「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。

MENU

証券投資論(05/21)

 証券投資(現代ポートフォリオ理論)をコンパクトに学ぶべく、比較的最近に発刊され薄めの本である

を参考に学んでいく。

  • 前回:

power-of-awareness.com

3. ポートフォリオ理論

3.6. 効率的ポートフォリオの性質

 期待リターンE[r_P]が与えられたとき、分散を最小にする効率的ポートフォリオ


\begin{aligned}
\boldsymbol{\omega}_P=&\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\
&+\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}E[r_P]
\end{aligned}

で与えられることは既に示したとおりである。これの性質を調べていく。以降簡単のため


\begin{aligned}
g&=\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\
h&=\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}
\end{aligned}

とおく。また


\begin{aligned}
A&={}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu},\\
B&={}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu},\\
C&={}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1},\\
D&=BC-A^2
\end{aligned}

とする。

 E[r_P]=0およびE[r_P]=1とすれば直ちに導かれる。

  • 任意の2つのポートフォリオによって効率的フロンティアを生成することができる。

\because 効率的ポートフォリオ


\begin{aligned}
\boldsymbol{\omega}_P=g+h\cdot E[r_P]
\end{aligned}

において、\boldsymbol{\omega}_h=\displaystyle{\frac{V^{-1}E[r_P]}{A}},\ \boldsymbol{\omega}_g=\displaystyle{\frac{V^{-1}\boldsymbol{1}}{C}}とおくと


\begin{aligned}
\boldsymbol{\omega}_P=\displaystyle{\frac{C\cdot E[r_P]-A}{D}}A\boldsymbol{\omega}_h+\displaystyle{\frac{B-A\cdot E[r_P]}{D}}C\boldsymbol{\omega}_g
\end{aligned}

と書き直すことができる。
 この\boldsymbol{\omega}_h=\displaystyle{\frac{V^{-1}E[r_P]}{A}},\ \boldsymbol{\omega}_g=\displaystyle{\frac{V^{-1}\boldsymbol{1}}{C}}


\begin{aligned}
\boldsymbol{1}\boldsymbol{\omega}_h&=\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}}{A}}=1,\\
\boldsymbol{1}\boldsymbol{\omega}_g&=\displaystyle{\frac{\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}}{C}}=1
\end{aligned}

となるから、\boldsymbol{\omega}_h,\boldsymbol{\omega}_gもまたポートフォリオである。これらはそれぞれE[r_P]=\displaystyle{\frac{B}{C}},\ E[r_P]=\displaystyle{\frac{A}{C}}としたときの効率的ポートフォリオである。
 変形した


\begin{aligned}
\boldsymbol{\omega}_P=\displaystyle{\frac{C\cdot E[r_P]-A}{D}}A\boldsymbol{\omega}_h+\displaystyle{\frac{B-A\cdot E[r_P]}{D}}C\boldsymbol{\omega}_g
\end{aligned}

の右辺における両係数の和を取ると


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{C\cdot E[r_P]-A}{D}}A+\displaystyle{\frac{B-A\cdot E[r_P]}{D}}C=\displaystyle{\frac{BC-A^2}{D}}=1
\end{aligned}

が成り立つ。これはすなわちE[r_P]=uとしてこれを任意に与えれば


\begin{aligned}
\boldsymbol{\omega}_P=u\boldsymbol{\omega}_h+(1-u)\boldsymbol{\omega}_g
\end{aligned}

である。これは効率的ポートフォリオ\boldsymbol{\omega}_Pが2つの効率的ポートフォリオの一時結合として表現できることを意味する。
 他方で任意の2つの異なる効率的ポートフォリオ\boldsymbol{\omega}_P^{*},\boldsymbol{\omega}_Q^{*}に対して


\begin{aligned}
\boldsymbol{\omega}_P=u\boldsymbol{\omega}_h+(1-u)\boldsymbol{\omega}_g
\end{aligned}

を適用することで、{}^{\forall}u_P,u_Q\in\mathbb{R}に対して


\begin{aligned}
\boldsymbol{\omega}_P^{*}&=u_P\boldsymbol{\omega}_h+(1-u_P)\boldsymbol{\omega}_g,\\
\boldsymbol{\omega}_Q^{*}&=u_Q\boldsymbol{\omega}_h+(1-u_Q)\boldsymbol{\omega}_g
\end{aligned}

と書くことが出来る。これを\boldsymbol{\omega}_h,\boldsymbol{\omega}_gについて解くことで


\begin{aligned}
\boldsymbol{\omega}_h&=\displaystyle{\frac{(1-u_Q)\boldsymbol{\omega}_P^{*}-(1-u_P)\boldsymbol{\omega}_Q^{*}}{u_P-u_Q}},\\
\boldsymbol{\omega}_g&=\displaystyle{\frac{u_Q\boldsymbol{\omega}_P^{*}-u_P\boldsymbol{\omega}_Q^{*}}{u_Q-u_P}}
\end{aligned}

となる。右辺の係数の和は1であるから、したがって2つの効率的ポートフォリオの一次結合はまた効率的ポートフォリオである。 \blacksquare


 この性質は効率的フロンティア上の任意のポートフォリオの一次結合はまた効率的フロンティア上の効率的ポートフォリオとなることを物語る。
 有価証券のみを保有する目的で設立された投資信託会社がn種類の株式に投資する資金を調達すべく株式を発行する場合、その発行株式の価値は保有資産の価値の総額に等しいはずである。この性質は任意の効率的ポートフォリオが2種類の信託基金で複製することができることを主張している。すなわち任意の効率的ポートフォリオは2つの信託基金に分離できることを意味する。これを2基金分離の定理と呼ぶ。



ポートフォリオと最小分散ポートフォリオの共分散 任意のポートフォリオxと最小分散ポートフォリオ(\omega,1-\omega)保有するポートフォリオの共分散は最小分散ポートフォリオの分散に等しい。
(\because あるポートフォリオxのリターンをr_x、最小分散ポートフォリオのリターンをr_{mvp}とする。あるポートフォリオxと最小分散ポートフォリオ(\omega,1-\omega)保有するポートフォリオPのリターンr_P

\begin{aligned}
r_P=\omega r_x+(1-\omega)r_{mvp}
\end{aligned}

である。したがって


\begin{aligned}
V[r_P]=\omega^2 V[r_x]+(1-\omega)^2 V[r_{mvp}]+\omega(1-\omega)2\mathrm{Cov}[r_x,r_{mvp}]
\end{aligned}

である。このとき\omegaが満たすべき必要十分条件は、これを\omegaに関して微分したものの方程式


\begin{aligned}
\omega V[r_x]-(1-\omega)V[r_{mvp}]+(1-2\omega)\mathrm{Cov}[r_x,r_{mvp}]=0
\end{aligned}

である。このとき\omega=0とすればこれは最小分散ポートフォリオに等しいから、\omega=0とおくと


\begin{aligned}
\mathrm{Cov}[r_x,r_{mvp}]=V[r_{mvp}]
\end{aligned}

が得られる。 \blacksquare)



効率的ポートフォリオの共分散 任意の2つの効率的ポートフォリオPおよびQのリターンr_P,r_Qに対して

\begin{aligned}
\mathrm{Cov}[r_P,r_Q]=\displaystyle{\frac{C\cdot E[r_P] E[r_Q]-A(E[r_P]+E[r_Q])+B}{D}}
\end{aligned}
が成り立つ。
(\because 投資対象となる全銘柄のリターンベクトルを

\begin{aligned}
\boldsymbol{r}=\begin{bmatrix}r_1\\r_2\\\vdots\\r_n\end{bmatrix}
\end{aligned}

とする。過去に得た結果から、これらのポートフォリオの期待リターン\mu_P=E[r_P],\mu_Q=E[r_Q]を達成するような効率的ポートフォリオR_1{}^{t}\boldsymbol{\omega}_{P}\boldsymbol{r},\ \ R_2{}^{t}\boldsymbol{\omega}_{Q}\boldsymbol{r}への投資ウェイトは


\begin{aligned}
\boldsymbol{\omega}_P&=\displaystyle{\frac{C\mu_P-A}{D}}V^{-1}\mathbb{E}[\boldsymbol{r}]+\displaystyle{\frac{B-\mu_P A}{D}}V^{-1}\boldsymbol{1},\\
\boldsymbol{\omega}_Q&=\displaystyle{\frac{C\mu_Q-A}{D}}V^{-1}\mathbb{E}[\boldsymbol{r}]+\displaystyle{\frac{B-\mu_Q A}{D}}V^{-1}\boldsymbol{1}
\end{aligned}

で得られる。したがって


\begin{aligned}
\mathrm{Cov}[r_P,r_Q]&=E[(r_P-\mu_P)(r_Q-\mu_Q)]\\
&=E[{}^{t}\left(\boldsymbol{\omega}_P(r-\mathbb{E}[r])\right){}^{t}\boldsymbol{\omega}_Q(r-\mathbb{E}[r])]\\
&={}^{t}\boldsymbol{\omega}_P\ E[{}^{t}(\boldsymbol{r}-\mathbb{E}[\boldsymbol{r}])(\boldsymbol{r}-\mathbb{E}[\boldsymbol{r}])]\boldsymbol{\omega}_Q\\
&={}^{t}\boldsymbol{\omega}_P V\ \boldsymbol{\omega}_Q
\end{aligned}

が成り立つ。B={}^t\mathbb{E}[\boldsymbol{r}]V^{-1}\mathbb{E}[\boldsymbol{r}],\ A={}^{t}\mathbb{E}[\boldsymbol{r}]V^{-1}\boldsymbol{1},\ C={}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}およびD=BC-A^2を用いることで


\begin{aligned}
\mathrm{Cov}[r_P,r_Q]=&{}^{t}\boldsymbol{\omega}_P V\ \boldsymbol{\omega}_Q\\
=&\left(\displaystyle{\frac{C\mu_P-A}{D}}V^{-1}\mathbb{E}[\boldsymbol{r}]+\displaystyle{\frac{B-\mu_P A}{D}}V^{-1}\boldsymbol{1}\right)V\\
&\left(\displaystyle{\frac{C\mu_Q-A}{D}}V^{-1}\mathbb{E}[\boldsymbol{r}]+\displaystyle{\frac{B-\mu_Q A}{D}}V^{-1}\boldsymbol{1}\right)\\
=&\displaystyle{\frac{C\cdot E[r_P] E[r_Q]-A(E[r_P]+E[r_Q])+B}{D}}
\end{aligned}
を得る。 \blacksquare)

  • 次回:

power-of-awareness.com

プライバシーポリシー お問い合わせ