やりなおしの数学・微分積分篇（29/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

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今日のまとめ
7.　多変数関数の微分
- 7.6　Taylorの定理
- 7.7　極値問題、条件付き極値問題
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今日のまとめ

Taylorの定理(多変数版)： $f(x,y)$ は領域 $\Omega$ 上で $n$ 回連続微分可能で $(x_0,y_0),(x_0+h,y_0+k)\in\Omega$ とする。さらに $(x_0,y_0),(x_0+h,y_0+k)$ を結ぶ線分が $\Omega$ に含まれているとする。このとき
$\begin{aligned}f(x_0+h,y_0+k)=&f(x_0,y_0)+\left(h\displaystyle{\frac{\partial }{\partial x}}+k\displaystyle{\frac{\partial }{\partial y}}\right)f(x_0,y_0)\\&+\displaystyle{\frac{1}{2!}}\left(h\displaystyle{\frac{\partial }{\partial x}}+k\displaystyle{\frac{\partial }{\partial y}}\right)^2f(x_0,y_0)+\cdots\\&\cdots+\displaystyle{\frac{1}{(n-1)!}}\left(h\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}}+k\displaystyle{\frac{\partial }{\partial y}}\right)^{n-1}f(x_0,y_0)+\cdots\\&+\displaystyle{\frac{1}{n!}}\left(h\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}}+k\displaystyle{\frac{\partial }{\partial y}}\right)^{n}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k)\end{aligned}$
を満たすような $0\lt\theta\lt1$ が存在する。

7.　多変数関数の微分

　2つ以上の変数を持つ関数（多変数関数）の微分およびその応用を取り扱う。まずは2変数関数を中心に扱い、その後に一般の $n(\geq2)$ 変数関数の場合を扱う。

7.6　Taylorの定理

Taylorの定理(多変数版)　 $f(x,y)$ は領域 $\Omega$ 上で $n$ 回連続微分可能で $(x_0,y_0),(x_0+h,y_0+k)\in\Omega$ とする。さらに $(x_0,y_0),(x_0+h,y_0+k)$ を結ぶ線分が $\Omega$ に含まれているとする。このとき

$\begin{aligned} f(x_0+h,y_0+k)=&f(x_0,y_0)+\left(h\displaystyle{\frac{\partial }{\partial x}}+k\displaystyle{\frac{\partial }{\partial y}}\right)f(x_0,y_0)\\ &+\displaystyle{\frac{1}{2!}}\left(h\displaystyle{\frac{\partial }{\partial x}}+k\displaystyle{\frac{\partial }{\partial y}}\right)^2f(x_0,y_0)+\cdots\\ &\cdots+\displaystyle{\frac{1}{(n-1)!}}\left(h\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}}+k\displaystyle{\frac{\partial }{\partial y}}\right)^{n-1}f(x_0,y_0)+\cdots\\ &+\displaystyle{\frac{1}{n!}}\left(h\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}}+k\displaystyle{\frac{\partial }{\partial y}}\right)^{n}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k) \end{aligned}$

を満たすような $0\lt\theta\lt1$ が存在する。

( $\because$ 　 $t$ の関数 $g(t)=f(x_0+th,y_0+tk),0\leq t\leq 1$ を考える。 $g(t)$ は1変数関数のTaylorの定理が求める条件を満たし、

$\begin{aligned} g(0)=f(x_0,y_0),g(1)=f(x_0+h,y_0+k) \end{aligned}$

である。したがって適当な $0\lt\theta\lt1$ に対して

$\begin{aligned} g(1)=g(0)+g^{\prime}(0)+\displaystyle{\frac{g^{\prime\prime}(0)}{2!}}+\cdots+\displaystyle{\frac{g^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}}+\displaystyle{\frac{g^{(n)}(0)}{n!}} \end{aligned}$

が成立する。このとき

$\begin{aligned} g^{(k)}(0)&=\left(h\displaystyle{\frac{\partial }{\partial x}}+k\displaystyle{\frac{\partial }{\partial y}}\right)^{k}f(x_0,y_0),k=1,2,\cdots,n-1,\\ g^{(n)}(\theta)&=\left(h\displaystyle{\frac{\partial }{\partial x}}+k\displaystyle{\frac{\partial }{\partial y}}\right)^{n}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k) \end{aligned}$

が成り立つ。　 $\blacksquare$ )

7.7　極値問題、条件付き極値問題

　
　領域 $\Omega$ で定義された関数 $z=f(x,y)$ が $\Omega$ の点 $P_0(x_0,y_0)$ の近傍で最大値を取るとき、すなわち適当に $\delta\gt0$ を選ぶと点 $P_0$ の近傍 $U(P_0;\delta)$ に属するすべての点 $P(x,y)\in\Omega$ において $f(P)\leq f(P_0)$ が成り立つとき、 $f(x,y)$ は点 $P_0(x_0,y_0)$ において極大であるといい、 $f(P_0)$ を $f(x,y)$ の極大値という。点 $P_0$ と異なるすべての点 $O\in U(P_0;\delta)$ に対して $f(P)\leq f(P_0)$ を満たすとき、 $f(x,y)$ は点 $P_0$ において狭義の極大であるという。これと同様に極小、狭義の極小を定義する。極大および極小を総称して極値という。
　

極値を取る条件　 $f(x,y)$ は点 $P_0(x_0,y_0)$ の近傍において2回連続微分可能とする。このとき

(1) $z=f(x,y)$ が点 $P_0(x_0,y_0)$ において極値を取るための必要十分条件は

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}(P_0)=\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}(P_0)=0 \end{aligned}$

(2) (1)の必要十分条件を満たし、更に

$\begin{aligned} D(P_0)=\{f_{xy}(P_0)\}^2-f_{xx}(P_0)f_{yy}(P_0)\lt0 \end{aligned}$

ならば、 $P_0$ において $f(x,y)$ は極値を取り、 $f_{xx}(P_0)\gt0$ ならば点 $P_0$ において狭義の極小、 $f_{xx}(P_0)\lt0$ ならば点 $P_0$ において狭義の極大を取る。

(3) (1)の必要十分条件を満たし、更に $D(P_0)\gt0$ ならば $f(X,y)$ は点 $P_0$ において極値を取らない。

( $\because$ 　 $z=f(x,y)$ が点 $P_0(x_0,y_0)$ において極値を取ると仮定する。このとき $g(x)=f(x,y_0)$ は $x=x_0$ において極値を取るから　

$\begin{aligned} g^{\prime}(x_0)=f_x(x_0,y_0)=0 \end{aligned}$

である。同様に $h(y)=f(x_0,y)$ は $y=y_0$ において極値を取るから

$\begin{aligned} h^{\prime}(y_0)=f_y(x_0,y_0)=0 \end{aligned}$

である。

　次に $D(P_0)\lt0$ かつ $f_{xx}(P_0)\gt0$ と仮定する。Taylorの定理および(1)の条件式から

$\begin{aligned} f(x_0+h,y_0+k)=&f(x_0,y_0)+\displaystyle{\frac{1}{2}}\left(f_{xx}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)h^2\right.\\ &+2f_{xy}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)hk\\ &+\left. f_{yy}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)k^2\right),\ 0\lt\theta\lt1 \end{aligned}$

が成り立つ。上式の右辺第2項を $\displaystyle{\frac{1}{2}\alpha(h,k)}$ とおき、 $\alpha(h,k)$ の符号を調べる。

$\begin{aligned} \alpha(h,k)=f_{xx}(P_0)h^2+2f_{xy}(P_0)hk+f_{yy}(P_0)k^2+\varepsilon(h,k) \end{aligned}$

と書ける。ここで

$\begin{aligned} \varepsilon(h,k)=&(f_{xx}(P_{\theta})-f_{xx}(P_0))h^2+2(f_{xy}(P_{\theta})-f_{xy}(P_0))hk\\ &+(f_{yy}(P_{\theta})-f_{yy}(P_0))k^2,\ P_{\theta}(x_0+\theta h,y_0+\theta k) \end{aligned}$

である。いま $A=f_{xx}(P_0),B=f_{xy}(P_0),C=f_{yy}(P_0),\rho=\sqrt{h^2+k^2}$ とおくと、 $(h,k)\neq (0,0)$ に対して

$\begin{aligned} \alpha(h,k)=\rho^2\left\{A\left(\displaystyle{\frac{h}{\rho}}\right)^2+ 2B\left(\displaystyle{\frac{h}{\rho}}\right)\left(\displaystyle{\frac{k}{\rho}}\right)+ C\left(\displaystyle{\frac{k}{\rho}}\right)^2+\eta(h,k)\right\} \end{aligned}$

なお $\displaystyle{\lim_{(h,k)\rightarrow(0,0)}\eta(h,k)}=0$ である。仮定より $D(P_0)=B^2-AC\lt0$ で $A\gt0$ である。したがって

$\begin{aligned} {}^{\forall}(u,v)\in\mathbb{R}^2\ s.t.\ u^2+v^2=1\left(Au^2+2Buv+Cv^2\gt0\right) \end{aligned}$

である。単位円 $S=\{(u,v)|u^2+v^2=1\}$ は有界閉集合だから連続関数 $\varphi(u,v)=Au^2+2Buv+Cv^2$ は $S$ 上で最小値 $m\gt0$ を取る。
　 $\displaystyle{\lim_{(h,k)\rightarrow(0,0)}\eta(h,k)}=0$ であるから、 $\delta\gt0$ を適当に取ると原点 $O$ の近傍 $U(O;\delta)$ に属するすべての $(h,k)\neq\boldsymbol{0}$ に対して

$\begin{aligned} \left|\eta(h,k)\right|\leq \displaystyle{\frac{m}{2}} \end{aligned}$

とできる。したがって近傍 $U(O;\delta)$ に属するすべての $(h,k)\neq\boldsymbol{0}$ に対して

$\begin{aligned} \alpha(h,k)\geq \rho^2\left(m-\displaystyle{\frac{m}{2}}\right)=\displaystyle{\frac{\rho^2 m}{2}}\gt0 \end{aligned}$

が成り立つ。
　これにより $(h,k)\neq\boldsymbol{0}$ について $(h,k)\in U(O;\delta)$ が成り立つとき

$\begin{aligned} f(x_0+h,y_0+k)\gt f(x_0,y_0) \end{aligned}$

が成立する。このため、 $P_0(x_0,y_0)$ で $f(x,y)$ は狭義の極小を取る。 $f_{xx}(P_0)\lt0$ の場合に点 $P_0$ において $f(x,y)$ が狭義の極大を取ることも同様に示すことができる。

(3) $D(P_0)=B^2-AC\gt0$ と仮定する。このとき $\varphi(u,v)=Au^2+2Buv+Cv^2$ は単位円 $S$ 上において正の値と負の値の両方を取り得る。

$\begin{aligned} (u_1,v_1),(u_2,v_2)\in S\left(\varphi(u_1,v_1)\gt0,\varphi(u_2,v_2)\gt0\right) \end{aligned}$

とする。 $\displaystyle{\lim_{(h,k)\rightarrow(0,0)}\eta(h,k)}=0$ であるから適当に $\delta\gt0$ を取ると、近傍 $U(O;\delta)$ に属するすべての $(h,k)\neq\boldsymbol{0}$ に対して

$\begin{aligned} \left|\eta(h,k)\right|\lt \displaystyle{\frac{1}{2}}\varphi(u_1,v_1)\land \left|\eta(h,k)\right|\lt -\displaystyle{\frac{1}{2}}\varphi(u_2,v_2) \end{aligned}$

とできる。任意に与えた $\varepsilon\gt0$ に対して $0\lt\rho\lt\min\{\varepsilon,\delta\}$ であるときに $(\rho u_1,\rho v_1),(\rho u_2,\rho v_2)\in U(O;\varepsilon)$ であり、

$\begin{aligned} \alpha(\rho u_1,\rho v_1)&=\rho^2\left\{\varphi(u_1,v_1)+\eta(\rho u_1,\rho v_1)\right\}\gt\displaystyle{\frac{1}{2}}\rho^2\varphi(u_1,v_1)\gt0,\\ \alpha(\rho u_2,\rho v_2)&=\rho^2\left\{\varphi(u_2,v_2)+\eta(\rho u_2,\rho v_2)\right\}\lt\displaystyle{\frac{1}{2}}\rho^2\varphi(u_2,v_2)\gt0 \end{aligned}$

が成り立つ。したがって $f(x,y)$ は点 $P_0$ において極値を取らない。　 $\blacksquare$ )

　条件式

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}(P_0)=\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}(P_0)=0 \end{aligned}$

を満たすような点 $P_0$ を停留点または臨界点と呼び、 $D(P_0)\gt0$ であるような停留点 $P_0$ は鞍点と呼ばれる。

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7. 多変数関数の微分

7.6 Taylorの定理

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