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今日のまとめ
の近傍
において定義された関数
が
を満たすとき、
は
において無限小であるといい、
で表す。いま
が共に
において無限小であり、もし
が成り立つとき、
は
より高位の無限小であると言い、
と書く。他方で
において
が有界であるとき、
と書く。
- 関数
のグラフ上の点
を通る直線
がの点
における接線であるとは
が成り立つことをいう。
5. 1変数関数の微分
このとき、微分可能性に関して新たな定理が得られる。
(が成り立つ。したがってと取ると、
に対して
とできる。したがって
であり、これはが
において微分可能で
である。
)
5.1 無限小
無限小
いまが共に
において無限小であり、もし
が成り立つとき、
は
より高位の無限小であると言い、
と書く。他方で
において
が有界であるとき、
と書く。また
および近傍
が存在し、
について
が成り立つとき、
は同位の無限小であるといい、これを
で表す。
無限小の概念を用いることで微分の定義を以下のように書き換えることができる:
したがってが
において微分可能であるとき、上式が成り立つことが分かる。逆に定数
があり
が成り立つならばで、右辺の第2項は
であるから、
が成り立つ。したがって
であり、これはが
で微分可能で
を意味する。以上から
接線 関数
がの点
における接線であるとは
が成り立つことをいう。
図表1 接線のイメージ

とおいて
が成り立つ。この式の右辺の主要部を抽出して
と表す。このを
の
における微分と呼ぶ。また区間
の各点
で
が微分可能なとき、
は区間
で微分可能であるといい、関数
を導関数という。
が
上で
階導関数をもち
が
において連続であるとき、
は
上で
回連続微分可能(
級)であるという。さらに
において
回連続微分可能であるとき、無限回微分可能(
級)という。