やりなおしの数学・微分積分篇（37/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ
8.　多変数関数の積分
- 8.8　n重積分の変数変換
- 8.9　広義積分
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今日のまとめ

$\begin{aligned}&\displaystyle{\int\cdots\int_{D_1}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n\\=&\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega_1}F(u_1,\cdots,u_n)}|J(u_1,\cdots,u_n)|du_1\cdots du_n\end{aligned}$
と重積分は変数変換ができる。

広義積分は
$\begin{aligned}\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n=\displaystyle{\sup_{K\in\mathcal{K}}\int\cdots\int_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n\end{aligned}$
で定義する。

広義積分の計算には以下の定理を応用する：
　 $\Omega$ の近似列 $\{K_m\}_{m=1,2,\cdots}$ を適当に選ぶと極限
$\begin{aligned}\displaystyle{\lim_{m\rightarrow\infty}\int\cdots\int_{K_m}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n\end{aligned}$
が存在すると仮定する。このとき $f$ は $\Omega$ 上で広義積分可能であり、
$\begin{aligned}\displaystyle{\int\cdots\in_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n=\displaystyle{\int\cdots\int_{K_m}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n\end{aligned}$
が成立する。
　更に任意の $\Omega$ の近似列 $\{L_{m}\}_{m=1,2,\cdots}$ に対して
$\begin{aligned}\displaystyle{\int\cdots\in_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n=\displaystyle{\int\cdots\int_{L_m}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n\end{aligned}$
が成り立つ。

8.　多変数関数の積分

8.8　n重積分の変数変換

　 $n$ 重積分における変数変換の公式を示す。

変数変換の公式　有界な領域 $\Omega,D\subset\mathbb{R}^n$ の間に写像

$\begin{aligned} \Phi:\Omega\rightarrow D,\Phi:(u_1,\cdots,u_n)\mapsto(x_1,\cdots,x_n) \end{aligned}$

が $x_i=X_i(u_1,\cdots,u_n),i=1,2,\cdots,n$ で与えられているとする。 $\Phi$ は上へ1対1の写像で各 $X_i(u_1,\cdots,u_n)$ は $\Omega$ 上で定義された $C^{1}$ 級関数、さらにそのJacob行列 $J(u_1,\cdots,u_n)$ は

$\begin{aligned} J(u_1,\cdots,u_n)=\displaystyle{\frac{\partial (x_1,\cdots,x_n)}{\partial u_1,\cdots,u_n}}=\mathrm{det}\begin{bmatrix} \displaystyle{\frac{\partial X_1}{\partial u_1}}&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial X_1}{\partial u_n}}\\ \displaystyle{\frac{\partial X_2}{\partial u_1}}&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial X_2}{\partial u_n}}\\ \vdots&&\vdots\\ \displaystyle{\frac{\partial X_n}{\partial u_1}}&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial X_n}{\partial u_n}} \end{bmatrix}\neq0 \end{aligned}$

をすべての $(u_1,\cdots,u_n)\in\Omega$ に対して満たすとする。 $\overline{\Omega}_1\subset\Omega$ であるような $n$ 次元体積確定な集合 $\Omega_1$ を考える。このとき $D_1=\Phi(\Omega_1)$ も $n$ 次元体積確定であり

$\begin{aligned} \left|D_1\right|=\displaystyle{\int\cdots\int|J(u_1,\cdots,u_n)|}du_1\cdots du_n \end{aligned}$

が成り立つ。さらに $D_1$ 上の $n$ 重積分可能な関数 $f(x_1,\cdots,x_n)$ に対して $F(u_1,\cdots,u_n)=f(X_1(u_1,\cdots,u_n),\cdots,X_n(u_1,\cdots,u_n))$ は $\Omega_1$ 上で $n$ 重積分可能であり、

$\begin{aligned} &\displaystyle{\int\cdots\int_{D_1}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n\\ =&\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega_1}F(u_1,\cdots,u_n)}|J(u_1,\cdots,u_n)|du_1\cdots du_n \end{aligned}$

が成り立つ。

例：

$\begin{aligned} \displaystyle{\iiint_{\Omega}z^2}dxdydz,\Omega=\left\{(x,y,z)|\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leq1}\right\} \end{aligned}$

を求める。 $z=cr\cos\theta,y=br\sin\theta\sin\varphi,x=ar\sin\theta\cos\varphi,0\leq r\leq1,0\leq\theta\leq\pi,0\leq\varphi\leq2\pi$ とおくと、Jacobi行列 $J$ は

$\begin{aligned} J(r,\theta,\varphi)&=\displaystyle{\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}}\\ &=\left|\mathrm{det}\begin{bmatrix}a\sin\theta\cos\varphi&ar\cos\theta\cos\varphi&-ar\sin\theta\sin\varphi\\b\sin\theta\sin\varphi&br\cos\theta\sin\varphi&br\sin\theta\cos\varphi\\c\cos\theta&-cr\sin\theta&0\end{bmatrix}\right|\\ &=abcr^2(\sin\theta\cos^2\theta+\sin^3\theta)=abcr^2\sin\theta \end{aligned}$

である。したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\iiint_{\Omega}z^2}dxdydz&=abc^3\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{\pi}\left(\int_{0}^{1}r^4\cos^2\theta\sin\theta dr\right)d\theta\right)}d\varphi\\ &=abc^32\pi\left[-\displaystyle{\frac{\cos^3\theta}{3}}\right]_{0}^{\pi}\left[\displaystyle{\frac{r^5}{5}}\right]_{0}^{1}=\displaystyle{\frac{4\pi}{15}}abc^3 \end{aligned}$

8.9　広義積分

　関数の定義域が非有界の場合、または関数が非有界な場合の重積分を考える。正負を取る場合、議論が複雑になるのと応用上は正の値を取る場合を考えれば十分であるから、以下、関数は常に非負であると仮定する。
　 $\Omega$ は $\mathbb{R}^n$ においてその境界の $n$ 次元体積は $0$ であるとする。 $f(x_1,\cdots,x_n)$ は $\Omega$ で定義された関数で $f(x_1,\cdots,x_n)\geq0,(x_1,\cdots,x_n)\in\Omega$ だとする。 $K\subset\Omega$ の部分集合で体積確定かつ有界閉集合だとする。このような $K$ 全体の集合を $\mathcal{K}$ とする。 $f(x_1,\cdots,x_n)$ は $K$ 上で有界かつ $n$ 重積分可能だとする。

定義：広義積分　 $f$ の $\Omega$ 上の広義積分 $\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n$ を

$\begin{aligned} \displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n=\displaystyle{\sup_{K\in\mathcal{K}}\int\cdots\int_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n \end{aligned}$

で定義する。また $\displaystyle{\sup_{K\in\mathcal{K}}\int\cdots\int_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n\leq\infty$ のとき、 $f(x)$ は $\Omega$ 上広義積分可能または $\Omega$ 上広義積分は収束するという。

定義：近似列　 $\mathcal{K}$ の集合列 $\{K_m\}_{m=1,2,\cdots}$ が $\Omega$ の近似列であるとは次の性質を持つ数列をいう：

$\begin{aligned} (1)&\ K_1\subset K_2\subset\cdots\subset K_m\subset\cdots\\ (2)&\ {}^{\forall}K\in\mathcal{K}({}^{\exists}m_0\in\mathbb{N}(K\subset K_{m_0})) \end{aligned}$

　広義積分は以下の定理を用いると簡単に計算できる。

広義積分と極限　 $\Omega$ の近似列 $\{K_m\}_{m=1,2,\cdots}$ を適当に選ぶと極限

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{m\rightarrow\infty}\int\cdots\int_{K_m}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n \end{aligned}$

が存在すると仮定する。このとき $f$ は $\Omega$ 上で広義積分可能であり、

$\begin{aligned} \displaystyle{\int\cdots\in_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n=\displaystyle{\int\cdots\int_{K_m}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n \end{aligned}$

が成立する。
　更に任意の $\Omega$ の近似列 $\{L_{m}\}_{m=1,2,\cdots}$ に対して

$\begin{aligned} \displaystyle{\int\cdots\in_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n=\displaystyle{\int\cdots\int_{L_m}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n \end{aligned}$

が成り立つ。

( $\because$ 　簡単のため、 $\mathbb{R}^2$ の場合を考える。

$\begin{aligned} a_n=\displaystyle{\iint_{K_n}f}dxdy \end{aligned}$

とおく。 $f\geq0$ より $0\leq a_n\leq a_{n+1}$ である。したがって $\{a_n\}_{n=1,2,\cdots}$ は収束する単調増加列である。 $L=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}$ とおく。更に仮定より $L$ は有限である。さて $K_n\in\mathcal{K}$ より

$\begin{aligned} a_n\leq\displaystyle{\sup_{k\in\mathcal{K}}\iint_{K}f}dxdy \end{aligned}$

である。したがって

$\begin{aligned} L\leq\displaystyle{\sup_{k\in\mathcal{K}}\iint_{K}f}dxdy \end{aligned}$

が成り立つ。
　他方で近似列の定義から $K\in\mathcal{K}$ に対して $K\subset K_{n_0}$ を満たすような $n_0\in\mathbb{N}$ を取る。 $f\geq0$ より

$\begin{aligned} \displaystyle{\iint_{K}f}dxdy\leq\displaystyle{\iint_{K_{n_0}}f}dxdy=a_{n_0}\leq L \end{aligned}$

である。以上から

$\begin{aligned} \displaystyle{\sup_{K\in\mathcal{K}}\iint_{K}f}dxdy\leq L \end{aligned}$

であり、したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\sup_{K\in\mathcal{K}}\iint_{K}f}dxdy=L \end{aligned}$

が成立する。
　次に $\{L_n\}_{n=1,2,\cdots}$ を $\Omega$ の任意の近似列とする。 $b_N=\displaystyle{\\int_{L_n}f}dxdy$ とおくと $\{b_n\}_{n=1,2,\cdots}$ は単調増加列である。任意の $L_n$ に対して、 $L_n\subset K_{m_0}$ であるような番号 $m_0\in\mathbb{N}$ が存在する。したがって $b_n\leq a_{m_0}\leq L$ が成り立つ。以上から $\{bn\}_{n=1,2,\cdots}$ は上に有界な体調増加列であるから収束する。
　以上から $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}=L^{\prime}$ とおくと $L^{\prime}\leq L$ である。 $\{a_n\}_{n=1,2,\cdots},\{b_n\}_{n=1,2,\cdots}$ の役割を変えることで $L\leq L^{\prime}$ も言える。したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}=L=\displaystyle{\iint_{\Omega}f}dxdy \end{aligned}$

である。　 $\blacksquare$ )

例：
　広義積分

$\begin{aligned} \displaystyle{\iint_{\Omega}e^{-(x^2+y^2)}}dxdy,\Omega=\left\{(x,y)|x\geq0,y\geq0\right\} \end{aligned}$

を計算する。 $K_n=\{(x,y)|x^2+y^2\leq n^2\}$ とすれば $\{K_n\}_{n=1,2,\cdots}$ は $\Omega$ の近似列である。

$\begin{aligned} \displaystyle{\iint_{K_n}e^{0(x^2+y^2)}}dxdy=\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{n}e^{-r^2}r}drd\theta=\displaystyle{\frac{\pi}{4}(1-e^{-n^2})} \end{aligned}$

である。したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\iint_{\Omega}e^{-(x^2+y^2)}}dxdy=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\iint_{K_n}e^{0(x^2+y^2)}}dxdy=\displaystyle{\frac{\pi}{4}} \end{aligned}$

を得る。
　一方で $L_n=\{(x,y)|0\leq x\leq n,0\leq y\leq n\}$ とすると、 $\{L_n\}_{n=1,2,\cdots}$ は近似列である。したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\pi}{4}}=\displaystyle{\iint_{\Omega}e^{-(x^2+y^2)}}dxdy=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\iint_{L_n}e^{-(x^2+y^2)}}dxdy \end{aligned}$

である。いま

$\begin{aligned} \displaystyle{\iint_{L_n}e^{-(x^2+y^2)}}dxdy=\displaystyle{\int_{0}^{n}e^{-x^2}dx\int_0^{n}e^{-y^2}dy}=\left(\displaystyle{\int_{0}^{n}e^{-x^2}}dx\right)^2 \end{aligned}$

であるから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}}dx=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\iint_{L_n}e^{-(x^2+y^2)}dxdy}}=\sqrt{\displaystyle{\frac{\pi}{4}}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} \end{aligned}$

である。以上から

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}}dx=\displaystyle{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} \end{aligned}$

である。

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8. 多変数関数の積分

8.8 n重積分の変数変換

8.9 広義積分

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