定番書
を基に線形代数を学び直していく。
今日のまとめ
- 正値性の判定方法:
次正方行列
に対してその二次形式
が正値であるためには、
に対してが成り立つことが必要十分である。
5. 固有値と固有ベクトル
5.3 二次形式
変数に関する実係数の斉次二次式*1を二次形式という。すなわち
の係数を
とおけば
と書ける。で
が一意に定まらないため、
とする。
5.3.1 正値性の判定方法
二次形式の正値性
に対してが成り立つことが必要十分である。
逆に
とおく。
とすれば
が成り立つ。前述した定理から、
が正値であることを言えばよい。の両辺の行列式を取れば、
を得る。仮定からであるから、
は正である。
を
と区分けすれば
を得るが、これはが正値であることを意味する。
)
に対して
となるような二次形式は負値であるという。
が負値であることは
が正値であることと同値であるから、以下の定理が成り立つ。
二次形式の負値性 二次形式