やりなおしの数学・微分積分篇（25/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

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今日のまとめ
7.　多変数関数の微分
- 7.1　2次元ユークリッド空間
  - 7.1.1　点列の収束と位相
  - 7.1.2　点列の収束
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今日のまとめ

2つの実数の組 $(x,y)$ 全体からなる集合を $\mathbb{R}^2$ と書く。ベクトル和およびスカラー倍を定義すれば $\mathbb{R}^2$ は実線形空間になる。

$\boldsymbol{x}=(x,y)\in\mathbb{R}^2$ に対して
$\begin{aligned}\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{x^2+y^2}\end{aligned}$
で定義した $\|\boldsymbol{x}\|$ を $\boldsymbol{x}$ の長さまたはノルムという。

位相的概念を定義できる：適当な $a\gt0$ に対して $A\subset U(\boldsymbol{0};a)$ が成り立つとき、 $A$ は有界集合であるという。 ${}^{\forall}\boldsymbol{x}\in A({}^{\exists}\varepsilon\gt0(U(\boldsymbol{x};\varepsilon)))$ が成り立つとき、 $A$ を開集合という。補集合が開集合であるような集合を閉集合という。 $\boldsymbol{x}$ の任意の $\varepsilon$ -近傍が $A$ の点と $A$ の補集合の点を同時に含むとき、 $\boldsymbol{x}$ を $A$ の境界点と呼ぶ。 $A$ の境界点全体からなる集合を $A$ の境界といい、 $\partial A$ と書く。集合 $\bar{A}=A\cup\partial A$ を $A$ の閉包( $\mathrm{closure}$ )と呼ぶ。 $A^{\circ}=A\cap{\partial A}^{C}$ を $A$ の内部という。開集合 $G$ が共通点をもたない2つの空でない開集合に分割することができないとき、 $G$ を連結集合という。連結開集合を領域と呼ぶ。領域とその境界を合わせた集合を閉領域という。

$\mathbb{R}^n,n=1,2,\cdots$ と概念を拡張できる。

7.　多変数関数の微分

　2つ以上の変数を持つ関数（多変数関数）の微分およびその応用を取り扱う。まずは2変数関数を中心に扱い、その後に一般の $n(\geq2)$ 変数関数の場合を扱う。

7.1　2次元ユークリッド空間

　2つの実数の組 $(x,y)$ 全体からなる集合を $\mathbb{R}^2$ と書く。 $\alpha\in\mathbb{R},$ 2点 $\boldsymbol{x}=(x_1,y_1),\boldsymbol{y}=(x_2,y_2)$ に対し、和

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=(x_1+x_2,y_1+y_2) \end{aligned}$

およびスカラー倍

$\begin{aligned} \alpha\boldsymbol{x}=(\alpha x_1,\alpha y_1) \end{aligned}$

と定義すると、 $\mathbb{R}^2$ は実線形空間になる。
　 $\boldsymbol{x}=(x,y)\in\mathbb{R}^2$ に対して

$\begin{aligned} \|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{x^2+y^2} \end{aligned}$

で定義した $\|\boldsymbol{x}\|$ を $\boldsymbol{x}$ の長さまたはノルムという。
　演算子 $\|\cdot\|$ は以下の性質を持つ：

(1) $\|\boldsymbol{x}\|\geq0$ ; $\|\boldsymbol{x}\|=0\Leftrightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}=(0,0)$
(2) $\|\alpha\boldsymbol{x}\|=|\alpha|\|\boldsymbol{x}\|,{}^{\forall}\alpha\in\mathbb{R}$
(3) $\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|\leq\|\boldsymbol{x}\|+\|\boldsymbol{y}\|$

　実際、(1)の前半部分は平方根 $\sqrt{\cdot}$ の定義から明らかである。後半部分は、 $\boldsymbol{x}=(x,y),x,y\in\mathbb{R}$ として、まず $\|\boldsymbol{x}\|=0$ と仮定すると、ノルムの定義から

$\begin{aligned} \|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{x^2+y^2}=0 \end{aligned}$

であり、 $x,y\in\mathbb{R}$ であるから、これを満たすような $(x,y)$ は $x=y=0$ のみである。逆に $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ と仮定すれば、定義通りに計算することで

$\begin{aligned} \|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{0^2+0^2}=0 \end{aligned}$

が得られる。
　(2)について、 $\boldsymbol{x}=(x,y),x,y\in\mathbb{R}$ として、 ${}^{\forall}\alpha\in\mathbb{R}$ を取ると、 $\alpha\boldsymbol{x}=(\alpha x,\alpha y)$ であるから、定義どおりに計算すれば

$\begin{aligned} \|\alpha\boldsymbol{x}\|=\sqrt{(\alpha x)^2+(\alpha y)^2}=\sqrt{\alpha^2(x^2+y^2)}=|\alpha|\sqrt{x^2+y^2}=|\alpha|\|\boldsymbol{x}\| \end{aligned}$

を得る。
　最後に(3)について、 $\boldsymbol{x}=(x,y),\boldsymbol{y}=(z,w),xy,z,w\in\mathbb{R}$ とする。(1)より示すべき式の両辺は共に $0$ 以上であることに注意して、

$\begin{aligned} (右辺)^2-(左辺)^2&=(\|\boldsymbol{x}\|+\|\boldsymbol{y}\|)^2-\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|^2\\ &=\|\boldsymbol{x}\|^2+2\|\boldsymbol{x}\|\|\boldsymbol{y}\|+\|\boldsymbol{y}\|^2-\left(\sqrt{(x+z)^2+(y+w)^2}\right)^2\\ &=2\left\{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{z^2+w^2}-(xz+yw)\right\} \end{aligned}$

であり、 $(右辺第1項)\geq0$ に注意すれば

$\begin{aligned} (右辺第1項)^2-(右辺第2項)^2&=(x^2+y^2)(z^2+w^2)-(x^2z^2+y^2w^2+2xyzw)\\ &=y^2z^2+x^2w^2-2xyzw=(yz-xw)^2\geq0\\ \therefore\ &(右辺第1項)\geq(右辺第2項) \end{aligned}$

である。したがって

$\begin{aligned} (右辺)^2-(左辺)^2=2\left\{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{z^2+w^2}-(xz+yw)\right\}\geq0 \end{aligned}$

であり、 $\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|\leq\|\boldsymbol{x}\|+\|\boldsymbol{y}\|$ を得る。

　次に2点 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$ に対して $d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|$ と定めると、演算子 $d(\cdot,\cdot)$ は距離の公理、すなわち

	(1)	$d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\geq0$ ; $d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=0\Leftrightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$
	(2)	$d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=d(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x})$
	(3)	$d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z})\leq d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})+d(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z})$

を満たす。
　実際、(1)の前半はノルムの性質(1)に他ならないから明らかである。(1)の後半も $d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=0$ ならば、 $\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|=0\Leftrightarrow \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}$ 、すなわち $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$ を得る。逆に $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$ ならば $d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|=\|\boldsymbol{0}\|=0$ である。
　(2)はノルムの性質(2)において $\alpha=-1$ とし $\boldsymbol{x}$ を $\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}$ に置き換えれば

$\begin{aligned} \|-(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\|=\|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\|=\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\| \end{aligned}$

を得、これは $d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=d(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x})$ に他ならない。
　(3)は示すべき不等式が

$\begin{aligned} \|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{z}\|\leq \|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|+\|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{z}\| \end{aligned}$

であることに注意すれば、これがノルムの性質(3)において $\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y},\boldsymbol{y}\rightarrow\boldsymbol{y}-\boldsymbol{z}$ と置き換えたものに他ならない。

　上記のように定義した $d(\cdot,\cdot)$ を $\mathrm{Euclid}$ 距離という。また $\mathrm{Euclid}$ 距離を伴ったベクトル空間 $\mathbb{R}^2$ を2次元 $\mathrm{Euclid}$ 空間という。 $\varepsilon\gt0$ に対して $U(\boldsymbol{x};\varepsilon)=\{\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^2|d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\lt\varepsilon\}$ を点 $\boldsymbol{x}$ の $\varepsilon$ -近傍と呼ぶ。さらに集合 $V$ が $\boldsymbol{x}$ の適当な $\varepsilon$ -近傍を含むとき、 $V$ を $\boldsymbol{x}$ の近傍と呼ぶ。

7.1.1　点列の収束と位相

　 $\mathbb{R}^2$ の点列 $\{\boldsymbol{x}_n\}_{n\geq1}$ および点 $\boldsymbol{x}_0$ について

$\begin{aligned} d(\boldsymbol{x}_n,\boldsymbol{x}_0)\rightarrow0(n\rightarrow\infty) \end{aligned}$

が成り立つとき、点列 $\{\boldsymbol{x}_n\}_{n\geq1}$ は点 $\boldsymbol{x}_0$ に収束するといい、

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{n\rightarrow}\boldsymbol{x}_n}=\boldsymbol{x}_0 \end{aligned}$

と表す。
　集合 $A\subset\mathbb{R}^2$ について、適当な $a\gt0$ に対して $A\subset U(\boldsymbol{0};a)$ が成り立つとき、 $A$ は有界集合であるという。 ${}^{\forall}\boldsymbol{x}\in A({}^{\exists}\varepsilon\gt0(U(\boldsymbol{x};\varepsilon)))$ が成り立つとき、 $A$ を開集合という*1。補集合が開集合であるような集合を閉集合という。
　 $\boldsymbol{x}$ の任意の $\varepsilon$ -近傍が $A$ の点と $A$ の補集合の点を同時に含むとき、 $\boldsymbol{x}$ を $A$ の境界点と呼ぶ。 $A$ の境界点全体からなる集合を $A$ の境界といい、 $\partial A$ と書く。集合 $\bar{A}=A\cup\partial A$ を $A$ の閉包(closure)と呼ぶ。 $A^{\circ}=A\cap{\partial A}^{C}$ を $A$ の内部という。開集合 $G$ が共通点をもたない2つの空でない開集合に分割することができないとき、 $G$ を連結集合という。連結開集合を領域と呼ぶ。領域とその境界を合わせた集合を閉領域という。

7.1.2　点列の収束

Bolzano–Weierstrassの定理　 $\mathbb{R}^2$ の有界点列は収束部分列を含む。

( $\because$ 　有界点列 $\{\boldsymbol{x}_n\}_{n\gt1}$ を考える。仮定より $a\gt0$ が存在し $\boldsymbol{x}_{n}\in U(\boldsymbol{0};a),n=1,2,\cdots$ が成り立つ。したがって $\boldsymbol{x}_n=(x_n,y_n),n=1,2,\cdots$ とおくと、

$\begin{aligned} \left|x_n\right|\leq a,\ \left|y_n\right|\leq a,\ n=1,2,\cdots \end{aligned}$

が成り立ち、数列 $\{x_n\},\{y_n\}$ は共に有界数列である。以上から過去に示した1次元の $\mathrm{Bolzano}$ - $\mathrm{Weierstrauss}$ の定理より $\{x_n\},\{y_n\}$ は共に収束し、それらをそれぞれ $x_0,y_0$ とすれば $\{\boldsymbol{x}_n\}\rightarrow (x_0,y_0)$ に収束する。　 $\blacksquare$ )

　 $\{\boldsymbol{x}_n\}_{n\geq1}$ が $d(\boldsymbol{x}_n,\boldsymbol{x}m)\rightarrow0(n,m\rightarrow\infty)$ を満たすとき、 $\{\boldsymbol{x}_n\}$ を $\mathrm{Cauchy}$ 列という。

$\mathrm{Cauchy}$ 列の収束性　 $\mathbb{R}^2$ の任意の $\mathrm{Cauchy}$ 列は収束する。

( $\because$ 　 $\{\boldsymbol{x}_n\}$ をCaychy列とする。このとき $\boldsymbol{x}_n=(x_n,y_n),n=1,2,\cdots$ は共に $\mathrm{Cauchy}$ 列である。したがって過去に示した1次元の場合の定理より $x_n\rightarrow x_0(n\rightarrow\infty),\ y_n\rightarrow u_0(n\rightarrow\infty)$ が成り立つ。したがって $\boldsymbol{x}_n\rightarrow \boldsymbol{x}_0=(x_0,y_0)(n\rightarrow\infty)$ である。　 $\blacksquare$ )

　ここまでの議論は $\mathbb{R}^n,n=2,3,4,\cdots$ でも成り立ち、 $\mathrm{Euclid}$ 距離 $d(\cdot,\cdot)$ も同様に拡張できる。 $\mathrm{Euclid}$ 距離を定義した $\mathbb{R}^n$ を $n$ 次元 $\mathrm{Euclid}$ 空間という。