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今日のまとめ
- 多変数関数においても極限、(一様)連続、最大値(最小値)の存在および中間値の定理が定義できる。
7. 多変数関数の微分
2つ以上の変数を持つ関数(多変数関数)の微分およびその応用を取り扱う。まずは2変数関数を中心に扱い、その後に一般の変数関数の場合を扱う。
7.2 関数の極限と連続性
本節では、一般の変数関数でも全く同様に定義できることから、2変数関数で議論する。
で定義された関数
を考える。
として、
が限りなく
に近づくとき、関数値
が
に限りなく近づくことを次のように定める。
7.2.1 多変数関数の極限
多変数関数の極限 任意に与えた
が成り立つとき、
と表す。
特にについて
が成り立つとき、は
において連続であるという。
において
が連続であるとき、
は
上で連続であるという。
この“連続”という概念をより厳しくした条件として一様連続がある。
7.2.2 多変数関数の一様連続性
多変数関数における一様連続
を満たすとき、は
上で一様連続であるという。
7.2.3 多変数関数の収束性
多変数関数値の収束
を満たすような任意の点列
に対して
が成り立つ。
いまを
上の点列で
に収束するとする。このとき適当に
を選ぶと
に対して
が成り立つ。したがって
ならば
が成り立つ。
次に2.1.を示すべく、2.を仮定したときに1.が成り立たないと仮定する。このとき
が存在し、任意の
に対して
が存在して
となる。の選び方から
が成り立つからが成立する。しかし
が成り立たないから2. も成立しないこととなる。したがってこの対偶、すなわち2.
1.が示された。
)
7.2.4 多変数関数における最大値・最小値の存在性
(まず
が成立する。は有界集合であるから点列
は有界点列である。したがってこの点列には
を満たすような部分列および点
が存在する。
は閉集合であるから、
である。仮定から
は連続であるから
が成り立つ。しかしこれは
に矛盾する。したがっては
上で有界である。
次に最大値・最小値の存在性を示す。既に示したとおり、集合は
における有界集合である。したがって
の上限
が存在する。上限の定義から、各
に対して
を満たすようなが存在する。
は有界点列であるから、
を満たすような部分列
および
が存在する。
更にの連続性から
が成立する。他方で前述した
により
であるから、である。以上から、
は
上で最大値
を取ることが示された。
他方で有界性からには下限
が存在する。上限と同様の議論をすることで最小値の存在も示すことが出来る。
)
7.2.5 連続な多変数関数の一様連続性
(が成り立つ。は有界点列で
は閉集合であるから、
が成り立つような部分列
および
が存在する。しかし
であるから、
が成り立ち、したがって
である。更に
は連続であるから
となるが、これは前述した
に反する。したがっては
上で一様連続である。
)
7.2.5 多変数関数における中間値の定理
中間値の定理(2変数関数)
が成立する。
が成り立つ。このときが求めたかった点である。
)