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やりなおしの数学・微分積分篇(024/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

www.rokakuho.co.jp

今日のまとめ

  • 2つの実数の組(x,y)全体からなる集合を\mathbb{R}^2と書く。ベクトル和およびスカラー倍を定義すれば\mathbb{R}^2は実線形空間になる。
  • \boldsymbol{x}=(x,y)\in\mathbb{R}^2に対して
    \begin{aligned}\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{x^2+y^2}\end{aligned}
    で定義した\|\boldsymbol{x}\|\boldsymbol{x}の長さまたはノルムという。
  • 位相的概念を定義できる:適当なa\gt0に対してA\subset U(\boldsymbol{0};a)が成り立つとき、A有界集合であるという。{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in A({}^{\exists}\varepsilon\gt0(U(\boldsymbol{x};\varepsilon)))が成り立つとき、Aを開集合という。補集合が開集合であるような集合を閉集合という。\boldsymbol{x}の任意の\varepsilon-近傍がAの点とAの補集合の点を同時に含むとき、\boldsymbol{x}Aの境界点と呼ぶ。Aの境界点全体からなる集合をAの境界といい、\partial Aと書く。集合\bar{A}=A\cup\partial AAの閉包(closure)と呼ぶ。A^{\circ}=A\cap{\partial A}^{C}Aの内部という。開集合Gが共通点をもたない2つの空でない開集合に分割することができないとき、Gを連結集合という。連結開集合を領域と呼ぶ。領域とその境界を合わせた集合を閉領域という。
  • \mathbb{R}^n,n=1,2,\cdotsと概念を拡張できる。

7. 多変数関数の微分

 2つ以上の変数を持つ関数(多変数関数)の微分およびその応用を取り扱う。まずは2変数関数を中心に扱い、その後に一般のn(\geq2)変数関数の場合を扱う。

7.1 2次元ユークリッド空間

 2つの実数の組(x,y)全体からなる集合を\mathbb{R}^2と書く。\alpha\in\mathbb{R},2点\boldsymbol{x}=(x_1,y_1),\boldsymbol{y}=(x_2,y_2)に対し、和


\begin{aligned}
\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=(x_1+x_2,y_1+y_2)
\end{aligned}
およびスカラー

\begin{aligned}
\alpha\boldsymbol{x}=(\alpha x_1,\alpha y_1)
\end{aligned}

と定義すると、\mathbb{R}^2は実線形空間になる。
 \boldsymbol{x}=(x,y)\in\mathbb{R}^2に対して


\begin{aligned}
\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{x^2+y^2}
\end{aligned}

で定義した\|\boldsymbol{x}\|\boldsymbol{x}の長さまたはノルムという。
 演算子\|\cdot\|は以下の性質を持つ:

(1)\|\boldsymbol{x}\|\geq0;\|\boldsymbol{x}\|=0\Leftrightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}=(0,0)
(2)\|\alpha\boldsymbol{x}\|=|\alpha|\|\boldsymbol{x}\|,{}^{\forall}\alpha\in\mathbb{R}
(3)\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|\leq\|\boldsymbol{x}\|+\|\boldsymbol{y}\|

 実際、(1)の前半部分は平方根\sqrt{\cdot}の定義から明らかである。後半部分は、\boldsymbol{x}=(x,y),x,y\in\mathbb{R}として、まず\|\boldsymbol{x}\|=0と仮定すると、ノルムの定義から


\begin{aligned}
\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{x^2+y^2}=0
\end{aligned}

であり、x,y\in\mathbb{R}であるから、これを満たすような(x,y)x=y=0のみである。逆に\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}と仮定すれば、定義通りに計算することで


\begin{aligned}
\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{0^2+0^2}=0
\end{aligned}

が得られる。
 (2)について、\boldsymbol{x}=(x,y),x,y\in\mathbb{R}として、{}^{\forall}\alpha\in\mathbb{R}を取ると、\alpha\boldsymbol{x}=(\alpha x,\alpha y)であるから、定義どおりに計算すれば


\begin{aligned}
\|\alpha\boldsymbol{x}\|=\sqrt{(\alpha x)^2+(\alpha y)^2}=\sqrt{\alpha^2(x^2+y^2)}=|\alpha|\sqrt{x^2+y^2}=|\alpha|\|\boldsymbol{x}\|
\end{aligned}

を得る。
 最後に(3)について、\boldsymbol{x}=(x,y),\boldsymbol{y}=(z,w),xy,z,w\in\mathbb{R}とする。(1)より示すべき式の両辺は共に0以上であることに注意して、


\begin{aligned}
(右辺)^2-(左辺)^2&=(\|\boldsymbol{x}\|+\|\boldsymbol{y}\|)^2-\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|^2\\
&=\|\boldsymbol{x}\|^2+2\|\boldsymbol{x}\|\|\boldsymbol{y}\|+\|\boldsymbol{y}\|^2-\left(\sqrt{(x+z)^2+(y+w)^2}\right)^2\\
&=2\left\{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{z^2+w^2}-(xz+yw)\right\}
\end{aligned}

であり、(右辺第1項)\geq0に注意すれば


\begin{aligned}
(右辺第1項)^2-(右辺第2項)^2&=(x^2+y^2)(z^2+w^2)-(x^2z^2+y^2w^2+2xyzw)\\
&=y^2z^2+x^2w^2-2xyzw=(yz-xw)^2\geq0\\
\therefore\ &(右辺第1項)\geq(右辺第2項)
\end{aligned}

である。したがって


\begin{aligned}
(右辺)^2-(左辺)^2=2\left\{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{z^2+w^2}-(xz+yw)\right\}\geq0
\end{aligned}

であり、\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|\leq\|\boldsymbol{x}\|+\|\boldsymbol{y}\|を得る。


 次に2点\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}に対してd(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|と定めると、演算子d(\cdot,\cdot)は距離の公理、すなわち

  (1) d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\geq0; d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=0\Leftrightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}
  (2) d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=d(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x})
  (3) d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z})\leq d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})+d(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z})

を満たす。
 実際、(1)の前半はノルムの性質(1)に他ならないから明らかである。(1)の後半もd(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=0ならば、\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|=0\Leftrightarrow \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}、すなわち\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}を得る。逆に\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}ならばd(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|=\|\boldsymbol{0}\|=0である。
 (2)はノルムの性質(2)において\alpha=-1とし\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}に置き換えれば


\begin{aligned}
\|-(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\|=\|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\|=\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|
\end{aligned}

を得、これはd(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=d(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x})に他ならない。
 (3)は示すべき不等式が


\begin{aligned}
\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{z}\|\leq \|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|+\|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{z}\|
\end{aligned}

であることに注意すれば、これがノルムの性質(3)において\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y},\boldsymbol{y}\rightarrow\boldsymbol{y}-\boldsymbol{z}と置き換えたものに他ならない。


 上記のように定義したd(\cdot,\cdot)をEuclid距離という。またEuclid距離を伴ったベクトル空間\mathbb{R}^2を2次元Euclid空間という。\varepsilon\gt0に対してU(\boldsymbol{x};\varepsilon)=\{\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^2|d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\lt\varepsilon\}を点\boldsymbol{x}\varepsilon-近傍と呼ぶ。さらに集合V\boldsymbol{x}の適当な\varepsilon-近傍を含むとき、V\boldsymbol{x}の近傍と呼ぶ。

7.1.1 点列の収束と位相

 \mathbb{R}^2の点列\{\boldsymbol{x}_n\}_{n\geq1}および点\boldsymbol{x}_0について


\begin{aligned}
d(\boldsymbol{x}_n,\boldsymbol{x}_0)\rightarrow0(n\rightarrow\infty)
\end{aligned}

が成り立つとき、点列\{\boldsymbol{x}_n\}_{n\geq1}は点\boldsymbol{x}_0に収束するといい、


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow}\boldsymbol{x}_n}=\boldsymbol{x}_0
\end{aligned}

と表す。
 集合A\subset\mathbb{R}^2について、適当なa\gt0に対してA\subset U(\boldsymbol{0};a)が成り立つとき、A有界集合であるという。{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in A({}^{\exists}\varepsilon\gt0(U(\boldsymbol{x};\varepsilon)))が成り立つとき、Aを開集合という*1。補集合が開集合であるような集合を閉集合という。
 \boldsymbol{x}の任意の\varepsilon-近傍がAの点とAの補集合の点を同時に含むとき、\boldsymbol{x}Aの境界点と呼ぶ。Aの境界点全体からなる集合をAの境界といい、\partial Aと書く。集合\bar{A}=A\cup\partial AAの閉包(closure)と呼ぶ。A^{\circ}=A\cap{\partial A}^{C}Aの内部という。開集合Gが共通点をもたない2つの空でない開集合に分割することができないとき、Gを連結集合という。連結開集合を領域と呼ぶ。領域とその境界を合わせた集合を閉領域という。

7.1.2 点列の収束


Bolzano–Weierstrassの定理 \mathbb{R}^2有界点列は収束部分列を含む。
(\because 有界点列\{\boldsymbol{x}_n\}_{n\gt1}を考える。仮定よりa\gt0が存在し\boldsymbol{x}_{n}\in U(\boldsymbol{0};a),n=1,2,\cdotsが成り立つ。したがって\boldsymbol{x}_n=(x_n,y_n),n=1,2,\cdotsとおくと、
[tex:
\begin{aligned}

x_n \leq a,\ y_n \leq a,\ n=1,2,\cdots

\end{aligned}
]

が成り立ち、数列\{x_n\},\{y_n\}は共に有界数列である。以上から過去に示した1次元のBolzano-Weierstraussの定理より\{x_n\},\{y_n\}は共に収束し、それらをそれぞれx_0,y_0とすれば\{\boldsymbol{x}_n\}\rightarrow (x_0,y_0)に収束する。 \blacksquare)

 \{\boldsymbol{x}_n\}_{n\geq1}d(\boldsymbol{x}_n,\boldsymbol{x}m)\rightarrow0(n,m\rightarrow\infty)を満たすとき、\{\boldsymbol{x}_n\}をCauchy列という。


Cauchy列の収束性 \mathbb{R}^2の任意のCauchy列は収束する。
(\because \{\boldsymbol{x}_n\}をCaychy列とする。このとき\boldsymbol{x}_n=(x_n,y_n),n=1,2,\cdotsは共にCauchy列である。したがって過去に示した1次元の場合の定理よりx_n\rightarrow x_0(n\rightarrow\infty),\ y_n\rightarrow u_0(n\rightarrow\infty)が成り立つ。したがって\boldsymbol{x}_n\rightarrow \boldsymbol{x}_0=(x_0,y_0)(n\rightarrow\infty)である。 \blacksquare)

 ここまでの議論は\mathbb{R}^n,n=2,3,4,\cdotsでも成り立ち、Euclid距離d(\cdot,\cdot)も同様に拡張できる。Euclid距離を定義した\mathbb{R}^nn次元Euclid空間という。

*1:区間をより一般化したものと思えばよい。

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