今日のまとめ
- 点
における
の
それぞれに関する偏微関数をそれぞれ
とする。
7. 多変数関数の微分
2つ以上の変数を持つ関数(多変数関数)の微分およびその応用を取り扱う。まずは2変数関数を中心に扱い、その後に一般の変数関数の場合を扱う。
7.3 偏微分
平面上の領域
で定義された関数
を考える。点
における
の
それぞれに関する偏微関数をそれぞれ
とする。ただし右辺の極限は有限確定値を取るものとする。が存在するとき、
は点
において
に関して偏微分可能であるという。同様に
が存在するとき、
は点
において
に関して偏微分可能であるという。
が各
において
に関する偏微関数をもつとき、
は
上において
に関して偏微分可能といい、
を
に関する偏導関数という。
に関しても同様に定義される。
はそれぞれ
などと書く。
一般に階偏導関数の
または
に関する偏微関数として
階導関数が定義される。
において
の
回連続微分可能または
級の関数であるという。
とおく。いまとおくと、平均値の定理から
が存在して
が得られる。したがって
である。
他方でとおくと、再度、平均値の定理から
が存在して
が得られる。したがって
が成り立つ。したがってが成り立つ。
)