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一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。目下、データ分析・語学に力点を置いています。今月(2022年10月)からは多忙につき、日々の投稿数を減らします。

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やりなおしの数学・微分積分篇(65/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 連続関数における零点の存在を示す。

10. ベクトル解析

 本節ではベクトル値写像を扱う。

10.4 Gaussの発散定理、Stokesの定理

10.4.6 Brouwerの不動点定理

 \mathbb{R}^2における\mathrm{Brouwer}不動点定理を議論する。前回示した以下の定理


零点の存在 \boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)=\begin{bmatrix}f_1(x,y)\\f_2(x,y)\end{bmatrix}Bの近傍で定義されたC^2写像で、\partial Bの近傍で\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)を満たすものとする。このとき\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}_0\right)=\boldsymbol{0}を満たすような\boldsymbol{x}_0\in Bが存在する。

を連続関数に拡張する。


連続関数における零点の存在 \boldsymbol{f}:B\rightarrow\mathbb{R}^2を、すべての\boldsymbol{x}\in\partial Bに対して\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}を満たす連続写像だとする。このとき\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)=\boldsymbol{0}を満たす\boldsymbol{x}_0\in Bが存在する。

 これを示すべく以下の補題をまずは示す。



連続関数のC^{\infty}級関数による近似 g:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}はある有界閉集合K\subset\mathbb{R}^nに対して


\begin{aligned}
g(\boldsymbol{x})=0,x\in\mathbb{R}^n\setminus K
\end{aligned}

を満たすような連続関数だとする。このとき{}^{\forall}\varepsilon\gt0に対して


\begin{aligned}
{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n\setminus K_{\varepsilon}\left(g_{\varepsilon}(\boldsymbol{x})=0,\displaystyle{\sup_{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n}\left|g_{\varepsilon}(\boldsymbol{x})-g(\boldsymbol{x})\right|}\leq\varepsilon\right)
\end{aligned}

を満たすようなC^{\infty}級関数g_{\varepsilon}(\boldsymbol{x}):\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}が存在する。ここでK_{\varepsilon}=\left\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n\left|\right.\displaystyle{\inf_{\boldsymbol{y}\in K}\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right|\leq\varepsilon}\right\}である。

(\because g(\boldsymbol{x}):\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}


\begin{aligned}
g(\boldsymbol{x})=0,x\in\mathbb{R}^n\setminus K
\end{aligned}

を満たすような連続写像だとする。このときg_{\rho}(\boldsymbol{x})


\begin{aligned}
g_{\rho}(\boldsymbol{y})=\displaystyle{\int\cdots\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_{\rho}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})g(\boldsymbol{y})dy_1\cdots dy_n}
\end{aligned}

で定義する。ここでC^{\infty}級関数\varphi:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}


\begin{aligned}
&{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n\left(\varphi(\boldsymbol{x})\geq0\right),\\
&{}^{\forall}\boldsymbol{x}\ \mathrm{s.t.}\ \left|\boldsymbol{x}\right|\geq1\left(\varphi(\boldsymbol{x})=0\right),\\
&\displaystyle{\int\cdots\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(\boldsymbol{x})dx_1\cdots dx_n}=1
\end{aligned}

を満たすような関数として、\rho\gt0を取って\varphi_{\rho}(\boldsymbol{x})=\displaystyle{\frac{1}{\rho^n}\varphi\left(\frac{\boldsymbol{x}}{\rho}\right)}とする。
 まずg_{\rho}(\boldsymbol{x})積分記号下で微分でき、帰納的にg_{\rho}(\boldsymbol{x})C^{\infty}級であることが確認できる。
 次に\rho\in(0,\varepsilon]を満たすように\rhoを取ると、\varphi_{\rho}(\boldsymbol{x})=0,|\boldsymbol{x}|\geq\rhoであるから、


\begin{aligned}
&\displaystyle{\int\cdots\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_{\rho}(\boldsymbol{x})dx_1\cdots dx_n}=1\\
\Leftrightarrow&\displaystyle{\int\cdots\int_{0}^{\varepsilon}\varphi_{\rho}(\boldsymbol{x})dx_1\cdots dx_n}=1
\end{aligned}

が成り立つ。

したがって\rho\in(0,\varepsilon],\boldsymbol{x}\notin K_{\varepsilon}とすれば、


\begin{aligned}
{}^{\forall}\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^n\ \mathrm{s.t.}\ \left|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\right|\leq\rho\left(g(\boldsymbol{y})=0\right)
\end{aligned}

であるから、g_{\rho}(\boldsymbol{x})=0が成り立つ。
 更に、g(\boldsymbol{y})\boldsymbol{y}\in K以外では0であるから、\mathbb{R}^n上で一様連続である。したがって所与の\varepsilon\gt0に対してある\delta(\varepsilon)\gt0が存在し


\begin{aligned}
\left|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\right|\lt\delta(\varepsilon)\Longrightarrow
\left|g(\boldsymbol{y})-g(\boldsymbol{x})\right|\lt\varepsilon
\end{aligned}

が成立する。このとき


\begin{aligned}
\displaystyle{\int\cdots\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_{\rho}(\boldsymbol{x})dx_1\cdots dx_n}=1
\end{aligned}

に注意すれば、


\begin{aligned}
g_{\rho}(\boldsymbol{x})-(\boldsymbol{x})&=\displaystyle{\int\cdots\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_{\rho}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\left(g(\boldsymbol{y})-g(\boldsymbol{x})\right) dy_1\cdots dy_n}\\
&=\displaystyle{\int\cdots\int_{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|\leq\rho}\varphi_{\rho}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\left(g(\boldsymbol{y})-g(\boldsymbol{x})\right) dy_1\cdots dy_n}
\end{aligned}

であるから、\rho\in(0,\delta(\varepsilon)となるように\rhoを取ると、


\begin{aligned}
\left|g_{\rho}(\boldsymbol{x})-(\boldsymbol{x})\right|&\leq\displaystyle{\int\cdots\int_{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|\leq\rho}\varphi_{\rho}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\left|g(\boldsymbol{y})-g(\boldsymbol{x})\right|dy_1\cdots dy_n}\\
&\leq\displaystyle{\int\cdots\int_{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|\leq\rho}\varphi_{\rho}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\left|g(\boldsymbol{y})-g(\boldsymbol{x})\right|dy_1\cdots dy_n}\\
&=\varepsilon
\end{aligned}

が成立する。\boldsymbol{x}は任意であるから、 


\begin{aligned}
\displaystyle{\sup_{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n}\left|g_{\varepsilon}(\boldsymbol{x})-g(\boldsymbol{x})\right|}\leq\varepsilon
\end{aligned}

も成立する。したがって\delta=\displaystyle{\min\{\varepsilon,\delta(\varepsilon)\}}とすればg_{\rho}(\boldsymbol{x})が求めるものに他ならない。 \blacksquare)

 以上の補題を用いて、当初示すつもりであった定理を示す。

(\because 背理法により示す。


\begin{aligned}
{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in\partial B\left(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}\right)
\end{aligned}

および


\begin{aligned}
{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in B\left(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\neq\boldsymbol{0}\right)
\end{aligned}

を満たすような\boldsymbol{f}:B\rightarrow\mathbb{R}^2が存在すると仮定する。この\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})を基にC^2写像\boldsymbol{g}:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2を、


\begin{aligned}
&{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in\partial B\left(\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}\right),\\
&{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in B\left(\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})\neq\boldsymbol{0}\right)
\end{aligned}

を満たすように取る。
 B有界閉集合であるから、その像\boldsymbol{f}(B)有界閉集合である。したがって


\begin{aligned}
{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in B\left(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\neq\boldsymbol{0}\right)
\end{aligned}

より、


\begin{aligned}
\rho:=\displaystyle{\inf_{\boldsymbol{x}\in B}\left|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\right|}\in(0,1]
\end{aligned}

が成立する。
 \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})の定義域を拡張し\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x}):\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2


\begin{aligned}
\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x})=\begin{cases}
\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}),&\boldsymbol{x}\in B,\\
\boldsymbol{x},&\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2\setminus B
\end{cases}
\end{aligned}

で定義する。
このとき\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x})は連続であり、\displaystyle{\inf_{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2}\left|\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x})\right|}=\rho\gt0を満たしている。\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{x}とおき、\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})の各成分に補題を用いることで、


\begin{aligned}
&\displaystyle{\sup_{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2}\left|\boldsymbol{h}_{\rho/2}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})\right|}\leq\displaystyle{\frac{\rho}{2}},\\
&{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2\ \mathrm{s.t.}\ |\boldsymbol{x}|\geq1+\displaystyle{\frac{\rho}{2}}\left(\boldsymbol{h}_{\rho/2}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}\right)
\end{aligned}

を満たすようなC^{\infty}写像\boldsymbol{h}_{\rho/2}(\boldsymbol{x})が存在する。
 ここで\tilde{\tilde{\boldsymbol{f}}}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{h}_{\rho/2}(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{x}とおく。この写像C^{\infty}級であり、更に


\begin{aligned}
\left|\tilde{\tilde{\boldsymbol{f}}}(\boldsymbol{x})\right|&=\left|\boldsymbol{h}_{\rho/2}(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{x}\right|\\
&\geq\left|\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{x}\right|-\left|\boldsymbol{h}_{\rho/2}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})\right|\\
&=\left|\tilde{f}(\boldsymbol{x})\right|-\left|\boldsymbol{h}_{\rho/2}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})\right|\\
&\geq\rho-\displaystyle{\frac{\rho}{2}}=\displaystyle{\frac{\rho}{2}}
\end{aligned}

を満たす。
 したがって\rho\in(0,1]に注意すれば\tilde{\tilde{\boldsymbol{f}}}(\boldsymbol{x})は、


\begin{aligned}
&{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2\left(\tilde{\tilde{\boldsymbol{f}}}(\boldsymbol{x})\neq\boldsymbol{0}\right),\\
&{}^{\forall}\boldsymbol{x}\ \mathrm{s.t.}\ \left|\boldsymbol{x}\right|\geq\displaystyle{\frac{3}{2}}\left(\tilde{\tilde{\boldsymbol{f}}}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}\right)
\end{aligned}

を満たす。したがって\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=\displaystyle{\frac{1}{2}}\tilde{\tilde{\boldsymbol{f}}}(2\boldsymbol{x})とおけば、\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})は、


\begin{aligned}
&{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in\partial B\left(\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}\right),\\
&{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in B\left(\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})\neq\boldsymbol{0}\right)
\end{aligned}

を満たすようなC^{\infty}級関数である。
 一方で、既に示した命題はこのようなC^2写像は存在しないことを主張している。したがって当初仮定した


\begin{aligned}
{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in\partial B\left(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}\right)
\end{aligned}

および


\begin{aligned}
{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in B\left(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\neq\boldsymbol{0}\right)
\end{aligned}

を満たすような\boldsymbol{f}:B\rightarrow\mathbb{R}^2は存在しない。以上から背理法により本定理は示された。 \blacksquare)

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