8. 多変数関数の積分
8.2 二重積分の基本性質
- 線形性
- 関数の積の加積分性
- 積分の正値性
かつ
は
で二重積分ならば
である。さらにが共に
で二重積分可能かつ
ならば
- 積分の絶対値評価
が
で二重積分可能ならば、
とおく。このとき
とくにが
上で連続ならば、
8.3 一般の有界集合上での二重積分
の定義域をより一般の
に拡張する。
Jordan測度
を満たすようなものが存在するときをいう。ここでとするとき
と定義する。
(例:グラフの面積
連続関数のグラフ
の面積は
である。
とし
をその上で定義された有界な関数とする。
とおけば
が成立する。実際、
とおくと
であるから
である。一方で上限および下限の定義から
が成り立つ。したがって
である。いま
は任意であるから、
とすれば
が得られた。したがって
である。
以上を踏まえて、グラフの面積を考える。
は
が一様連続であるから、
に対して
を
を満たすようにとる。いま
を満たすような
の分割
を取る。
とおくと、冒頭で示した不等式から
であるから、
が成り立つ。
いま各に対して
を満たすような番号
が存在する。このとき
である。これより
である。また
が成り立つから、
の面積は
である。
さて
とできる。
を
という形をした長方形で
かつ
を満たすものとする。このとき
である。
いまは閉集合であり、この上で連続であるから、
は一様連続である。したがって
が成り立つ。そこでであるような
の分割を1つ取り、これに
の確変を延長した線分を付け加えた分割を
とする。
とおき、
を考える。の中で
に含まれるものすべての和を
それ以外の和を
とする。
であるから、に注意すれば、
を得る。
またの方に属する
の上では
は連続で、
より
ならば、
であるから、
が成立する。
したがって
が成り立つ。以上からであり、これはすなわち
に対して
の分割
で
を満たすものが存在する。したがって
は
上で二重積分可能である。
)