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やりなおしの数学・微分積分篇(15/X)

以下の書籍

www.rokakuho.co.jp

を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • x_0の近傍B(x_0;\varepsilon)=\{[x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon]|\varepsilon\gt0\}において定義された関数u(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}}u(x)=0を満たすとき、u(x)x=x_0において無限小であるといい、u(x)=o(1)で表す。いまu(x),v(x)が共にx=x_0において無限小であり、もし\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{u(x)}{v(x)}}=0が成り立つとき、u(x)v(x)より高位の無限小であると言い、u(x)=o(v(x))と書く。他方でx\in B(x_0;\varepsilon)において\displaystyle{\frac{u(x)}{v(x)}}有界であるとき、u(x)=O(v(x))と書く。
  • 関数f(x)のグラフ上の点P_0(x_0,f(x_0))を通る直線l
    \begin{aligned}l:\ y=f(x_0)+\alpha(x-x_0)\end{aligned}
    f(x)の点P_0における接線であるとは
    \begin{aligned}f(x)-y=f(x)-(f(x)+\alpha(x-x_0))=o(x-x_0)\end{aligned}
    が成り立つことをいう。

5. 1変数関数の微分


右側(左側)微分係数 関数f(x)がその定義域Iのある点x_0\in Iにおいて極限値

\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{h\rightarrow +0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}\\
\displaystyle{\lim_{h\rightarrow -0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}
\end{aligned}
をもつとき、これらの値をそれぞれx_0におけるf(x)の右側(左側)微分係数と呼び、f_{+}^{\prime}(x_0),f_{-}^{\prime}(x_0)で表す。

このとき、微分可能性に関して新たな定理が得られる。


微分可能性と右側(左側)微分係数 関数f(x)x_0において微分可能であることはf_{+}^{\prime}(x_0)およびf_{-}^{\prime}(x_0)がともに存在してそれらが等しいことが必要十分である。
\because 必要性は明らかである。そのため十分性のみを示す。
 f(x)x=x_0において左側微分係数および右側微分係数をもつと仮定し、それらを\alphaとおく。\varepsilon\gt0を任意に取ると、仮定より\delta_1,\delta_2\gt0が存在し、それぞれ{}^{\forall}h\ s.t.\ 0\lt h\lt \delta_1および{}^{\forall}h\ s.t.\ -\delta_2\lt h\lt 0に対して

\begin{aligned}
\left|\displaystyle{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}-f_{+}^{\prime}(x_0)\right|&\lt \varepsilon\\
\left|\displaystyle{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}-f_{-}^{\prime}(x_0)\right|&\lt \varepsilon\\
\end{aligned}

が成り立つ。したがって\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}と取ると、{}^{\forall}h\ s.t.\ 0\lt|h|\lt\deltaに対して


\begin{aligned}
\left|\displaystyle{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}-\alpha\right|&\lt \varepsilon\\
\end{aligned}

とできる。したがって


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\alpha
\end{aligned}

であり、これはf(x)x=x_0において微分可能でf^{\prime}(x_0)=\alphaである。 \blacksquare

5.1 無限小


無限小 x_0の近傍B(x_0;\varepsilon)=\{[x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon]|\varepsilon\gt0\}において定義された関数u(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}}u(x)=0を満たすとき、u(x)x=x_0において無限小であるといい、u(x)=o(1)で表す。

 いまu(x),v(x)が共にx=x_0において無限小であり、もし\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{u(x)}{v(x)}}=0が成り立つとき、u(x)v(x)より高位の無限小であると言い、u(x)=o(v(x))と書く。他方でx\in B(x_0;\varepsilon)において\displaystyle{\frac{u(x)}{v(x)}}有界であるとき、u(x)=O(v(x))と書く。またm\gt0,M\gt0および近傍B(x_0;\varepsilon)が存在し、{}^{\forall}x\in B(x_0;\varepsilon),\ x\neq x_0についてm\leq \displaystyle{\left|\frac{u(x)}{v(x)}\right|}\leq Mが成り立つとき、u,vは同位の無限小であるといい、これをu\sim vで表す。

 無限小の概念を用いることで微分の定義を以下のように書き換えることができる:


\begin{aligned}
f(x)-f(x_0)=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)
\end{aligned}

したがってf(x)x=x_0において微分可能であるとき、上式が成り立つことが分かる。逆に定数\alphaがあり


\begin{aligned}
f(x)-f(x_0)=\alpha(x-x_0)+o(x-x_0)
\end{aligned}

が成り立つならば\displaystyle{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\alpha+\displaystyle{\frac{o(x-x_0)}{x-x_0}}で、右辺の第2項は


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{o(x-x_0)}{x-x_0}}\rightarrow 0\ (x\rightarrow x_0)
\end{aligned}

であるから、


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\rightarrow \alpha\ (x\rightarrow x_0)
\end{aligned}

が成り立つ。したがって


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\alpha
\end{aligned}

であり、これはf(x)x=x_0微分可能でf^{\prime}(x_0)=\alphaを意味する。以上から


微分可能性と直線関係 関数f(x)x=x_0において微分可能であるための必要十分条件は、定数\alpha\in\mathbb{R}が存在し

\begin{aligned}
f(x)=f(x_0)+\alpha(x-x_0)+o(x-x_0)
\end{aligned}

が成立することである。さらにこのとき\alpha=f^{\prime}(x_0)である。


接線 関数f(x)のグラフ上の点P_0(x_0,f(x_0))を通る直線l

\begin{aligned}
l:\ y=f(x_0)+\alpha(x-x_0)
\end{aligned}

f(x)の点P_0における接線であるとは


\begin{aligned}
f(x)-y=f(x)-(f(x)+\alpha(x-x_0))=o(x-x_0)
\end{aligned}

が成り立つことをいう。


図表1 接線のイメージ

 \Delta x=x-x_0,\ \Delta y=y-f(x)とおいて\Delta y=f^{\prime}(x_0)\Delta x+o(\Delta x)が成り立つ。この式の右辺の主要部を抽出して


\begin{aligned}
dy=f^{\prime}(x_0) dx
\end{aligned}

と表す。このdyy=f(x)x=x_0における微分と呼ぶ。また区間Iの各点xy=f(x)微分可能なとき、f(x)区間I微分可能であるといい、関数f^{\prime}(x)導関数という。
 f(x)I上でn導関数をもちf^{(n)}(x)Iにおいて連続であるとき、f(x)I上でn回連続微分可能(C^{n}級)であるという。さらに{}^{\forall}n\geq1においてn回連続微分可能であるとき、無限回微分可能(C^{\infty}級)という。

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