今日のまとめ
- 2つの実数の組全体からなる集合をと書く。ベクトル和およびスカラー倍を定義すればは実線形空間になる。
- に対してで定義したをの長さまたはノルムという。
- 位相的概念を定義できる:適当なに対してが成り立つとき、は有界集合であるという。が成り立つとき、を開集合という。補集合が開集合であるような集合を閉集合という。の任意の-近傍がの点との補集合の点を同時に含むとき、をの境界点と呼ぶ。の境界点全体からなる集合をの境界といい、と書く。集合をの閉包()と呼ぶ。をの内部という。開集合が共通点をもたない2つの空でない開集合に分割することができないとき、を連結集合という。連結開集合を領域と呼ぶ。領域とその境界を合わせた集合を閉領域という。
- と概念を拡張できる。
7. 多変数関数の微分
2つ以上の変数を持つ関数(多変数関数)の微分およびその応用を取り扱う。まずは2変数関数を中心に扱い、その後に一般の変数関数の場合を扱う。
7.1 2次元ユークリッド空間
2つの実数の組全体からなる集合をと書く。2点に対し、和
およびスカラー倍
と定義すると、は実線形空間になる。
に対して
で定義したをの長さまたはノルムという。
演算子は以下の性質を持つ:
(1);
(2)
(3)
実際、(1)の前半部分は平方根の定義から明らかである。後半部分は、として、まずと仮定すると、ノルムの定義から
であり、であるから、これを満たすようなはのみである。逆にと仮定すれば、定義通りに計算することで
が得られる。
(2)について、として、を取ると、であるから、定義どおりに計算すれば
を得る。
最後に(3)について、とする。(1)より示すべき式の両辺は共に以上であることに注意して、
であり、に注意すれば
である。したがって
であり、を得る。
次に2点に対してと定めると、演算子は距離の公理、すなわち
(1) | ; | |
(2) | ||
(3) |
を満たす。
実際、(1)の前半はノルムの性質(1)に他ならないから明らかである。(1)の後半もならば、、すなわちを得る。逆にならばである。
(2)はノルムの性質(2)においてとしをに置き換えれば
を得、これはに他ならない。
(3)は示すべき不等式が
であることに注意すれば、これがノルムの性質(3)においてと置き換えたものに他ならない。
上記のように定義したを距離という。また距離を伴ったベクトル空間を2次元空間という。に対してを点の-近傍と呼ぶ。さらに集合がの適当な-近傍を含むとき、をの近傍と呼ぶ。