今日のまとめ
8. 多変数関数の積分
8.8 n重積分の変数変換
重積分における変数変換の公式を示す。
変数変換の公式 有界な領域
がで与えられているとする。
は上へ1対1の写像で各
は
上で定義された
級関数、さらにそのJacob行列
は
をすべてのに対して満たすとする。
であるような
次元体積確定な集合
を考える。このとき
も
次元体積確定であり
が成り立つ。さらに上の
重積分可能な関数
に対して
は
上で
重積分可能であり、
が成り立つ。
例:
を求める。とおくと、Jacobi行列
は
である。したがって
8.9 広義積分
関数の定義域が非有界の場合、または関数が非有界な場合の重積分を考える。正負を取る場合、議論が複雑になるのと応用上は正の値を取る場合を考えれば十分であるから、以下、関数は常に非負であると仮定する。
は
においてその境界の
次元体積は
であるとする。
は
で定義された関数で
だとする。
の部分集合で体積確定かつ有界閉集合だとする。このような
全体の集合を
とする。
は
上で有界かつ
重積分可能だとする。
定義:近似列
広義積分は以下の定理を用いると簡単に計算できる。
(とおく。より
である。したがって
は収束する単調増加列である。
とおく。更に仮定より
は有限である。さて
より
である。したがって
が成り立つ。
他方で近似列の定義からに対して
を満たすような
を取る。
より
である。以上から
であり、したがって
が成立する。
次にを
の任意の近似列とする。
とおくと
は単調増加列である。任意の
に対して、
であるような番号
が存在する。したがって
が成り立つ。以上から
は上に有界な体調増加列であるから収束する。
以上からとおくと
である。
の役割を変えることで
も言える。したがって
である。 )
例:
広義積分
を計算する。とすれば
は
の近似列である。
である。したがって
を得る。
一方でとすると、
は近似列である。したがって
である。いま
であるから、
である。以上から
である。