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やりなおしの数学・線形代数篇(21/26)

 定番書

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ

  • 正値性の判定方法:n次正方行列A=(a_{ij})_{n\times n}に対してその二次形式{}^{t}\boldsymbol{x}A\boldsymbol{x}が正値であるためには、
    \begin{aligned}A_k=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2k}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk}\end{bmatrix},\ k=1,2,\cdots,n\end{aligned}
    に対して|A_k|\gt0が成り立つことが必要十分である。

5. 固有値固有ベクトル

5.3 二次形式

 変数x_1,\cdots,x_nに関する実係数の斉次二次式*1を二次形式という。すなわちx_{i}x_{j}の係数をa_{ij}\in\mathbb{R}とおけば


\begin{aligned}
F(x_1,\cdots,x_n)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}}
\end{aligned}

と書ける。x_ix_j=x_jx_ia_{ij},i\neq jが一意に定まらないため、a_{ij}=a_{ji}とする。

5.3.1 正値性の判定方法


二次形式の正値性 n次正方行列A=(a_{ij})_{n\times n}に対してその二次形式{}^{t}\boldsymbol{x}A\boldsymbol{x}が正値であるためには、

\begin{aligned}
A_k=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2k}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk}
\end{bmatrix},\ k=1,2,\cdots,n
\end{aligned}

に対して|A_k|\gt0が成り立つことが必要十分である。

(\because \boldsymbol{x}={}^{t}(x_1,\cdots,x_n)に対して\boldsymbol{x}_k={}^{t}(x_1,\cdots,x_k)とする。{}^{t}\boldsymbol{x}A\boldsymbol{x}が正値ならば、k変数の二次形式{}^{t}\boldsymbol{x}_{k}A\boldsymbol{x}_{k}も正値であるから、A_k固有値の積として、|A_k|は正である。
 逆にn=1において|A_n|\gt0だと仮定すれば、|A_k|\gt0,k=1は明らかである。n^{\prime}=n-1において|A_{k}|\gt0,k=1,2,\cdots,n-1,n\geq1が成り立つと仮定する。このとき{}^{t}\boldsymbol{x}_{n-1}A_{n-1}\boldsymbol{x}_{n-1}は正値である。

\begin{aligned}
A=\begin{bmatrix}A_{n-1}&\boldsymbol{b}\\
{}^{t}\boldsymbol{b}&c
\end{bmatrix}
\end{aligned}

とおく。


\begin{aligned}
P=\begin{bmatrix}I_{n-1}&{A_{n-1}}^{-1}\boldsymbol{b}\\
{}^{t}\boldsymbol{0}&1
\end{bmatrix}
\end{aligned}


とすれば


\begin{aligned}
{}^{t}P\begin{bmatrix}A_{n-1}&\boldsymbol{0}\\{}^{t}\boldsymbol{0}&c-{}^{t}\boldsymbol{b}{A_{n-1}}^{-1}\boldsymbol{b}\end{bmatrix}P=&
\begin{bmatrix}I_{n-1}&{}^{t}\boldsymbol{0}\\
{A_{n-1}}^{-1}\boldsymbol{b}&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}A_{n-1}&\boldsymbol{0}\\{}^{t}\boldsymbol{0}&c-{}^{t}\boldsymbol{b}{A_{n-1}}^{-1}\boldsymbol{b}\end{bmatrix}\\
&\begin{bmatrix}I_{n-1}&{A_{n-1}}^{-1}\boldsymbol{b}\\
{}^{t}\boldsymbol{0}&1
\end{bmatrix}\\
=&\begin{bmatrix}A_{n-1}&\boldsymbol{0}\\
\boldsymbol{b}&c-{}^{t}\boldsymbol{b}A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{b}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_{n-1}&{A_{n-1}}^{-1}\boldsymbol{b}\\
{}^{t}\boldsymbol{0}&1
\end{bmatrix}\\
=&\begin{bmatrix}A_{n-1}&\boldsymbol{b}\\
{}^{t}\boldsymbol{b}&c
\end{bmatrix}=A
\end{aligned}

が成り立つ。前述した定理から、


\begin{aligned}
B=\begin{bmatrix}A_{n-1}&\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{0}&c-{}^{t}\boldsymbol{b}A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{b}\end{bmatrix}
\end{aligned}

が正値であることを言えばよい。A={}^{t}PAPの両辺の行列式を取れば、


\begin{aligned}
&\mathcal{det}(A)&=\mathcal{det}(P)\mathcal{det}\left(\begin{bmatrix}A_{n-1}&\boldsymbol{b}\\{}^{t}\boldsymbol{b}&c\end{bmatrix}\right)\mathcal{det}(P)\\
\Leftrightarrow\ &\mathcal{det}(A)&=\mathcal{det}(A_{n-1})(c-{}^{t}\boldsymbol{b}A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{b})
\end{aligned}

を得る。仮定から|A|\gt0,\ |A_{n-1}|\gt0であるから、d=c-{}^{t}\boldsymbol{b}A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{b}は正である。
 \boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}


\begin{aligned}
\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{x}^{\prime}\\x_n\end{bmatrix}
\end{aligned}

と区分けすれば


\begin{aligned}
{}^{t}\boldsymbol{x}B\boldsymbol{x}&=({}^{t}\boldsymbol{x}^{\prime}x_n)\begin{bmatrix}A_{n-1}&\boldsymbol{0}\\{}^{t}\boldsymbol{0}&d\end{bmatrix}\\
&={}^{t}\boldsymbol{x}^{\prime}A_{n-1}\boldsymbol{x}^{\prime}+d{x_n}^2\gt0
\end{aligned}

を得るが、これはBが正値であることを意味する。 \blacksquare)

 {}^{\forall}\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}に対してF(\boldsymbol{x})\lt0となるような二次形式は負値であるという。{}^{t}\boldsymbol{x}A\boldsymbol{x}が負値であることは-{}^{t}\boldsymbol{x}A\boldsymbol{x}が正値であることと同値であるから、以下の定理が成り立つ。


二次形式の負値性 二次形式{}^{t}\boldsymbol{x}A\boldsymbol{x}が負値であるためには(-1)^k|A_k|\gt0,k=1,2,\cdots,nが成り立つことが必要十分である。

*1:斉次多項式とは非零項の次数が全て同じである多項式を指す。

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