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やりなおしの数学・微分積分篇(29/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

www.rokakuho.co.jp

今日のまとめ

  • Taylorの定理(多変数版):f(x,y)は領域\Omega上でn回連続微分可能で(x_0,y_0),(x_0+h,y_0+k)\in\Omegaとする。さらに(x_0,y_0),(x_0+h,y_0+k)を結ぶ線分が\Omegaに含まれているとする。このとき
    \begin{aligned}f(x_0+h,y_0+k)=&f(x_0,y_0)+\left(h\displaystyle{\frac{\partial }{\partial x}}+k\displaystyle{\frac{\partial }{\partial y}}\right)f(x_0,y_0)\\&+\displaystyle{\frac{1}{2!}}\left(h\displaystyle{\frac{\partial }{\partial x}}+k\displaystyle{\frac{\partial }{\partial y}}\right)^2f(x_0,y_0)+\cdots\\&\cdots+\displaystyle{\frac{1}{(n-1)!}}\left(h\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}}+k\displaystyle{\frac{\partial }{\partial y}}\right)^{n-1}f(x_0,y_0)+\cdots\\&+\displaystyle{\frac{1}{n!}}\left(h\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}}+k\displaystyle{\frac{\partial }{\partial y}}\right)^{n}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k)\end{aligned}
    を満たすような0\lt\theta\lt1が存在する。

7. 多変数関数の微分

 2つ以上の変数を持つ関数(多変数関数)の微分およびその応用を取り扱う。まずは2変数関数を中心に扱い、その後に一般のn(\geq2)変数関数の場合を扱う。

7.6 Taylorの定理


Taylorの定理(多変数版) f(x,y)は領域\Omega上でn回連続微分可能で(x_0,y_0),(x_0+h,y_0+k)\in\Omegaとする。さらに(x_0,y_0),(x_0+h,y_0+k)を結ぶ線分が\Omegaに含まれているとする。このとき

\begin{aligned}
f(x_0+h,y_0+k)=&f(x_0,y_0)+\left(h\displaystyle{\frac{\partial }{\partial x}}+k\displaystyle{\frac{\partial }{\partial y}}\right)f(x_0,y_0)\\
&+\displaystyle{\frac{1}{2!}}\left(h\displaystyle{\frac{\partial }{\partial x}}+k\displaystyle{\frac{\partial }{\partial y}}\right)^2f(x_0,y_0)+\cdots\\
&\cdots+\displaystyle{\frac{1}{(n-1)!}}\left(h\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}}+k\displaystyle{\frac{\partial }{\partial y}}\right)^{n-1}f(x_0,y_0)+\cdots\\
&+\displaystyle{\frac{1}{n!}}\left(h\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}}+k\displaystyle{\frac{\partial }{\partial y}}\right)^{n}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k)
\end{aligned}
を満たすような0\lt\theta\lt1が存在する。
(\because tの関数g(t)=f(x_0+th,y_0+tk),0\leq t\leq 1を考える。g(t)は1変数関数のTaylorの定理が求める条件を満たし、

\begin{aligned}
g(0)=f(x_0,y_0),g(1)=f(x_0+h,y_0+k)
\end{aligned}

である。したがって適当な0\lt\theta\lt1に対して


\begin{aligned}
g(1)=g(0)+g^{\prime}(0)+\displaystyle{\frac{g^{\prime\prime}(0)}{2!}}+\cdots+\displaystyle{\frac{g^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}}+\displaystyle{\frac{g^{(n)}(0)}{n!}}
\end{aligned}

が成立する。このとき


\begin{aligned}
g^{(k)}(0)&=\left(h\displaystyle{\frac{\partial }{\partial x}}+k\displaystyle{\frac{\partial }{\partial y}}\right)^{k}f(x_0,y_0),k=1,2,\cdots,n-1,\\
g^{(n)}(\theta)&=\left(h\displaystyle{\frac{\partial }{\partial x}}+k\displaystyle{\frac{\partial }{\partial y}}\right)^{n}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k)
\end{aligned}

が成り立つ。 \blacksquare)

7.7 極値問題、条件付き極値問題

 
 領域\Omegaで定義された関数z=f(x,y)\Omegaの点P_0(x_0,y_0)の近傍で最大値を取るとき、すなわち適当に\delta\gt0を選ぶと点P_0の近傍U(P_0;\delta)に属するすべての点P(x,y)\in\Omegaにおいてf(P)\leq f(P_0)が成り立つとき、f(x,y)は点P_0(x_0,y_0)において極大であるといい、f(P_0)f(x,y)の極大値という。点P_0と異なるすべての点O\in U(P_0;\delta)に対してf(P)\leq f(P_0)を満たすとき、f(x,y)は点P_0において狭義の極大であるという。これと同様に極小、狭義の極小を定義する。極大および極小を総称して極値という。
 


極値を取る条件 f(x,y)は点P_0(x_0,y_0)の近傍において2回連続微分可能とする。このとき

(1) z=f(x,y)が点P_0(x_0,y_0)において極値を取るための必要十分条件


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}(P_0)=\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}(P_0)=0
\end{aligned}

(2) (1)の必要十分条件を満たし、更に


\begin{aligned}
D(P_0)=\{f_{xy}(P_0)\}^2-f_{xx}(P_0)f_{yy}(P_0)\lt0
\end{aligned}

ならば、P_0においてf(x,y)極値を取り、f_{xx}(P_0)\gt0ならば点P_0において狭義の極小、f_{xx}(P_0)\lt0ならば点P_0において狭義の極大を取る。

(3) (1)の必要十分条件を満たし、更にD(P_0)\gt0ならばf(X,y)は点P_0において極値を取らない。

(\because z=f(x,y)が点P_0(x_0,y_0)において極値を取ると仮定する。このときg(x)=f(x,y_0)x=x_0において極値を取るから 

\begin{aligned}
g^{\prime}(x_0)=f_x(x_0,y_0)=0
\end{aligned}

である。同様にh(y)=f(x_0,y)y=y_0において極値を取るから


\begin{aligned}
h^{\prime}(y_0)=f_y(x_0,y_0)=0
\end{aligned}

である。

 次にD(P_0)\lt0かつf_{xx}(P_0)\gt0と仮定する。Taylorの定理および(1)の条件式から


\begin{aligned}
f(x_0+h,y_0+k)=&f(x_0,y_0)+\displaystyle{\frac{1}{2}}\left(f_{xx}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)h^2\right.\\
&+2f_{xy}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)hk\\
&+\left. f_{yy}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)k^2\right),\ 0\lt\theta\lt1
\end{aligned}

が成り立つ。上式の右辺第2項を\displaystyle{\frac{1}{2}\alpha(h,k)}とおき、\alpha(h,k)の符号を調べる。


\begin{aligned}
\alpha(h,k)=f_{xx}(P_0)h^2+2f_{xy}(P_0)hk+f_{yy}(P_0)k^2+\varepsilon(h,k)
\end{aligned}

と書ける。ここで


\begin{aligned}
\varepsilon(h,k)=&(f_{xx}(P_{\theta})-f_{xx}(P_0))h^2+2(f_{xy}(P_{\theta})-f_{xy}(P_0))hk\\
&+(f_{yy}(P_{\theta})-f_{yy}(P_0))k^2,\ P_{\theta}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)
\end{aligned}

である。いまA=f_{xx}(P_0),B=f_{xy}(P_0),C=f_{yy}(P_0),\rho=\sqrt{h^2+k^2}とおくと、(h,k)\neq (0,0)に対して


\begin{aligned}
\alpha(h,k)=\rho^2\left\{A\left(\displaystyle{\frac{h}{\rho}}\right)^2+
2B\left(\displaystyle{\frac{h}{\rho}}\right)\left(\displaystyle{\frac{k}{\rho}}\right)+
C\left(\displaystyle{\frac{k}{\rho}}\right)^2+\eta(h,k)\right\}
\end{aligned}

なお\displaystyle{\lim_{(h,k)\rightarrow(0,0)}\eta(h,k)}=0である。仮定よりD(P_0)=B^2-AC\lt0A\gt0である。したがって


\begin{aligned}
{}^{\forall}(u,v)\in\mathbb{R}^2\ s.t.\ u^2+v^2=1\left(Au^2+2Buv+Cv^2\gt0\right)
\end{aligned}

である。単位円S=\{(u,v)|u^2+v^2=1\}有界閉集合だから連続関数\varphi(u,v)=Au^2+2Buv+Cv^2S上で最小値m\gt0を取る。
 \displaystyle{\lim_{(h,k)\rightarrow(0,0)}\eta(h,k)}=0であるから、\delta\gt0を適当に取ると原点Oの近傍U(O;\delta)に属するすべての(h,k)\neq\boldsymbol{0}に対して


\begin{aligned}
\left|\eta(h,k)\right|\leq \displaystyle{\frac{m}{2}}
\end{aligned}

とできる。したがって近傍U(O;\delta)に属するすべての(h,k)\neq\boldsymbol{0}に対して


\begin{aligned}
\alpha(h,k)\geq \rho^2\left(m-\displaystyle{\frac{m}{2}}\right)=\displaystyle{\frac{\rho^2 m}{2}}\gt0
\end{aligned}

が成り立つ。
 これにより(h,k)\neq\boldsymbol{0}について(h,k)\in U(O;\delta)が成り立つとき


\begin{aligned}
f(x_0+h,y_0+k)\gt f(x_0,y_0)
\end{aligned}

が成立する。このため、P_0(x_0,y_0)f(x,y)は狭義の極小を取る。f_{xx}(P_0)\lt0の場合に点P_0においてf(x,y)が狭義の極大を取ることも同様に示すことができる。

(3) D(P_0)=B^2-AC\gt0と仮定する。このとき\varphi(u,v)=Au^2+2Buv+Cv^2は単位円S上において正の値と負の値の両方を取り得る。


\begin{aligned}
(u_1,v_1),(u_2,v_2)\in S\left(\varphi(u_1,v_1)\gt0,\varphi(u_2,v_2)\gt0\right)
\end{aligned}

とする。\displaystyle{\lim_{(h,k)\rightarrow(0,0)}\eta(h,k)}=0であるから適当に\delta\gt0を取ると、近傍U(O;\delta)に属するすべての(h,k)\neq\boldsymbol{0}に対して


\begin{aligned}
\left|\eta(h,k)\right|\lt \displaystyle{\frac{1}{2}}\varphi(u_1,v_1)\land \left|\eta(h,k)\right|\lt -\displaystyle{\frac{1}{2}}\varphi(u_2,v_2)
\end{aligned}

とできる。任意に与えた\varepsilon\gt0に対して0\lt\rho\lt\min\{\varepsilon,\delta\}であるときに(\rho u_1,\rho v_1),(\rho u_2,\rho v_2)\in U(O;\varepsilon)であり、


\begin{aligned}
\alpha(\rho u_1,\rho v_1)&=\rho^2\left\{\varphi(u_1,v_1)+\eta(\rho u_1,\rho v_1)\right\}\gt\displaystyle{\frac{1}{2}}\rho^2\varphi(u_1,v_1)\gt0,\\
\alpha(\rho u_2,\rho v_2)&=\rho^2\left\{\varphi(u_2,v_2)+\eta(\rho u_2,\rho v_2)\right\}\lt\displaystyle{\frac{1}{2}}\rho^2\varphi(u_2,v_2)\gt0
\end{aligned}

が成り立つ。したがってf(x,y)は点P_0において極値を取らない。 \blacksquare)

 条件式


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}(P_0)=\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}(P_0)=0
\end{aligned}

を満たすような点P_0停留点または臨界点と呼び、D(P_0)\gt0であるような停留点P_0鞍点と呼ばれる。

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