やりなおしの数学・微分積分篇（26/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

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今日のまとめ
7.　多変数関数の微分
- 7.2　関数の極限と連続性
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今日のまとめ

多変数関数においても極限、（一様）連続、最大値（最小値）の存在および中間値の定理が定義できる。

7.　多変数関数の微分

　2つ以上の変数を持つ関数（多変数関数）の微分およびその応用を取り扱う。まずは2変数関数を中心に扱い、その後に一般の $n(\geq2)$ 変数関数の場合を扱う。

7.2　関数の極限と連続性

　本節では、一般の $n(\geq2)$ 変数関数でも全く同様に定義できることから、2変数関数で議論する。

　 $A\subset\mathbb{R}^2$ で定義された関数 $f:A\rightarrow \mathbb{R},(x,y)\propto f(x,y)$ を考える。 $\boldsymbol{x}_0\in\bar{A}$ として、 $\boldsymbol{x}\in A$ が限りなく $\boldsymbol{x}_0$ に近づくとき、関数値 $f(\boldsymbol{x})$ が $\alpha\in\mathbb{R}$ に限りなく近づくことを次のように定める。

7.2.1　多変数関数の極限

多変数関数の極限　任意に与えた $\varepsilon\gt0$ に対して適当に $\delta\gt0$ を選ぶと $A\ni\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{x}_0$ が $U(\boldsymbol{x}_0;\delta)$ に属する限り

$\begin{aligned} \left|f(\boldsymbol{x})-\alpha\right|\lt\varepsilon \end{aligned}$

が成り立つとき、

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x}_0}f(\boldsymbol{x})=\alpha},\ f(\boldsymbol{x})\rightarrow\alpha(\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x}_0) \end{aligned}$

と表す。

　特に $\boldsymbol{x}_0\in A$ について

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x}_0}f(\boldsymbol{x})}=f(\boldsymbol{x}_0) \end{aligned}$

が成り立つとき、 $f(\boldsymbol{x})$ は $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0$ において連続であるという。 ${}^{\forall}\boldsymbol{x}\in A$ において $f(\boldsymbol{x})$ が連続であるとき、 $f(\boldsymbol{x})$ は $A$ 上で連続であるという。
　この“連続”という概念をより厳しくした条件として一様連続がある。

7.2.2　多変数関数の一様連続性

多変数関数における一様連続　 $A\subset\mathbb{R}^2$ において定義された関数 $f(\boldsymbol{x})$ が

$\begin{aligned} {}^{\forall}\varepsilon\gt0({}^{\exists}\delta\gt0({}^{\forall}\boldsymbol{x},{}^{\forall}\boldsymbol{x}^{\prime}\in A\ s.t.\ d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}^{\prime})\lt\delta(|f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x}^{\prime})|\lt\varepsilon))) \end{aligned}$

を満たすとき、 $f(\boldsymbol{x})$ は $A$ 上で一様連続であるという。

7.2.3　多変数関数の収束性

多変数関数値の収束　 $f(\boldsymbol{x})$ を $A\subset\mathbb{R}^2$ で定義された関数とし、 $\boldsymbol{x}_0\in\bar{A}$ とする。このとき以下の2条件は同値である。

$f(\boldsymbol{x})\rightarrow\alpha(\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x}_0)$
$\boldsymbol{x}_n\rightarrow\boldsymbol{x}_0(n\rightarrow\infty)$ を満たすような任意の点列 $\{\boldsymbol{x}_n\}_{n\geq1}\subset A$ に対して $f(\boldsymbol{x}_n)\rightarrow\alpha(n\rightarrow\infty)$

( $\because$ 　1. $\Rightarrow$ 2.を示すべく1.を仮定する。 $\varepsilon\gt0$ を任意に与えたとき、仮定から $\delta\gt0$ が存在し、 $\boldsymbol{x}_0$ でない $\boldsymbol{x}\in A$ が $U(\boldsymbol{x}_0;\delta)$ に属しているならば

$\begin{aligned} \left|f(\boldsymbol{x})-\alpha\right|\lt\varepsilon \end{aligned}$

が成り立つ。
　いま $\{\boldsymbol{x}_n\}_{n\geq1}$ を $A$ 上の点列で $\boldsymbol{x}_0$ に収束するとする。このとき適当に $N\mathbb{N}$ を選ぶと ${}^{\forall}n\geq N$ に対して $d(\boldsymbol{x}_n,\boldsymbol{x}_0)\lt\delta$ が成り立つ。したがって $n\geq N$ ならば $\left|f(\boldsymbol{x})-\alpha\right|\lt\varepsilon$ が成り立つ。
　次に2. $\Rightarrow$ 1.を示すべく、2.を仮定したときに1.が成り立たないと仮定する。このとき $\varepsilon_0\gt0$ が存在し、任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して $\boldsymbol{x}_n\in A$ が存在して

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}_n\in U\left(\boldsymbol{x}_0;\displaystyle{\frac{1}{n}}\right)\land |f(\boldsymbol{x}_n)-\alpha|\geq\varepsilon_0 \end{aligned}$

となる。 $\{\boldsymbol{x}_n\}$ の選び方から

$\begin{aligned} d(\boldsymbol{x}_n,\boldsymbol{x}_0)\lt\displaystyle{\frac{1}{n},n=1,2,\cdots} \end{aligned}$

が成り立つから $\boldsymbol{x}_n\rightarrow \boldsymbol{x}_0(n\rightarrow\infty)$ が成立する。しかし $f(\boldsymbol{x}_n)\rightarrow\alpha(n\rightarrow\infty)$ が成り立たないから2. も成立しないこととなる。したがってこの対偶、すなわち2. $\Rightarrow$ 1.が示された。　 $\blacksquare$ )

7.2.4　多変数関数における最大値・最小値の存在性

連続な多変数関数における最大値・最小値の存在性　 $\mathbb{R}^2$ の有界閉集合上で定義された連続な関数は、その集合上で最大値および最小値を取る。

( $\because$ 　有界閉集合 $K\subset\mathbb{R}^2$ 上で定義された連続関数 $z=f(\boldsymbol{x}),\ \boldsymbol{x}\in K$ を考える。
　まず $f(\boldsymbol{x})$ が $K$ 上で有界であることを示す。 $f(\boldsymbol{x})$ が有界関数でないと仮定する。このとき任意の $n\in \mathbb{N}$ に対して $\boldsymbol{x}_n\in K$ が存在し、

$\begin{aligned} \left|f(\boldsymbol{x}_n)\right|\geq n \end{aligned}$

が成立する。 $K$ は有界集合であるから点列 $\{\boldsymbol{x}_n\}$ は有界点列である。したがってこの点列には

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}_{n_i}\rightarrow\boldsymbol{x}_0(i\rightarrow\infty) \end{aligned}$

を満たすような部分列 $\{\boldsymbol{x}_{n_i}\}_{i\geq1}$ および点 $\boldsymbol{x}_0\in\mathbb{R}^2$ が存在する。
　 $K$ は閉集合であるから、 $\boldsymbol{x}_0\in K$ である。仮定から $f(\boldsymbol{x})$ は連続であるから $f(\boldsymbol{x}_{n_i})\rightarrow f(\boldsymbol{x}_0)(i\rightarrow\infty)$ が成り立つ。しかしこれは

$\begin{aligned} \left|f(\boldsymbol{x}_n)\right|\geq n \end{aligned}$

に矛盾する。したがって $f(\boldsymbol{x})$ は $K$ 上で有界である。
　次に最大値・最小値の存在性を示す。既に示したとおり、集合 $A=\{f(\boldsymbol{x})|\boldsymbol{x}\in K\}$ は $\mathbb{R}$ における有界集合である。したがって $A$ の上限 $\alpha=\sup{A}$ が存在する。上限の定義から、各 $n\in\mathbb{N}$ に対して

$\begin{aligned} \alpha-\displaystyle{\frac{1}{n}}\leq f(\boldsymbol{x}_n)\leq\alpha \end{aligned}$

を満たすような $\boldsymbol{x}_n\in K$ が存在する。
　 $\{\boldsymbol{x}_n\}$ は有界点列であるから、

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}_{n_i}\rightarrow\boldsymbol{x}_0(i\rightarrow\infty) \end{aligned}$

を満たすような $\{\boldsymbol{x}\}$ 部分列 $\{\boldsymbol{x}_{n_i}\}_{i\geq1}$ および $\boldsymbol{x}_0\in K$ が存在する。
　更に $f(\boldsymbol{x})$ の連続性から $f(\boldsymbol{x}_{n_i})\rightarrow f(\boldsymbol{x}_0)(i\rightarrow\infty)$ が成立する。他方で前述した

$\begin{aligned} \alpha-\displaystyle{\frac{1}{n}}\leq f(\boldsymbol{x}_n)\leq\alpha \end{aligned}$

により

$\begin{aligned} f(\boldsymbol{x}_{n_i})\rightarrow\alpha(i\rightarrow\infty) \end{aligned}$

であるから、 $f(\boldsymbol{x}_0)=\alpha$ である。以上から、 $f(\boldsymbol{x})$ は $K$ 上で最大値 $\alpha=f(\boldsymbol{x}_0)$ を取ることが示された。
　他方で有界性から $A$ には下限 $\inf{A}$ が存在する。上限と同様の議論をすることで最小値の存在も示すことが出来る。　 $\blacksquare$ )

7.2.5　連続な多変数関数の一様連続性

連続な多変数関数の一様連続性　 $\mathbb{R}^2$ の有界閉集合上で定義された連続関数はその集合上で一様連続である。

( $\because$ 　 $\mathbb{R}^2$ における有界閉集合 $K$ 上で連続な関数 $f(\boldsymbol{x}),\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2$ を考える。もし $f(\boldsymbol{x})$ が $K$ 上で一様連続でないと仮定すると、 $\varepsilon_0\gt0$ が存在し、任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して $\boldsymbol{x}_n,{\boldsymbol{x}}^{\prime}_n\in K$ を適当に選ぶと、 $d(\boldsymbol{x}_n,{\boldsymbol{x}}^{\prime}_n)\lt\displaystyle{\frac{1}{n}}$ かつ

$\begin{aligned} \left|f(\boldsymbol{x}_n)-f({\boldsymbol{x}}^{\prime}_n)\right|\geq\varepsilon_0,\ n=1,2,\cdots \end{aligned}$

が成り立つ。 $\{\boldsymbol{x}_n\},\{{\boldsymbol{x}}^{\prime}_n\}$ は有界点列で $K$ は閉集合であるから、 $\boldsymbol{x}_n\rightarrow \boldsymbol{x}_0\land {\boldsymbol{x}}^{\prime}_n\rightarrow \boldsymbol{x}_0(i\rightarrow\infty)$ が成り立つような部分列 $\{\boldsymbol{x}_{n_i}\},\{{\boldsymbol{x}}^{\prime}_{n_i}\}$ および $\boldsymbol{x}_0,{\boldsymbol{x}}^{\prime}_0\in K$ が存在する。しかし $d(\boldsymbol{x}_n,\boldsymbol{x}_n^{\prime})\rightarrow0(i\rightarrow\infty)$ であるから、 $d(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_0^{\prime})=0$ が成り立ち、したがって $\boldsymbol{x}_0=\boldsymbol{x}_0^{\prime}$ である。更に $f(\boldsymbol{x})$ は連続であるから

$\begin{aligned} f(\boldsymbol{x}_{n_i})-f(\boldsymbol{x}_{n_i}^{\prime})\rightarrow f(\boldsymbol{x}_0)-f(\boldsymbol{x}_0)=0(i\rightarrow\infty) \end{aligned}$

となるが、これは前述した

$\begin{aligned} \left|f(\boldsymbol{x}_n)-f({\boldsymbol{x}}^{\prime}_n)\right|\geq\varepsilon_0\gt0,\ n=1,2,\cdots \end{aligned}$

に反する。したがって $f(\boldsymbol{x})$ は $K$ 上で一様連続である。　 $\blacksquare$ )

7.2.5　多変数関数における中間値の定理

中間値の定理（2変数関数）　 $A$ を $\mathbb{R}^2$ の弧状連結な集合とし、 $f(\boldsymbol{x})$ を $A$ 上での連続な関数とする。 ${}^{\forall}\boldsymbol{x},{}^{\forall}\boldsymbol{y}\in A$ および

$\begin{aligned} {}^{\forall}\mu\in\mathbb{R}\ s.t.\ \min\{f(\boldsymbol{x}),f(\boldsymbol{y})\}\leq\mu\leq\max\{f(\boldsymbol{x}),f(\boldsymbol{y})\} \end{aligned}$

に対して

$\begin{aligned} {}^{\exists}\boldsymbol{x}_0\in A\ s.t.\ \mu=f(\boldsymbol{x}_0) \end{aligned}$

が成立する。

( $\because$ 　 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in A$ を取り、 $A$ に含まれる連続な曲線 $c(t),t\in[0,1],c(0)=\boldsymbol{x},c(1)=\boldsymbol{y}$ を考える。いま $g(t)=f(c(t)),\ 0\leq t\leq1$ を考えると、 $g(t)$ は $[0,1]$ 上の連続関数で $g(0)=f(\boldsymbol{x}),g(1)=f(\boldsymbol{y})$ である。 $\min\{g(0),g(1)\}\leq\mu\leq\max\{g(0),g(1)\}$ であるから、1変数関数の中間値の定理を適用することで

$\begin{aligned} {}^{\exists}t_0\in[0,1]\ s.t.\ g(t_0)=\mu \end{aligned}$

が成り立つ。このとき $\boldsymbol{x}_0=c(t_0)$ が求めたかった点である。　 $\blacksquare$ )

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今日のまとめ

7. 多変数関数の微分

7.2 関数の極限と連続性

7.2.1 多変数関数の極限

7.2.2 多変数関数の一様連続性

7.2.3 多変数関数の収束性

7.2.4 多変数関数における最大値・最小値の存在性

7.2.5 連続な多変数関数の一様連続性

7.2.5 多変数関数における中間値の定理

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