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やりなおしの数学・微分積分篇(37/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • \begin{aligned}&\displaystyle{\int\cdots\int_{D_1}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n\\=&\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega_1}F(u_1,\cdots,u_n)}|J(u_1,\cdots,u_n)|du_1\cdots du_n\end{aligned}
    と重積分は変数変換ができる。
  • 広義積分
    \begin{aligned}\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n=\displaystyle{\sup_{K\in\mathcal{K}}\int\cdots\int_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n\end{aligned}
    で定義する。
  • 広義積分の計算には以下の定理を応用する:

     \Omegaの近似列\{K_m\}_{m=1,2,\cdots}を適当に選ぶと極限
    \begin{aligned}\displaystyle{\lim_{m\rightarrow\infty}\int\cdots\int_{K_m}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n\end{aligned}
    が存在すると仮定する。このときf\Omega上で広義積分可能であり、
    \begin{aligned}\displaystyle{\int\cdots\in_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n=\displaystyle{\int\cdots\int_{K_m}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n\end{aligned}
    が成立する。

     更に任意の\Omegaの近似列\{L_{m}\}_{m=1,2,\cdots}に対して
    \begin{aligned}\displaystyle{\int\cdots\in_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n=\displaystyle{\int\cdots\int_{L_m}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n\end{aligned}
    が成り立つ。

8. 多変数関数の積分

 

8.8 n重積分の変数変換

 n積分における変数変換の公式を示す。


変数変換の公式 有界な領域\Omega,D\subset\mathbb{R}^nの間に写像

\begin{aligned}
\Phi:\Omega\rightarrow D,\Phi:(u_1,\cdots,u_n)\mapsto(x_1,\cdots,x_n)
\end{aligned}

x_i=X_i(u_1,\cdots,u_n),i=1,2,\cdots,nで与えられているとする。\Phiは上へ1対1の写像で各X_i(u_1,\cdots,u_n)\Omega上で定義されたC^{1}級関数、さらにそのJacob行列J(u_1,\cdots,u_n)


\begin{aligned}
J(u_1,\cdots,u_n)=\displaystyle{\frac{\partial (x_1,\cdots,x_n)}{\partial u_1,\cdots,u_n}}=\mathrm{det}\begin{bmatrix}
\displaystyle{\frac{\partial X_1}{\partial u_1}}&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial X_1}{\partial u_n}}\\
\displaystyle{\frac{\partial X_2}{\partial u_1}}&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial X_2}{\partial u_n}}\\
\vdots&&\vdots\\
\displaystyle{\frac{\partial X_n}{\partial u_1}}&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial X_n}{\partial u_n}}
\end{bmatrix}\neq0
\end{aligned}

をすべての(u_1,\cdots,u_n)\in\Omegaに対して満たすとする。\overline{\Omega}_1\subset\Omegaであるようなn次元体積確定な集合\Omega_1を考える。このときD_1=\Phi(\Omega_1)n次元体積確定であり


\begin{aligned}
\left|D_1\right|=\displaystyle{\int\cdots\int|J(u_1,\cdots,u_n)|}du_1\cdots du_n
\end{aligned}

が成り立つ。さらにD_1上のn積分可能な関数f(x_1,\cdots,x_n)に対してF(u_1,\cdots,u_n)=f(X_1(u_1,\cdots,u_n),\cdots,X_n(u_1,\cdots,u_n))\Omega_1上でn積分可能であり、


\begin{aligned}
&\displaystyle{\int\cdots\int_{D_1}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n\\
=&\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega_1}F(u_1,\cdots,u_n)}|J(u_1,\cdots,u_n)|du_1\cdots du_n
\end{aligned}

が成り立つ。

例:


\begin{aligned}
\displaystyle{\iiint_{\Omega}z^2}dxdydz,\Omega=\left\{(x,y,z)|\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leq1}\right\}
\end{aligned}

を求める。z=cr\cos\theta,y=br\sin\theta\sin\varphi,x=ar\sin\theta\cos\varphi,0\leq r\leq1,0\leq\theta\leq\pi,0\leq\varphi\leq2\piとおくと、Jacobi行列J


\begin{aligned}
J(r,\theta,\varphi)&=\displaystyle{\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}}\\
&=\left|\mathrm{det}\begin{bmatrix}a\sin\theta\cos\varphi&ar\cos\theta\cos\varphi&-ar\sin\theta\sin\varphi\\b\sin\theta\sin\varphi&br\cos\theta\sin\varphi&br\sin\theta\cos\varphi\\c\cos\theta&-cr\sin\theta&0\end{bmatrix}\right|\\
&=abcr^2(\sin\theta\cos^2\theta+\sin^3\theta)=abcr^2\sin\theta
\end{aligned}

である。したがって


\begin{aligned}
\displaystyle{\iiint_{\Omega}z^2}dxdydz&=abc^3\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{\pi}\left(\int_{0}^{1}r^4\cos^2\theta\sin\theta dr\right)d\theta\right)}d\varphi\\
&=abc^32\pi\left[-\displaystyle{\frac{\cos^3\theta}{3}}\right]_{0}^{\pi}\left[\displaystyle{\frac{r^5}{5}}\right]_{0}^{1}=\displaystyle{\frac{4\pi}{15}}abc^3
\end{aligned}

8.9 広義積分

 関数の定義域が非有界の場合、または関数が非有界な場合の重積分を考える。正負を取る場合、議論が複雑になるのと応用上は正の値を取る場合を考えれば十分であるから、以下、関数は常に非負であると仮定する。
 \Omega\mathbb{R}^nにおいてその境界のn次元体積は0であるとする。f(x_1,\cdots,x_n)\Omegaで定義された関数でf(x_1,\cdots,x_n)\geq0,(x_1,\cdots,x_n)\in\Omegaだとする。K\subset\Omegaの部分集合で体積確定かつ有界閉集合だとする。このようなK全体の集合を\mathcal{K}とする。f(x_1,\cdots,x_n)K上で有界かつn積分可能だとする。


定義:広義積分 f\Omega上の広義積分\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n

\begin{aligned}
\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n=\displaystyle{\sup_{K\in\mathcal{K}}\int\cdots\int_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n
\end{aligned}

で定義する。また\displaystyle{\sup_{K\in\mathcal{K}}\int\cdots\int_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n\leq\inftyのとき、f(x)\Omega上広義積分可能または\Omega上広義積分は収束するという。



定義:近似列 \mathcal{K}の集合列\{K_m\}_{m=1,2,\cdots}\Omegaの近似列であるとは次の性質を持つ数列をいう:

\begin{aligned}
(1)&\ K_1\subset K_2\subset\cdots\subset K_m\subset\cdots\\
(2)&\ {}^{\forall}K\in\mathcal{K}({}^{\exists}m_0\in\mathbb{N}(K\subset K_{m_0}))
\end{aligned}

 広義積分は以下の定理を用いると簡単に計算できる。


広義積分と極限 \Omegaの近似列\{K_m\}_{m=1,2,\cdots}を適当に選ぶと極限

\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{m\rightarrow\infty}\int\cdots\int_{K_m}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n
\end{aligned}

が存在すると仮定する。このときf\Omega上で広義積分可能であり、


\begin{aligned}
\displaystyle{\int\cdots\in_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n=\displaystyle{\int\cdots\int_{K_m}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n
\end{aligned}

が成立する。
 更に任意の\Omegaの近似列\{L_{m}\}_{m=1,2,\cdots}に対して


\begin{aligned}
\displaystyle{\int\cdots\in_{\Omega}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n=\displaystyle{\int\cdots\int_{L_m}f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n
\end{aligned}

が成り立つ。

(\because 簡単のため、\mathbb{R}^2の場合を考える。

\begin{aligned}
a_n=\displaystyle{\iint_{K_n}f}dxdy
\end{aligned}

とおく。f\geq0より0\leq a_n\leq a_{n+1}である。したがって\{a_n\}_{n=1,2,\cdots}は収束する単調増加列である。L=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}とおく。更に仮定よりLは有限である。さてK_n\in\mathcal{K}より


\begin{aligned}
a_n\leq\displaystyle{\sup_{k\in\mathcal{K}}\iint_{K}f}dxdy
\end{aligned}

である。したがって


\begin{aligned}
L\leq\displaystyle{\sup_{k\in\mathcal{K}}\iint_{K}f}dxdy
\end{aligned}

が成り立つ。
 他方で近似列の定義からK\in\mathcal{K}に対してK\subset K_{n_0}を満たすようなn_0\in\mathbb{N}を取る。f\geq0より


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{K}f}dxdy\leq\displaystyle{\iint_{K_{n_0}}f}dxdy=a_{n_0}\leq L
\end{aligned}

である。以上から


\begin{aligned}
\displaystyle{\sup_{K\in\mathcal{K}}\iint_{K}f}dxdy\leq L
\end{aligned}

であり、したがって


\begin{aligned}
\displaystyle{\sup_{K\in\mathcal{K}}\iint_{K}f}dxdy=L
\end{aligned}

が成立する。
 次に\{L_n\}_{n=1,2,\cdots}\Omegaの任意の近似列とする。b_N=\displaystyle{\\int_{L_n}f}dxdyとおくと\{b_n\}_{n=1,2,\cdots}は単調増加列である。任意のL_nに対して、L_n\subset K_{m_0}であるような番号m_0\in\mathbb{N}が存在する。したがってb_n\leq a_{m_0}\leq Lが成り立つ。以上から\{bn\}_{n=1,2,\cdots}は上に有界な体調増加列であるから収束する。
 以上から\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}=L^{\prime}とおくとL^{\prime}\leq Lである。\{a_n\}_{n=1,2,\cdots},\{b_n\}_{n=1,2,\cdots}の役割を変えることでL\leq L^{\prime}も言える。したがって


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}=L=\displaystyle{\iint_{\Omega}f}dxdy
\end{aligned}

である。 \blacksquare)

例:
 広義積分


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\Omega}e^{-(x^2+y^2)}}dxdy,\Omega=\left\{(x,y)|x\geq0,y\geq0\right\}
\end{aligned}

を計算する。K_n=\{(x,y)|x^2+y^2\leq n^2\}とすれば\{K_n\}_{n=1,2,\cdots}\Omegaの近似列である。


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{K_n}e^{0(x^2+y^2)}}dxdy=\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{n}e^{-r^2}r}drd\theta=\displaystyle{\frac{\pi}{4}(1-e^{-n^2})}
\end{aligned}

である。したがって


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\Omega}e^{-(x^2+y^2)}}dxdy=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\iint_{K_n}e^{0(x^2+y^2)}}dxdy=\displaystyle{\frac{\pi}{4}}
\end{aligned}

を得る。
 一方でL_n=\{(x,y)|0\leq x\leq n,0\leq y\leq n\}とすると、\{L_n\}_{n=1,2,\cdots}は近似列である。したがって


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{\pi}{4}}=\displaystyle{\iint_{\Omega}e^{-(x^2+y^2)}}dxdy=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\iint_{L_n}e^{-(x^2+y^2)}}dxdy
\end{aligned}

である。いま


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{L_n}e^{-(x^2+y^2)}}dxdy=\displaystyle{\int_{0}^{n}e^{-x^2}dx\int_0^{n}e^{-y^2}dy}=\left(\displaystyle{\int_{0}^{n}e^{-x^2}}dx\right)^2
\end{aligned}

であるから、


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}}dx=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\iint_{L_n}e^{-(x^2+y^2)}dxdy}}=\sqrt{\displaystyle{\frac{\pi}{4}}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}
\end{aligned}

である。以上から


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}}dx=\displaystyle{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}
\end{aligned}

である。

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