やりなおしの数学・微分積分篇（32/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ
8.　多変数関数の積分
- 8.2　二重積分の基本性質
- 8.3　一般の有界集合上での二重積分
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今日のまとめ

二重積分でも線形性、積の可積分性、正値性および平均値の定理などが成り立つ。

8.　多変数関数の積分

8.2　二重積分の基本性質

線形性

　 $f,g$ が $\Omega=[a,b]\times[c,d]\subset\mathbb{R}^2$ で二重積分可能ならば、 $f+g,\lambda f,\ \lambda\in\mathbb{R}$ もまた二重積分可能であり、

$\begin{aligned} \displaystyle{\iint_{\Omega}(f+g)}dxdy&=\displaystyle{\iint_{\Omega}f}dxdy+\displaystyle{\iint_{\Omega}g}dxdy,\\ \displaystyle{\iint_{\Omega}\lambda f}dxdy&=\lambda\displaystyle{\iint_{\Omega}f}dxdy \end{aligned}$

関数の積の加積分性

　 $f,g$ が $\Omega=[a,b]\times[c,d]\subset\mathbb{R}^2$ で有界かつ二重積分可能ならば、 $fg$ もまた二重積分可能である。

積分の正値性

　 $f(x,y)\geq0$ かつ $f(x,y)$ は $\Omega$ で二重積分ならば

$\begin{aligned} \displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)}dxdy\geq0 \end{aligned}$

である。さらに $f,g$ が共に $\Omega$ で二重積分可能かつ ${}^{\forall}(x,y)\in\Omega(f(x,y,)\leq g(x,y))$ ならば

$\begin{aligned} \displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)}dxdy\leq\displaystyle{\iint_{\Omega}g(x,y)}dxdy \end{aligned}$

積分の絶対値評価

　 $f$ が $\Omega=[a,b]\times[c,d]\subset\mathbb{R}^2$ で二重積分可能であれば、 $|f|$ もまた $\Omega$ で二重積分可能であり

$\begin{aligned} \left|\displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)}dxdy\right|\leq\displaystyle{\iint_{\Omega}|f(x,y)|}dxdy \end{aligned}$

積分の平均値の定理

　 $f,g$ が $\Omega=[a,b]\times[c,d]\subset\mathbb{R}^2$ で二重積分可能ならば、 $M=\displaystyle{\sup_{(x,y)\in\Omega}f(x,y)},m=\displaystyle{\inf_{(x,y)\in\Omega}f(x,y)}$ とおく。このとき

$\begin{aligned} {}^{\exists}\mu\in[m,M]\ s.t.\ \displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)}dxdy=\mu(b-a)(d-c) \end{aligned}$

とくに $f$ が $\Omega$ 上で連続ならば、

$\begin{aligned} {}^{\exists}(\xi,\eta)\in\Omega\ .s.t.\ \displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)}dxdy=f(\xi,\eta)(b-a)(d-c) \end{aligned}$

8.3　一般の有界集合上での二重積分

　 $f(x,y)$ の定義域をより一般の $\Omega\in\mathbb{R}^2$ に拡張する。

Jordan測度　 $A\subset\mathbb{R}^2$ が面積（Jordan測度） $0$ であるとは、任意の $\varepsilon\gt0$ に対して $[a,b]\times[c,d]$ の形の有限個の長方形 $\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_m$ で

$\begin{aligned} A_1\subset\omega_1\cup\cdots\cup\omega_m,\ \displaystyle{\sum_{l=1}^{m}|\omega|}\leq\varepsilon \end{aligned}$

を満たすようなものが存在するときをいう。ここで $\omega_l=[a,b]\times[c,d]$ とするとき

$\begin{aligned} \left|\omega_l\right|=(b-a)(d-c) \end{aligned}$

と定義する。

例：グラフの面積
　連続関数 $y=\varphi(x),a\leq x\leq b$ のグラフ $G_{\varphi}=\{(x,\varphi(x)|a\leq x\leq b)\}$ の面積は $0$ である。
　　 $K\in\mathbb{R}$ とし $f(x)$ をその上で定義された有界な関数とする。
$\begin{aligned} M&=\displaystyle{\sup\{f(x)|x\in K\}},\\ m&=\displaystyle{\inf\{f(x)|x\in K\}} \end{aligned}$
とおけば
$\begin{aligned} M-m=\sup\{|f(x)-f(x^{\prime})||x,x^{\prime}\in K\} \end{aligned}$
が成立する。実際、 $L=\sup\{|f(x)-f(x^{\prime})||x,x^{\prime}\in K\}$ とおくと $\pm(f(x)-f(x^{\prime}))\leq M-m$ であるから $L\leq M-m$ である。一方で上限および下限の定義から
$\begin{aligned} {}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}x,x^{\prime}\in K\left(M-\varepsilon\leq f(x),f(x^{\prime})\leq M+\varepsilon\right)\right) \end{aligned}$
が成り立つ。したがって
$\begin{aligned} M-m\leq&f(x)+\varepsilon-(f(x^{\prime})+\varepsilon)\\ \leq&|f(x)-f(x^{\prime})|+2\varepsilon\leq L+2\varepsilon \end{aligned}$
である。いま $\varepsilon$ は任意であるから、 $\varepsilon\rightarrow0$ とすれば $M-n\leq L$ が得られた。したがって $M-m=L$ である。
　以上を踏まえて、グラフ $G_{\varphi}$ の面積を考える。
　 $\varphi(x)$ は $[a,b]$ が一様連続であるから、 ${}^{\forall}\varepsilon\gt0$ に対して $\delta\gt0$ を
$\begin{aligned} \left|x_1-x_2\right|\lt\delta\Rightarrow|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2(b-a)}} \end{aligned}$
を満たすようにとる。いま $d(\Delta)\lt\delta$ を満たすような $[a,b]$ の分割 $\Delta:a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_m=b$ を取る。
$\begin{aligned} M_i&=\displaystyle{\sup\{\varphi(x)|x_{i-1}\leq x\leq x_{i}\}},\\ m_i&=\displaystyle{\inf\{\varphi(x)|x_{i-1}\leq x\leq x_{i}\}} \end{aligned}$
とおくと、冒頭で示した不等式から
$\begin{aligned} M_i-m_i=\sup\{|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)||x_1,x_2\in[x_{i-1},x_i]\} \end{aligned}$
であるから、 $M_i-m_i=\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2(b-a)}}$ が成り立つ。
　いま各 $x\in[a,b]$ に対して $x\in[x_{i-1},x_i]$ を満たすような番号 $i$ が存在する。このとき $(x,\varphi(x))\in[x_{i-1},x_i\times[m_i,M_i]]$ である。これより
$\begin{aligned} G_{\varphi}\subset\displaystyle{\bigcup_{i=1}^{m}[x_{i-1},x_i]\times[m_i,M_i]} \end{aligned}$
である。また
$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{i=1}^{m}|[x_{i-1},x_i]\times[m_i,M_i]|}&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}|(x_i-x_{i-1})(M_i-m_i)}\\ &\leq\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2(b-a)}\sum_{i=1}^{m}(x_i-x_{i-1})}\\ &=\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2(b-a)}(b-a)}=\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}\lt\varepsilon \end{aligned}$
が成り立つから、 $G_{\varphi}$ の面積は $0$ である。

一般領域で二重積分可能な十分条件　長方形 $\Omega=[a,b]\times[c,d]$ 状の有界関数 $f(x,y)$ の不連続点の集合 $A$ の面積が $0$ ならば $f(x,y)$ は $\Omega$ 上で二重積分可能である。

( $\because$ 　 $f$ は $\Omega$ で有界であるから、 ${}^{\forall}(x,y)\in\Omega(|f(x,y)|\leq M)$ であるような定数 $M\in\mathbb{R}$ が存在する。
　さて $\varepsilon\gt0$ を任意に取ってきたとき、 $A$ の面積が $0$ であるから、有限個の長方形 $\omega_1,\cdots,\omega_m$ を取って

$\begin{aligned} \displaystyle{A\subset\omega_1\cup\cdots\cup\omega_m,\sum_{i=1}^{m}|\omega_i|\lt\frac{\varepsilon}{4M}} \end{aligned}$

とできる。
　 $\tilde{\omega}_i$ を $(\alpha,\beta)\times(\gamma,\delta)$ という形をした長方形で $\omega_i\subset\tilde{\omega}_i$ かつ $|\tilde{\omega}_i|\lt|\omega_i|+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{4mM}}$ を満たすものとする。このとき

$\begin{aligned} \displaystyle{A\subset\tilde{\omega}_1\cup\cdots\cup\tilde{\omega}_m,\sum_{i=1}^{m}|\tilde{\omega}_i|\lt\frac{\varepsilon}{2M}} \end{aligned}$

である。
　いま $\Omega\backslash(\tilde{\omega}_1\cup\cdots\cup\tilde{\omega}_m)$ は閉集合であり、この上で連続であるから、 $f(x,y)$ は一様連続である。したがって

$\begin{aligned} {}^{\exists}\delta\gt0\ s.t.\ &(x,y),(x^{\prime},y^{\prime})\in\Omega\backslash(\tilde{\omega}_1\cup\cdots\cup\tilde{\omega}_m),|x-x^{\prime}|\lt\delta,|y-y^{\prime}|\lt\delta\\&\Rightarrow|f(x,y)-f(x^{\prime},y^{\prime})|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2|\Omega|}} \end{aligned}$

が成り立つ。そこで $d(\Omega)\lt\displaystyle{f\frac{\varepsilon}{2}}$ であるような $\Omega$ の分割を1つ取り、これに $\omega_1,\cdots,\omega_m$ の確変を延長した線分を付け加えた分割を $\Delta^{\prime}=\{\Delta_{ij}^{\prime}\}$ とする。

$\begin{aligned} M_{ij}&=\displaystyle{\sup\{f(x,y)|(x,y)\in\Delta_{ij}^{\prime}\}},\\ m_{ij}&=\displaystyle{\inf\{f(x,y)|(x,y)\in\Delta_{ij}^{\prime}\}} \end{aligned}$

とおき、

$\begin{aligned} S_{\Delta^{\prime}}-s_{\Delta^{\prime}}=\displaystyle{\sum_{i,j}(M_{ij}-m_{ij})|\Delta_{ij}^{\prime}|} \end{aligned}$

を考える。 $\Delta_{ij}^{\prime}$ の中で $\omega_1\cup\cdots\cup\omega_m$ に含まれるものすべての和を $\Sigma^{(1)},$ それ以外の和を $\Sigma^{(2)}$ とする。

$\begin{aligned} \Sigma^{(1)}|\Delta_{ij}^{\prime}|=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}|\omega_i|}\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{4M}} \end{aligned}$

であるから、 $|M_{ij}|\leq M,|m_{ij}|\leq m$ に注意すれば、

$\begin{aligned} \Sigma^{(1)}(M_{ij}-m_{ij})|\Delta_{ij}^{\prime}|\leq2M\Sigma^{(1)}|\Delta_{ij}^{\prime}|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}} \end{aligned}$

を得る。
　また $\Sigma^{(2)}$ の方に属する $\Delta_{ij}^{\prime}$ の上では $f(x,y)$ は連続で、 $d(\Delta^{\prime})\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}$ より $(x,y),(x^{\prime},y^{\prime})\in\Delta_{ij}^{\prime}$ ならば、 $|f(x,y)-f(x^{\prime},y^{\prime})|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2|\Omega|}}$ であるから、 $M_{ij}-m_{ij}\leq\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2|\Omega|}}$ が成立する。
　したがって

$\begin{aligned} \Sigma^{(2)}(M_{ij}-m_{ij})|\Delta_{ij}^{\prime}|\leq\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2|\Omega|}\Sigma^{(2)}|\Delta_{ij}^{\prime}|}\leq\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2|\Omega|}}|\Omega|=\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}} \end{aligned}$

が成り立つ。以上から $S_{\Delta}^{\prime}-s_{\Delta}^{\prime}=\Sigma^{(1)}+\Sigma^{(2)}\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}=\varepsilon$ であり、これはすなわち ${}^{\forall}\varepsilon\gt0$ に対して $\Omega$ の分割 $\Delta^{\prime}$ で $S_{\Delta}^{\prime}-s_{\Delta}^{\prime}\lt\varepsilon$ を満たすものが存在する。したがって $f$ は $\Omega$ 上で二重積分可能である。　 $\blacksquare$ )