定番書
を基に線形代数を学び直していく。
今日のまとめ
- 正値性の判定方法:次正方行列に対してその二次形式が正値であるためには、に対してが成り立つことが必要十分である。
5. 固有値と固有ベクトル
5.3 二次形式
変数に関する実係数の斉次二次式*1を二次形式という。すなわちの係数をとおけば
と書ける。でが一意に定まらないため、とする。
5.3.1 正値性の判定方法
二次形式の正値性 次正方行列に対してその二次形式が正値であるためには、
に対してが成り立つことが必要十分である。
逆ににおいてだと仮定すれば、は明らかである。においてが成り立つと仮定する。このときは正値である。
とおく。
とすれば
が成り立つ。前述した定理から、
が正値であることを言えばよい。の両辺の行列式を取れば、
を得る。仮定からであるから、は正である。
を
と区分けすれば
を得るが、これはが正値であることを意味する。 )
に対してとなるような二次形式は負値であるという。が負値であることはが正値であることと同値であるから、以下の定理が成り立つ。
二次形式の負値性 二次形式が負値であるためにはが成り立つことが必要十分である。