymbol{x}_n\rightarrow\boldsymbol{x}_0(n\rightarrow\infty)を満たすような任意の点列\{\boldsymbol{x}_n\}_{n\geq1}\subset Aに対してf(\boldsymbol{x}_n)\rightarrow\alpha(n\rightarrow\infty)

(\because 1.\Rightarrow2.を示すべく1.を仮定する。\varepsilon\gt0を任意に与えたとき、仮定から\delta\gt0が存在し、\boldsymbol{x}_0でない\boldsymbol{x}\in AU(\boldsymbol{x}_0;\delta)に属しているならば

\begin{aligned}
\left|f(\boldsymbol{x})-\alpha\right|\lt\varepsilon
\end{aligned}

が成り立つ。
 いま\{\boldsymbol{x}_n\}_{n\geq1}A上の点列で\boldsymbol{x}_0に収束するとする。このとき適当にN\mathbb{N}を選ぶと{}^{\forall}n\geq Nに対してd(\boldsymbol{x}_n,\boldsymbol{x}_0)\lt\deltaが成り立つ。したがってn\geq Nならば\left|f(\boldsymbol{x})-\alpha\right|\lt\varepsilonが成り立つ。
 次に2.\Rightarrow1.を示すべく、2.を仮定したときに1.が成り立たないと仮定する。このとき\varepsilon_0\gt0が存在し、任意のn\in\mathbb{N}に対して\boldsymbol{x}_n\in Aが存在して


\begin{aligned}
\boldsymbol{x}_n\in U\left(\boldsymbol{x}_0;\displaystyle{\frac{1}{n}}\right)\land |f(\boldsymbol{x}_n)-\alpha|\geq\varepsilon_0
\end{aligned}

となる。\{\boldsymbol{x}_n\}の選び方から


\begin{aligned}
d(\boldsymbol{x}_n,\boldsymbol{x}_0)\lt\displaystyle{\frac{1}{n},n=1,2,\cdots}
\end{aligned}

が成り立つから\boldsymbol{x}_n\rightarrow \boldsymbol{x}_0(n\rightarrow\infty)が成立する。しかしf(\boldsymbol{x}_n)\rightarrow\alpha(n\rightarrow\infty)が成り立たないから2. も成立しないこととなる。したがってこの対偶、すなわち2.\Rightarrow1.が示された。 \blacksquare)

7.2.4 多変数関数における最大値・最小値の存在性


連続な多変数関数における最大値・最小値の存在性 \mathbb{R}^2有界閉集合上で定義された連続な関数は、その集合上で最大値および最小値を取る。
(\because 有界閉集合K\subset\mathbb{R}^2上で定義された連続関数z=f(\boldsymbol{x}),\ \boldsymbol{x}\in Kを考える。
 まずf(\boldsymbol{x})K上で有界であることを示す。f(\boldsymbol{x})有界関数でないと仮定する。このとき任意のn\in \mathbb{N}に対して\boldsymbol{x}_n\in Kが存在し、

\begin{aligned}
\left|f(\boldsymbol{x}_n)\right|\geq n
\end{aligned}

が成立する。K有界集合であるから点列\{\boldsymbol{x}_n\}有界点列である。したがってこの点列には


\begin{aligned}
\boldsymbol{x}_{n_i}\rightarrow\boldsymbol{x}_0(i\rightarrow\infty)
\end{aligned}

を満たすような部分列\{\boldsymbol{x}_{n_i}\}_{i\geq1}および点\boldsymbol{x}_0\in\mathbb{R}^2が存在する。
 K閉集合であるから、\boldsymbol{x}_0\in Kである。仮定からf(\boldsymbol{x})は連続であるからf(\boldsymbol{x}_{n_i})\rightarrow f(\boldsymbol{x}_0)(i\rightarrow\infty)が成り立つ。しかしこれは


\begin{aligned}
\left|f(\boldsymbol{x}_n)\right|\geq n
\end{aligned}

に矛盾する。したがってf(\boldsymbol{x})K上で有界である。
 次に最大値・最小値の存在性を示す。既に示したとおり、集合A=\{f(\boldsymbol{x})|\boldsymbol{x}\in K\}\mathbb{R}における有界集合である。したがってAの上限\alpha=\sup{A}が存在する。上限の定義から、各n\in\mathbb{N}に対して


\begin{aligned}
\alpha-\displaystyle{\frac{1}{n}}\leq f(\boldsymbol{x}_n)\leq\alpha
\end{aligned}

を満たすような\boldsymbol{x}_n\in Kが存在する。
 \{\boldsymbol{x}_n\}有界点列であるから、


\begin{aligned}
\boldsymbol{x}_{n_i}\rightarrow\boldsymbol{x}_0(i\rightarrow\infty)
\end{aligned}

を満たすような\{\boldsymbol{x}\}部分列\{\boldsymbol{x}_{n_i}\}_{i\geq1}および\boldsymbol{x}_0\in Kが存在する。
 更にf(\boldsymbol{x})の連続性からf(\boldsymbol{x}_{n_i})\rightarrow f(\boldsymbol{x}_0)(i\rightarrow\infty)が成立する。他方で前述した


\begin{aligned}
\alpha-\displaystyle{\frac{1}{n}}\leq f(\boldsymbol{x}_n)\leq\alpha
\end{aligned}

により


\begin{aligned}
f(\boldsymbol{x}_{n_i})\rightarrow\alpha(i\rightarrow\infty)
\end{aligned}

であるから、f(\boldsymbol{x}_0)=\alphaである。以上から、f(\boldsymbol{x})K上で最大値\alpha=f(\boldsymbol{x}_0)を取ることが示された。
 他方で有界性からAには下限\inf{A}が存在する。上限と同様の議論をすることで最小値の存在も示すことが出来る。 \blacksquare)

7.2.5 連続な多変数関数の一様連続性


連続な多変数関数の一様連続性 \mathbb{R}^2有界閉集合上で定義された連続関数はその集合上で一様連続である。
(\because \mathbb{R}^2における有界閉集合K上で連続な関数f(\boldsymbol{x}),\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2を考える。もしf(\boldsymbol{x})K上で一様連続でないと仮定すると、\varepsilon_0\gt0が存在し、任意のn\in\mathbb{N}に対して\boldsymbol{x}_n,{\boldsymbol{x}}^{\prime}_n\in Kを適当に選ぶと、d(\boldsymbol{x}_n,{\boldsymbol{x}}^{\prime}_n)\lt\displaystyle{\frac{1}{n}}かつ

\begin{aligned}
\left|f(\boldsymbol{x}_n)-f({\boldsymbol{x}}^{\prime}_n)\right|\geq\varepsilon_0,\ n=1,2,\cdots
\end{aligned}

が成り立つ。\{\boldsymbol{x}_n\},\{{\boldsymbol{x}}^{\prime}_n\}有界点列でK閉集合であるから、\boldsymbol{x}_n\rightarrow \boldsymbol{x}_0\land {\boldsymbol{x}}^{\prime}_n\rightarrow \boldsymbol{x}_0(i\rightarrow\infty)が成り立つような部分列\{\boldsymbol{x}_{n_i}\},\{{\boldsymbol{x}}^{\prime}_{n_i}\}および\boldsymbol{x}_0,{\boldsymbol{x}}^{\prime}_0\in Kが存在する。しかしd(\boldsymbol{x}_n,\boldsymbol{x}_n^{\prime})\rightarrow0(i\rightarrow\infty)であるから、d(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_0^{\prime})=0が成り立ち、したがって\boldsymbol{x}_0=\boldsymbol{x}_0^{\prime}である。更にf(\boldsymbol{x})は連続であるから


\begin{aligned}
f(\boldsymbol{x}_{n_i})-f(\boldsymbol{x}_{n_i}^{\prime})\rightarrow f(\boldsymbol{x}_0)-f(\boldsymbol{x}_0)=0(i\rightarrow\infty)
\end{aligned}

となるが、これは前述した


\begin{aligned}
\left|f(\boldsymbol{x}_n)-f({\boldsymbol{x}}^{\prime}_n)\right|\geq\varepsilon_0\gt0,\ n=1,2,\cdots
\end{aligned}

に反する。したがってf(\boldsymbol{x})K上で一様連続である。 \blacksquare)

7.2.5 多変数関数における中間値の定理


中間値の定理(2変数関数) A\mathbb{R}^2の弧状連結な集合とし、f(\boldsymbol{x})A上での連続な関数とする。{}^{\forall}\boldsymbol{x},{}^{\forall}\boldsymbol{y}\in Aおよび

\begin{aligned}
{}^{\forall}\mu\in\mathbb{R}\ s.t.\ \min\{f(\boldsymbol{x}),f(\boldsymbol{y})\}\leq\mu\leq\max\{f(\boldsymbol{x}),f(\boldsymbol{y})\} 
\end{aligned}
に対して

\begin{aligned}
{}^{\exists}\boldsymbol{x}_0\in A\ s.t.\ \mu=f(\boldsymbol{x}_0)
\end{aligned}

が成立する。

(\because \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in Aを取り、Aに含まれる連続な曲線c(t),t\in[0,1],c(0)=\boldsymbol{x},c(1)=\boldsymbol{y}を考える。いまg(t)=f(c(t)),\ 0\leq t\leq1を考えると、g(t)[0,1]上の連続関数でg(0)=f(\boldsymbol{x}),g(1)=f(\boldsymbol{y})である。\min\{g(0),g(1)\}\leq\mu\leq\max\{g(0),g(1)\}であるから、1変数関数の中間値の定理を適用することで

\begin{aligned}
{}^{\exists}t_0\in[0,1]\ s.t.\ g(t_0)=\mu
\end{aligned}

が成り立つ。このとき\boldsymbol{x}_0=c(t_0)が求めたかった点である。 \blacksquare)

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