今日のまとめ
- Taylorの定理(多変数版):
は領域
上で
回連続微分可能で
とする。さらに
を結ぶ線分が
に含まれているとする。このとき
を満たすようなが存在する。
7. 多変数関数の微分
2つ以上の変数を持つ関数(多変数関数)の微分およびその応用を取り扱う。まずは2変数関数を中心に扱い、その後に一般の変数関数の場合を扱う。
7.6 Taylorの定理
(である。したがって適当なに対して
が成立する。このとき
が成り立つ。 )
7.7 極値問題、条件付き極値問題
領域で定義された関数
が
の点
の近傍で最大値を取るとき、すなわち適当に
を選ぶと点
の近傍
に属するすべての点
において
が成り立つとき、
は点
において極大であるといい、
を
の極大値という。点
と異なるすべての点
に対して
を満たすとき、
は点
において狭義の極大であるという。これと同様に極小、狭義の極小を定義する。極大および極小を総称して極値という。
極値を取る条件
(2) (1)の必要十分条件を満たし、更に
ならば、において
は極値を取り、
ならば点
において狭義の極小、
ならば点
において狭義の極大を取る。
である。同様には
において極値を取るから
である。
次にかつ
と仮定する。Taylorの定理および(1)の条件式から
が成り立つ。上式の右辺第2項をとおき、
の符号を調べる。
と書ける。ここで
である。いまとおくと、
に対して
なおである。仮定より
で
である。したがって
である。単位円は有界閉集合だから連続関数
は
上で最小値
を取る。
であるから、
を適当に取ると原点
の近傍
に属するすべての
に対して
とできる。したがって近傍に属するすべての
に対して
が成り立つ。
これによりについて
が成り立つとき
が成立する。このため、で
は狭義の極小を取る。
の場合に点
において
が狭義の極大を取ることも同様に示すことができる。
(3) と仮定する。このとき
は単位円
上において正の値と負の値の両方を取り得る。
とする。であるから適当に
を取ると、近傍
に属するすべての
に対して
とできる。任意に与えたに対して
であるときに
であり、
が成り立つ。したがっては点
において極値を取らない。
)
条件式
を満たすような点を停留点または臨界点と呼び、
であるような停留点
は鞍点と呼ばれる。