やりなおしの数学・微分積分篇（15/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍

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を参考に、改めて微分積分を復習していく。

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今日のまとめ

$x_0$ の近傍 $B(x_0;\varepsilon)=\{[x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon]|\varepsilon\gt0\}$ において定義された関数 $u(x)$ が $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}}u(x)=0$ を満たすとき、 $u(x)$ は $x=x_0$ において無限小であるといい、 $u(x)=o(1)$ で表す。いま $u(x),v(x)$ が共に $x=x_0$ において無限小であり、もし $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{u(x)}{v(x)}}=0$ が成り立つとき、 $u(x)$ は $v(x)$ より高位の無限小であると言い、 $u(x)=o(v(x))$ と書く。他方で $x\in B(x_0;\varepsilon)$ において $\displaystyle{\frac{u(x)}{v(x)}}$ が有界であるとき、 $u(x)=O(v(x))$ と書く。

関数 $f(x)$ のグラフ上の点 $P_0(x_0,f(x_0))$ を通る直線 $l$
$\begin{aligned}l:\ y=f(x_0)+\alpha(x-x_0)\end{aligned}$
が $f(x)$ の点 $P_0$ における接線であるとは
$\begin{aligned}f(x)-y=f(x)-(f(x)+\alpha(x-x_0))=o(x-x_0)\end{aligned}$
が成り立つことをいう。

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5.　1変数関数の微分
- 5.1　無限小
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5.　1変数関数の微分

右側(左側)微分係数　関数 $f(x)$ がその定義域 $I$ のある点 $x_0\in I$ において極限値

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{h\rightarrow +0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}\\ \displaystyle{\lim_{h\rightarrow -0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}} \end{aligned}$

をもつとき、これらの値をそれぞれ $x_0$ における $f(x)$ の右側(左側)微分係数と呼び、 $f_{+}^{\prime}(x_0),f_{-}^{\prime}(x_0)$ で表す。

このとき、微分可能性に関して新たな定理が得られる。

微分可能性と右側(左側)微分係数　関数 $f(x)$ が $x_0$ において微分可能であることは $f_{+}^{\prime}(x_0)$ および $f_{-}^{\prime}(x_0)$ がともに存在してそれらが等しいことが必要十分である。

（ $\because$ 　必要性は明らかである。そのため十分性のみを示す。
　 $f(x)$ が $x=x_0$ において左側微分係数および右側微分係数をもつと仮定し、それらを $\alpha$ とおく。 $\varepsilon\gt0$ を任意に取ると、仮定より $\delta_1,\delta_2\gt0$ が存在し、それぞれ ${}^{\forall}h\ s.t.\ 0\lt h\lt \delta_1$ および ${}^{\forall}h\ s.t.\ -\delta_2\lt h\lt 0$ に対して

$\begin{aligned} \left|\displaystyle{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}-f_{+}^{\prime}(x_0)\right|&\lt \varepsilon\\ \left|\displaystyle{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}-f_{-}^{\prime}(x_0)\right|&\lt \varepsilon\\ \end{aligned}$

が成り立つ。したがって $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$ と取ると、 ${}^{\forall}h\ s.t.\ 0\lt|h|\lt\delta$ に対して

$\begin{aligned} \left|\displaystyle{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}-\alpha\right|&\lt \varepsilon\\ \end{aligned}$

とできる。したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\alpha \end{aligned}$

であり、これは $f(x)$ が $x=x_0$ において微分可能で $f^{\prime}(x_0)=\alpha$ である。　 $\blacksquare$ ）

5.1　無限小

無限小　 $x_0$ の近傍 $B(x_0;\varepsilon)=\{[x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon]|\varepsilon\gt0\}$ において定義された関数 $u(x)$ が $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}}u(x)=0$ を満たすとき、 $u(x)$ は $x=x_0$ において無限小であるといい、 $u(x)=o(1)$ で表す。

　いま $u(x),v(x)$ が共に $x=x_0$ において無限小であり、もし $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{u(x)}{v(x)}}=0$ が成り立つとき、 $u(x)$ は $v(x)$ より高位の無限小であると言い、 $u(x)=o(v(x))$ と書く。他方で $x\in B(x_0;\varepsilon)$ において $\displaystyle{\frac{u(x)}{v(x)}}$ が有界であるとき、 $u(x)=O(v(x))$ と書く。また $m\gt0,M\gt0$ および近傍 $B(x_0;\varepsilon)$ が存在し、 ${}^{\forall}x\in B(x_0;\varepsilon),\ x\neq x_0$ について $m\leq \displaystyle{\left|\frac{u(x)}{v(x)}\right|}\leq M$ が成り立つとき、 $u,v$ は同位の無限小であるといい、これを $u\sim v$ で表す。

　無限小の概念を用いることで微分の定義を以下のように書き換えることができる：

$\begin{aligned} f(x)-f(x_0)=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0) \end{aligned}$

したがって $f(x)$ が $x=x_0$ において微分可能であるとき、上式が成り立つことが分かる。逆に定数 $\alpha$ があり

$\begin{aligned} f(x)-f(x_0)=\alpha(x-x_0)+o(x-x_0) \end{aligned}$

が成り立つならば $\displaystyle{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\alpha+\displaystyle{\frac{o(x-x_0)}{x-x_0}}$ で、右辺の第2項は

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{o(x-x_0)}{x-x_0}}\rightarrow 0\ (x\rightarrow x_0) \end{aligned}$

であるから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\rightarrow \alpha\ (x\rightarrow x_0) \end{aligned}$

が成り立つ。したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\alpha \end{aligned}$

であり、これは $f(x)$ が $x=x_0$ で微分可能で $f^{\prime}(x_0)=\alpha$ を意味する。以上から

微分可能性と直線関係　関数 $f(x)$ が $x=x_0$ において微分可能であるための必要十分条件は、定数 $\alpha\in\mathbb{R}$ が存在し

$\begin{aligned} f(x)=f(x_0)+\alpha(x-x_0)+o(x-x_0) \end{aligned}$

が成立することである。さらにこのとき $\alpha=f^{\prime}(x_0)$ である。

接線　関数 $f(x)$ のグラフ上の点 $P_0(x_0,f(x_0))$ を通る直線 $l$

$\begin{aligned} l:\ y=f(x_0)+\alpha(x-x_0) \end{aligned}$

が $f(x)$ の点 $P_0$ における接線であるとは

$\begin{aligned} f(x)-y=f(x)-(f(x)+\alpha(x-x_0))=o(x-x_0) \end{aligned}$

が成り立つことをいう。

図表1　接線のイメージ

　 $\Delta x=x-x_0,\ \Delta y=y-f(x)$ とおいて $\Delta y=f^{\prime}(x_0)\Delta x+o(\Delta x)$ が成り立つ。この式の右辺の主要部を抽出して

$\begin{aligned} dy=f^{\prime}(x_0) dx \end{aligned}$

と表す。この $dy$ を $y=f(x)$ の $x=x_0$ における微分と呼ぶ。また区間 $I$ の各点 $x$ で $y=f(x)$ が微分可能なとき、 $f(x)$ は区間 $I$ で微分可能であるといい、関数 $f^{\prime}(x)$ を導関数という。
　 $f(x)$ が $I$ 上で $n$ 階導関数をもち $f^{(n)}(x)$ が $I$ において連続であるとき、 $f(x)$ は $I$ 上で $n$ 回連続微分可能( $C^{n}$ 級)であるという。さらに ${}^{\forall}n\geq1$ において $n$ 回連続微分可能であるとき、無限回微分可能( $C^{\infty}$ 級)という。

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5. 1変数関数の微分

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5.1　無限小