やりなおしの数学・微分積分篇（65/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ
10.　ベクトル解析
- 10.4　Gaussの発散定理、Stokesの定理
  - 10.4.6　Brouwerの不動点定理

今日のまとめ

連続関数における零点の存在を示す。

10.　ベクトル解析

　本節ではベクトル値写像を扱う。

10.4　Gaussの発散定理、Stokesの定理

10.4.6　Brouwerの不動点定理

　 $\mathbb{R}^2$ における $\mathrm{Brouwer}$ の不動点定理を議論する。前回示した以下の定理

零点の存在　 $\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)=\begin{bmatrix}f_1(x,y)\\f_2(x,y)\end{bmatrix}$ を $B$ の近傍で定義された $C^2$ 級写像で、 $\partial B$ の近傍で $\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)$ を満たすものとする。このとき $\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}_0\right)=\boldsymbol{0}$ を満たすような $\boldsymbol{x}_0\in B$ が存在する。

を連続関数に拡張する。

連続関数における零点の存在　 $\boldsymbol{f}:B\rightarrow\mathbb{R}^2$ を、すべての $\boldsymbol{x}\in\partial B$ に対して $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}$ を満たす連続写像だとする。このとき $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)=\boldsymbol{0}$ を満たす $\boldsymbol{x}_0\in B$ が存在する。

　これを示すべく以下の補題をまずは示す。

連続関数の $C^{\infty}$ 級関数による近似　 $g:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ はある有界閉集合 $K\subset\mathbb{R}^n$ に対して

$\begin{aligned} g(\boldsymbol{x})=0,x\in\mathbb{R}^n\setminus K \end{aligned}$

を満たすような連続関数だとする。このとき ${}^{\forall}\varepsilon\gt0$ に対して

$\begin{aligned} {}^{\forall}\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n\setminus K_{\varepsilon}\left(g_{\varepsilon}(\boldsymbol{x})=0,\displaystyle{\sup_{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n}\left|g_{\varepsilon}(\boldsymbol{x})-g(\boldsymbol{x})\right|}\leq\varepsilon\right) \end{aligned}$

を満たすような $C^{\infty}$ 級関数 $g_{\varepsilon}(\boldsymbol{x}):\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ が存在する。ここで $K_{\varepsilon}=\left\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n\left|\right.\displaystyle{\inf_{\boldsymbol{y}\in K}\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right|\leq\varepsilon}\right\}$ である。

( $\because$ 　 $g(\boldsymbol{x}):\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ を

$\begin{aligned} g(\boldsymbol{x})=0,x\in\mathbb{R}^n\setminus K \end{aligned}$

を満たすような連続写像だとする。このとき $g_{\rho}(\boldsymbol{x})$ を

$\begin{aligned} g_{\rho}(\boldsymbol{y})=\displaystyle{\int\cdots\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_{\rho}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})g(\boldsymbol{y})dy_1\cdots dy_n} \end{aligned}$

で定義する。ここで $C^{\infty}$ 級関数 $\varphi:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ を

$\begin{aligned} &{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n\left(\varphi(\boldsymbol{x})\geq0\right),\\ &{}^{\forall}\boldsymbol{x}\ \mathrm{s.t.}\ \left|\boldsymbol{x}\right|\geq1\left(\varphi(\boldsymbol{x})=0\right),\\ &\displaystyle{\int\cdots\int_{\mathbb{R}^n}\varphi(\boldsymbol{x})dx_1\cdots dx_n}=1 \end{aligned}$

を満たすような関数として、 $\rho\gt0$ を取って $\varphi_{\rho}(\boldsymbol{x})=\displaystyle{\frac{1}{\rho^n}\varphi\left(\frac{\boldsymbol{x}}{\rho}\right)}$ とする。
　まず $g_{\rho}(\boldsymbol{x})$ は積分記号下で微分でき、帰納的に $g_{\rho}(\boldsymbol{x})$ が $C^{\infty}$ 級であることが確認できる。
　次に $\rho\in(0,\varepsilon]$ を満たすように $\rho$ を取ると、 $\varphi_{\rho}(\boldsymbol{x})=0,|\boldsymbol{x}|\geq\rho$ であるから、

$\begin{aligned} &\displaystyle{\int\cdots\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_{\rho}(\boldsymbol{x})dx_1\cdots dx_n}=1\\ \Leftrightarrow&\displaystyle{\int\cdots\int_{0}^{\varepsilon}\varphi_{\rho}(\boldsymbol{x})dx_1\cdots dx_n}=1 \end{aligned}$

が成り立つ。

したがって $\rho\in(0,\varepsilon],\boldsymbol{x}\notin K_{\varepsilon}$ とすれば、

$\begin{aligned} {}^{\forall}\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^n\ \mathrm{s.t.}\ \left|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\right|\leq\rho\left(g(\boldsymbol{y})=0\right) \end{aligned}$

であるから、 $g_{\rho}(\boldsymbol{x})=0$ が成り立つ。
　更に、 $g(\boldsymbol{y})$ は $\boldsymbol{y}\in K$ 以外では $0$ であるから、 $\mathbb{R}^n$ 上で一様連続である。したがって所与の $\varepsilon\gt0$ に対してある $\delta(\varepsilon)\gt0$ が存在し

$\begin{aligned} \left|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\right|\lt\delta(\varepsilon)\Longrightarrow \left|g(\boldsymbol{y})-g(\boldsymbol{x})\right|\lt\varepsilon \end{aligned}$

が成立する。このとき

$\begin{aligned} \displaystyle{\int\cdots\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_{\rho}(\boldsymbol{x})dx_1\cdots dx_n}=1 \end{aligned}$

に注意すれば、

$\begin{aligned} g_{\rho}(\boldsymbol{x})-(\boldsymbol{x})&=\displaystyle{\int\cdots\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_{\rho}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\left(g(\boldsymbol{y})-g(\boldsymbol{x})\right) dy_1\cdots dy_n}\\ &=\displaystyle{\int\cdots\int_{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|\leq\rho}\varphi_{\rho}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\left(g(\boldsymbol{y})-g(\boldsymbol{x})\right) dy_1\cdots dy_n} \end{aligned}$

であるから、 $\rho\in(0,\delta(\varepsilon)$ となるように $\rho$ を取ると、

$\begin{aligned} \left|g_{\rho}(\boldsymbol{x})-(\boldsymbol{x})\right|&\leq\displaystyle{\int\cdots\int_{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|\leq\rho}\varphi_{\rho}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\left|g(\boldsymbol{y})-g(\boldsymbol{x})\right|dy_1\cdots dy_n}\\ &\leq\displaystyle{\int\cdots\int_{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|\leq\rho}\varphi_{\rho}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\left|g(\boldsymbol{y})-g(\boldsymbol{x})\right|dy_1\cdots dy_n}\\ &=\varepsilon \end{aligned}$

が成立する。 $\boldsymbol{x}$ は任意であるから、　

$\begin{aligned} \displaystyle{\sup_{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n}\left|g_{\varepsilon}(\boldsymbol{x})-g(\boldsymbol{x})\right|}\leq\varepsilon \end{aligned}$

も成立する。したがって $\delta=\displaystyle{\min\{\varepsilon,\delta(\varepsilon)\}}$ とすれば $g_{\rho}(\boldsymbol{x})$ が求めるものに他ならない。　 $\blacksquare$ )

　以上の補題を用いて、当初示すつもりであった定理を示す。

( $\because$ 　背理法により示す。

$\begin{aligned} {}^{\forall}\boldsymbol{x}\in\partial B\left(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}\right) \end{aligned}$

および

$\begin{aligned} {}^{\forall}\boldsymbol{x}\in B\left(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\neq\boldsymbol{0}\right) \end{aligned}$

を満たすような $\boldsymbol{f}:B\rightarrow\mathbb{R}^2$ が存在すると仮定する。この $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ を基に $C^2$ 級写像 $\boldsymbol{g}:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ を、

$\begin{aligned} &{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in\partial B\left(\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}\right),\\ &{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in B\left(\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})\neq\boldsymbol{0}\right) \end{aligned}$

を満たすように取る。
　 $B$ は有界閉集合であるから、その像 $\boldsymbol{f}(B)$ も有界閉集合である。したがって

$\begin{aligned} {}^{\forall}\boldsymbol{x}\in B\left(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\neq\boldsymbol{0}\right) \end{aligned}$

より、

$\begin{aligned} \rho:=\displaystyle{\inf_{\boldsymbol{x}\in B}\left|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\right|}\in(0,1] \end{aligned}$

が成立する。
　 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ の定義域を拡張し $\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x}):\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ を

$\begin{aligned} \tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x})=\begin{cases} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}),&\boldsymbol{x}\in B,\\ \boldsymbol{x},&\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2\setminus B \end{cases} \end{aligned}$

で定義する。
このとき $\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x})$ は連続であり、 $\displaystyle{\inf_{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2}\left|\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x})\right|}=\rho\gt0$ を満たしている。 $\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\tilde{\boldsymbol{f}}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{x}$ とおき、 $\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})$ の各成分に補題を用いることで、

$\begin{aligned} &\displaystyle{\sup_{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2}\left|\boldsymbol{h}_{\rho/2}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})\right|}\leq\displaystyle{\frac{\rho}{2}},\\ &{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2\ \mathrm{s.t.}\ |\boldsymbol{x}|\geq1+\displaystyle{\frac{\rho}{2}}\left(\boldsymbol{h}_{\rho/2}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}\right) \end{aligned}$

を満たすような $C^{\infty}$ 級写像 $\boldsymbol{h}_{\rho/2}(\boldsymbol{x})$ が存在する。
　ここで $\tilde{\tilde{\boldsymbol{f}}}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{h}_{\rho/2}(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{x}$ とおく。この写像は $C^{\infty}$ 級であり、更に

$\begin{aligned} \left|\tilde{\tilde{\boldsymbol{f}}}(\boldsymbol{x})\right|&=\left|\boldsymbol{h}_{\rho/2}(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{x}\right|\\ &\geq\left|\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{x}\right|-\left|\boldsymbol{h}_{\rho/2}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})\right|\\ &=\left|\tilde{f}(\boldsymbol{x})\right|-\left|\boldsymbol{h}_{\rho/2}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})\right|\\ &\geq\rho-\displaystyle{\frac{\rho}{2}}=\displaystyle{\frac{\rho}{2}} \end{aligned}$

を満たす。
　したがって $\rho\in(0,1]$ に注意すれば $\tilde{\tilde{\boldsymbol{f}}}(\boldsymbol{x})$ は、

$\begin{aligned} &{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2\left(\tilde{\tilde{\boldsymbol{f}}}(\boldsymbol{x})\neq\boldsymbol{0}\right),\\ &{}^{\forall}\boldsymbol{x}\ \mathrm{s.t.}\ \left|\boldsymbol{x}\right|\geq\displaystyle{\frac{3}{2}}\left(\tilde{\tilde{\boldsymbol{f}}}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}\right) \end{aligned}$

を満たす。したがって $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=\displaystyle{\frac{1}{2}}\tilde{\tilde{\boldsymbol{f}}}(2\boldsymbol{x})$ とおけば、 $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})$ は、

を満たすような $C^{\infty}$ 級関数である。
　一方で、既に示した命題はこのような $C^2$ 級写像は存在しないことを主張している。したがって当初仮定した

$\begin{aligned} {}^{\forall}\boldsymbol{x}\in\partial B\left(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}\right) \end{aligned}$

および

$\begin{aligned} {}^{\forall}\boldsymbol{x}\in B\left(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\neq\boldsymbol{0}\right) \end{aligned}$

を満たすような $\boldsymbol{f}:B\rightarrow\mathbb{R}^2$ は存在しない。以上から背理法により本定理は示された。　 $\blacksquare$ )

今日のまとめ

10. ベクトル解析

10.4 Gaussの発散定理、Stokesの定理

10.4.6 Brouwerの不動点定理

10.　ベクトル解析

10.4　Gaussの発散定理、Stokesの定理

10.4.6　Brouwerの不動点定理