証券投資論（05/21） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　証券投資（現代ポートフォリオ理論）をコンパクトに学ぶべく、比較的最近に発刊され薄めの本である

証券投資理論 (Minervaファイナンス講座)

作者:八木恭子,澤木勝茂
ミネルヴァ書房

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を参考に学んでいく。

3.　ポートフォリオ理論
- 3.6.　効率的ポートフォリオの性質

前回：

power-of-awareness.com

3.　ポートフォリオ理論

3.6.　効率的ポートフォリオの性質

　期待リターン $E[r_P]$ が与えられたとき、分散を最小にする効率的ポートフォリオは

$\begin{aligned} \boldsymbol{\omega}_P=&\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\ &+\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}E[r_P] \end{aligned}$

で与えられることは既に示したとおりである。これの性質を調べていく。以降簡単のため

$\begin{aligned} g&=\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\ h&=\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}} \end{aligned}$

とおく。また

$\begin{aligned} A&={}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu},\\ B&={}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu},\\ C&={}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1},\\ D&=BC-A^2 \end{aligned}$

とする。

$g,\ g+h$ もまた効率的ポートフォリオである。

　 $E[r_P]=0$ および $E[r_P]=1$ とすれば直ちに導かれる。

任意の2つのポートフォリオによって効率的フロンティアを生成することができる。

（ $\because$ 　効率的ポートフォリオ

$\begin{aligned} \boldsymbol{\omega}_P=g+h\cdot E[r_P] \end{aligned}$

において、 $\boldsymbol{\omega}_h=\displaystyle{\frac{V^{-1}E[r_P]}{A}},\ \boldsymbol{\omega}_g=\displaystyle{\frac{V^{-1}\boldsymbol{1}}{C}}$ とおくと

$\begin{aligned} \boldsymbol{\omega}_P=\displaystyle{\frac{C\cdot E[r_P]-A}{D}}A\boldsymbol{\omega}_h+\displaystyle{\frac{B-A\cdot E[r_P]}{D}}C\boldsymbol{\omega}_g \end{aligned}$

と書き直すことができる。
　この $\boldsymbol{\omega}_h=\displaystyle{\frac{V^{-1}E[r_P]}{A}},\ \boldsymbol{\omega}_g=\displaystyle{\frac{V^{-1}\boldsymbol{1}}{C}}$ は

$\begin{aligned} \boldsymbol{1}\boldsymbol{\omega}_h&=\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}}{A}}=1,\\ \boldsymbol{1}\boldsymbol{\omega}_g&=\displaystyle{\frac{\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}}{C}}=1 \end{aligned}$

となるから、 $\boldsymbol{\omega}_h,\boldsymbol{\omega}_g$ もまたポートフォリオである。これらはそれぞれ $E[r_P]=\displaystyle{\frac{B}{C}},\ E[r_P]=\displaystyle{\frac{A}{C}}$ としたときの効率的ポートフォリオである。
　変形した

$\begin{aligned} \boldsymbol{\omega}_P=\displaystyle{\frac{C\cdot E[r_P]-A}{D}}A\boldsymbol{\omega}_h+\displaystyle{\frac{B-A\cdot E[r_P]}{D}}C\boldsymbol{\omega}_g \end{aligned}$

の右辺における両係数の和を取ると

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{C\cdot E[r_P]-A}{D}}A+\displaystyle{\frac{B-A\cdot E[r_P]}{D}}C=\displaystyle{\frac{BC-A^2}{D}}=1 \end{aligned}$

が成り立つ。これはすなわち $E[r_P]=u$ としてこれを任意に与えれば

$\begin{aligned} \boldsymbol{\omega}_P=u\boldsymbol{\omega}_h+(1-u)\boldsymbol{\omega}_g \end{aligned}$

である。これは効率的ポートフォリオ $\boldsymbol{\omega}_P$ が2つの効率的ポートフォリオの一時結合として表現できることを意味する。
　他方で任意の2つの異なる効率的ポートフォリオ $\boldsymbol{\omega}_P^{*},\boldsymbol{\omega}_Q^{*}$ に対して

$\begin{aligned} \boldsymbol{\omega}_P=u\boldsymbol{\omega}_h+(1-u)\boldsymbol{\omega}_g \end{aligned}$

を適用することで、 ${}^{\forall}u_P,u_Q\in\mathbb{R}$ に対して

$\begin{aligned} \boldsymbol{\omega}_P^{*}&=u_P\boldsymbol{\omega}_h+(1-u_P)\boldsymbol{\omega}_g,\\ \boldsymbol{\omega}_Q^{*}&=u_Q\boldsymbol{\omega}_h+(1-u_Q)\boldsymbol{\omega}_g \end{aligned}$

と書くことが出来る。これを $\boldsymbol{\omega}_h,\boldsymbol{\omega}_g$ について解くことで

$\begin{aligned} \boldsymbol{\omega}_h&=\displaystyle{\frac{(1-u_Q)\boldsymbol{\omega}_P^{*}-(1-u_P)\boldsymbol{\omega}_Q^{*}}{u_P-u_Q}},\\ \boldsymbol{\omega}_g&=\displaystyle{\frac{u_Q\boldsymbol{\omega}_P^{*}-u_P\boldsymbol{\omega}_Q^{*}}{u_Q-u_P}} \end{aligned}$

となる。右辺の係数の和は $1$ であるから、したがって2つの効率的ポートフォリオの一次結合はまた効率的ポートフォリオである。　 $\blacksquare$ ）

　この性質は効率的フロンティア上の任意のポートフォリオの一次結合はまた効率的フロンティア上の効率的ポートフォリオとなることを物語る。
　有価証券のみを保有する目的で設立された投資信託会社が $n$ 種類の株式に投資する資金を調達すべく株式を発行する場合、その発行株式の価値は保有資産の価値の総額に等しいはずである。この性質は任意の効率的ポートフォリオが2種類の信託基金で複製することができることを主張している。すなわち任意の効率的ポートフォリオは2つの信託基金に分離できることを意味する。これを2基金分離の定理と呼ぶ。

ポートフォリオと最小分散ポートフォリオの共分散　任意のポートフォリオ $x$ と最小分散ポートフォリオを $(\omega,1-\omega)$ で保有するポートフォリオの共分散は最小分散ポートフォリオの分散に等しい。

( $\because$ 　あるポートフォリオ $x$ のリターンを $r_x$ 、最小分散ポートフォリオのリターンを $r_{mvp}$ とする。あるポートフォリオ $x$ と最小分散ポートフォリオを $(\omega,1-\omega)$ で保有するポートフォリオ $P$ のリターン $r_P$ は

$\begin{aligned} r_P=\omega r_x+(1-\omega)r_{mvp} \end{aligned}$

である。したがって

$\begin{aligned} V[r_P]=\omega^2 V[r_x]+(1-\omega)^2 V[r_{mvp}]+\omega(1-\omega)2\mathrm{Cov}[r_x,r_{mvp}] \end{aligned}$

である。このとき $\omega$ が満たすべき必要十分条件は、これを $\omega$ に関して微分したものの方程式

$\begin{aligned} \omega V[r_x]-(1-\omega)V[r_{mvp}]+(1-2\omega)\mathrm{Cov}[r_x,r_{mvp}]=0 \end{aligned}$

である。このとき $\omega=0$ とすればこれは最小分散ポートフォリオに等しいから、 $\omega=0$ とおくと

$\begin{aligned} \mathrm{Cov}[r_x,r_{mvp}]=V[r_{mvp}] \end{aligned}$

が得られる。　 $\blacksquare$ )

効率的ポートフォリオの共分散　任意の2つの効率的ポートフォリオ $P$ および $Q$ のリターン $r_P,r_Q$ に対して

$\begin{aligned} \mathrm{Cov}[r_P,r_Q]=\displaystyle{\frac{C\cdot E[r_P] E[r_Q]-A(E[r_P]+E[r_Q])+B}{D}} \end{aligned}$

が成り立つ。

( $\because$ 　投資対象となる全銘柄のリターンベクトルを

$\begin{aligned} \boldsymbol{r}=\begin{bmatrix}r_1\\r_2\\\vdots\\r_n\end{bmatrix} \end{aligned}$

とする。過去に得た結果から、これらのポートフォリオの期待リターン $\mu_P=E[r_P],\mu_Q=E[r_Q]$ を達成するような効率的ポートフォリオ $R_1$ ： ${}^{t}\boldsymbol{\omega}_{P}\boldsymbol{r},\ \ R_2$ ： ${}^{t}\boldsymbol{\omega}_{Q}\boldsymbol{r}$ への投資ウェイトは

$\begin{aligned} \boldsymbol{\omega}_P&=\displaystyle{\frac{C\mu_P-A}{D}}V^{-1}\mathbb{E}[\boldsymbol{r}]+\displaystyle{\frac{B-\mu_P A}{D}}V^{-1}\boldsymbol{1},\\ \boldsymbol{\omega}_Q&=\displaystyle{\frac{C\mu_Q-A}{D}}V^{-1}\mathbb{E}[\boldsymbol{r}]+\displaystyle{\frac{B-\mu_Q A}{D}}V^{-1}\boldsymbol{1} \end{aligned}$

で得られる。したがって

$\begin{aligned} \mathrm{Cov}[r_P,r_Q]&=E[(r_P-\mu_P)(r_Q-\mu_Q)]\\ &=E[{}^{t}\left(\boldsymbol{\omega}_P(r-\mathbb{E}[r])\right){}^{t}\boldsymbol{\omega}_Q(r-\mathbb{E}[r])]\\ &={}^{t}\boldsymbol{\omega}_P\ E[{}^{t}(\boldsymbol{r}-\mathbb{E}[\boldsymbol{r}])(\boldsymbol{r}-\mathbb{E}[\boldsymbol{r}])]\boldsymbol{\omega}_Q\\ &={}^{t}\boldsymbol{\omega}_P V\ \boldsymbol{\omega}_Q \end{aligned}$

が成り立つ。 $B={}^t\mathbb{E}[\boldsymbol{r}]V^{-1}\mathbb{E}[\boldsymbol{r}],\ A={}^{t}\mathbb{E}[\boldsymbol{r}]V^{-1}\boldsymbol{1},\ C={}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}$ および $D=BC-A^2$ を用いることで

$\begin{aligned} \mathrm{Cov}[r_P,r_Q]=&{}^{t}\boldsymbol{\omega}_P V\ \boldsymbol{\omega}_Q\\ =&\left(\displaystyle{\frac{C\mu_P-A}{D}}V^{-1}\mathbb{E}[\boldsymbol{r}]+\displaystyle{\frac{B-\mu_P A}{D}}V^{-1}\boldsymbol{1}\right)V\\ &\left(\displaystyle{\frac{C\mu_Q-A}{D}}V^{-1}\mathbb{E}[\boldsymbol{r}]+\displaystyle{\frac{B-\mu_Q A}{D}}V^{-1}\boldsymbol{1}\right)\\ =&\displaystyle{\frac{C\cdot E[r_P] E[r_Q]-A(E[r_P]+E[r_Q])+B}{D}} \end{aligned}$