やりなおしの数学・微分積分篇（27/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

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今日のまとめ
7.　多変数関数の微分
- 7.3　偏微分
- 7.4　微分可能性
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今日のまとめ

点 $(x_0,y_0)\in\Omega$ における $z=f(x,y)$ の $x,y$ それぞれに関する偏微関数をそれぞれ
$\begin{aligned}f_x(x_0,y_0)&=\displaystyle{\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}},\\f_y(x_0,y_0)&=\displaystyle{\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}}\end{aligned}$
とする。

7.　多変数関数の微分

　2つ以上の変数を持つ関数（多変数関数）の微分およびその応用を取り扱う。まずは2変数関数を中心に扱い、その後に一般の $n(\geq2)$ 変数関数の場合を扱う。

7.3　偏微分

　　平面 $\mathbb{R}^2$ 上の領域 $\Omega$ で定義された関数 $z=f(x,y)$ を考える。点 $(x_0,y_0)\in\Omega$ における $z=f(x,y)$ の $x,y$ それぞれに関する偏微関数をそれぞれ

$\begin{aligned} f_x(x_0,y_0)&=\displaystyle{\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}},\\ f_y(x_0,y_0)&=\displaystyle{\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}} \end{aligned}$

とする。ただし右辺の極限は有限確定値を取るものとする。 $f_x(x_0,y_0)$ が存在するとき、 $f(x,y)$ は点 $(x_0,y_0)$ において $x$ に関して偏微分可能であるという。同様に $f_y(x_0,y_0)$ が存在するとき、 $f(x,y)$ は点 $(x_0,y_0)$ において $y$ に関して偏微分可能であるという。 $f(x,y)$ が各 $(x,y)\Omega$ において $x$ に関する偏微関数をもつとき、 $f(x,y)$ は $\Omega$ 上において $x$ に関して偏微分可能といい、 $f_x(x,y)$ を $x$ に関する偏導関数という。 $y$ に関しても同様に定義される。
　 $f_x,f_y$ はそれぞれ $f_x=\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}f},f_y=\displaystyle{\frac{\partial}{\partial y}f}$ などと書く。
一般に $k-1$ 階偏導関数の $x$ または $y$ に関する偏微関数として $k$ 階導関数が定義される。
　 $\Omega$ において $m=f(x,y)$ の $m$ 回連続微分可能または $C^m$ 級の関数であるという。

偏微分の交換可能性　 $(x_0,y_0))$ の近傍で $f_{xy},f_{yx}$ がともに存在し、 $(x_0,y_0)$ においてこれらが連続ならば $f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$ である。

( $\because$ 　 $h,k\gt0$ を十分に小さく取り、

$\begin{aligned} \delta(h,k)=f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,u_0+k)-f(x_0+h,y_0)+f(x_0,y_0) \end{aligned}$

とおく。いま $g(x)=f(x,y_0+k)-f(x,y_0)$ とおくと、平均値の定理から $0\lt\theta_1,\theta_2\lt1$ が存在して

$\begin{aligned} \delta(h,k)&=g(x_0+h)-g(x_0)=g^{\prime}(x_0+\theta_1 h)h\\ &=\left\{f_x(x_0+\theta_1 h,y_0+k)-f_x(x_0+\theta_1 h,y_0)\right\}h\\ &=f_{xy}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_2 k)hk \end{aligned}$

が得られる。したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{(h,k)\rightarrow(0,0)}\frac{\delta(h,k)}{hk}}&=\displaystyle{\lim_{(h,k)\rightarrow(0,0)}f_{xy}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_2 k)}\\ &=f_{xy}(x_0,y_0) \end{aligned}$

である。
　他方で $h(y)=f(x_0+h,y)-f(x_0,y)$ とおくと、再度、平均値の定理から $0\lt\theta_3,\theta_4\lt1$ が存在して

$\begin{aligned} \delta(h,k)&=h(y_0+k)-h(y_0)=h^{\prime}(y_0+\theta_3k)k\\ &=\{f_y(x_0+h,y_0+\theta_3 k)-f_y(x_0,y_0+\theta_3 k)\}k\\ &=f_{yx}(x_0+\theta_4 h,y_0+\theta_3 k)hk \end{aligned}$

が得られる。したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{(h,k)\rightarrow(0,0)}\frac{\delta(h,k)}{hk}}&=\displaystyle{\lim_{(h,k)\rightarrow(0,0)}f_{yx}(x_0+\theta_4 h,y_0+\theta_3 k)}=f_{yx}(x_0,y_0) \end{aligned}$

が成り立つ。したがって $f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$ が成り立つ。　 $\blacksquare$ )

7.4　微分可能性

　 $(x,y)\in\Omega$ を取る。 $h,k$ に無関係な定数 $A,B$ が存在して

$\begin{aligned} f(x+h,y+k)-f(x,y)=Ah+Bk+o(\rho),\ \rho=\sqrt{h^2+k^2} \end{aligned}$

が成り立つとき、関数 $z=f(x,y)$ は点 $(x,y)$ において微分可能であるという。特に $k=0$ とすれば

$\begin{aligned} f(x+h,y)-f(x,y)=Ah+o(h) \end{aligned}$

が成り立ち、したがって $A=f_x(x,y)$ となり、同様に $h=0$ とおくことで $B=f_y(x,y)$ が従う。領域 $\Omega$ の各点において $z=f(x,y)$ が微分可能のとき領域 $\Omega$ において微分可能である。
　 $z=f(x,y)$ が点 $(x,y)$ において微分可能であることは、点 $(0,0)$ において連続な関数 $\alpha(h,k),\beta(h,k)$ が存在して、 $\alpha(0,0)=f_x(x,y),\beta(0,0)=f_y(x,y)$ を満たし、充分小さな $h,k$ に対して

$\begin{aligned} f(x+h,y+k)=f(x,y)+\alpha(h,k)h+\beta(h,k)k \end{aligned}$

が成り立つことが必要十分である。

$C^{1}$ 級と微分可能性　領域 $\Omega\in\mathbb{R}^2$ において $f(x,y)$ が $C^{1}$ 級ならば $\Omega$ において $f(x,y)$ は微分可能である。

( $\because$ 　 ${}^{\forall}(x,y)\in\Omega$ について、1変数に関する平均値の定理から

$\begin{aligned} f(x+h,y+k)-f(x,y)&=\{f(x+h,y+k)-f(x,y+k)\}+\{f(x,y+k)-f(x,y)\}\\ &=f_x(x+\theta_1h,y+k)h+f_y(x,y+\theta_2k)k\\ &=f_{x}(x,y)h+f_y(x,y)+\varepsilon(h,k) \end{aligned}$

が成り立つ。ここで $\varepsilon(h,k)=\{f_x(x+\theta_1h,y+k)-f_x(x,y)\}h+\{f_y(x,y+\theta_2k)-f_y(x,y)\}k$ である。
　 $\rho=\sqrt{h^2+k^2}$ とおくとき、 $\displaystyle{\frac{|h|}{\rho}}\leq1,\displaystyle{\frac{|k|}{\rho}}\leq1$ であるから

$\begin{aligned} \left|\displaystyle{\frac{\varepsilon(h,k)}{\rho}}\right|=&\left|f_x(x+\theta_1h,y+k)-f_x(x,y)\right|\displaystyle{\frac{|h|}{\rho}}\\&+\left|f_y(x,y+\theta_2k)-f_y(x,y)\right|\displaystyle{\frac{|k|}{\rho}}\\ \leq&|f_x(x+\theta_1h,y+k)-f_x(x,y)|+|f_y(x,y+\theta_2k)-f_y(x,y)| \end{aligned}$