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やりなおしの数学・微分積分篇(32/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

8. 多変数関数の積分

 

8.2 二重積分の基本性質

  • 線形性

 f,g\Omega=[a,b]\times[c,d]\subset\mathbb{R}^2で二重積分可能ならば、f+g,\lambda f,\ \lambda\in\mathbb{R}もまた二重積分可能であり、


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\Omega}(f+g)}dxdy&=\displaystyle{\iint_{\Omega}f}dxdy+\displaystyle{\iint_{\Omega}g}dxdy,\\
\displaystyle{\iint_{\Omega}\lambda f}dxdy&=\lambda\displaystyle{\iint_{\Omega}f}dxdy
\end{aligned}

 f,g\Omega=[a,b]\times[c,d]\subset\mathbb{R}^2有界かつ二重積分可能ならば、fgもまた二重積分可能である。

 f(x,y)\geq0かつf(x,y)\Omegaで二重積分ならば


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)}dxdy\geq0
\end{aligned}

である。さらにf,gが共に\Omegaで二重積分可能かつ{}^{\forall}(x,y)\in\Omega(f(x,y,)\leq g(x,y))ならば


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)}dxdy\leq\displaystyle{\iint_{\Omega}g(x,y)}dxdy
\end{aligned}

 f\Omega=[a,b]\times[c,d]\subset\mathbb{R}^2で二重積分可能であれば、|f|もまた\Omegaで二重積分可能であり


\begin{aligned}
\left|\displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)}dxdy\right|\leq\displaystyle{\iint_{\Omega}|f(x,y)|}dxdy
\end{aligned}

 f,g\Omega=[a,b]\times[c,d]\subset\mathbb{R}^2で二重積分可能ならば、M=\displaystyle{\sup_{(x,y)\in\Omega}f(x,y)},m=\displaystyle{\inf_{(x,y)\in\Omega}f(x,y)}とおく。このとき


\begin{aligned}
{}^{\exists}\mu\in[m,M]\ s.t.\ \displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)}dxdy=\mu(b-a)(d-c)
\end{aligned}

とくにf\Omega上で連続ならば、


\begin{aligned}
{}^{\exists}(\xi,\eta)\in\Omega\ .s.t.\ \displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)}dxdy=f(\xi,\eta)(b-a)(d-c)
\end{aligned}

8.3 一般の有界集合上での二重積分

 f(x,y)の定義域をより一般の\Omega\in\mathbb{R}^2に拡張する。



Jordan測度 A\subset\mathbb{R}^2が面積(Jordan測度)0であるとは、任意の\varepsilon\gt0に対して[a,b]\times[c,d]の形の有限個の長方形\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_m

\begin{aligned}
A_1\subset\omega_1\cup\cdots\cup\omega_m,\ \displaystyle{\sum_{l=1}^{m}|\omega|}\leq\varepsilon
\end{aligned}

を満たすようなものが存在するときをいう。ここで\omega_l=[a,b]\times[c,d]とするとき


\begin{aligned}
\left|\omega_l\right|=(b-a)(d-c)
\end{aligned}

と定義する。

例:グラフの面積
 連続関数y=\varphi(x),a\leq x\leq bのグラフG_{\varphi}=\{(x,\varphi(x)|a\leq x\leq b)\}の面積は0である。

  K\in\mathbb{R}としf(x)をその上で定義された有界な関数とする。


\begin{aligned}
M&=\displaystyle{\sup\{f(x)|x\in K\}},\\
m&=\displaystyle{\inf\{f(x)|x\in K\}}
\end{aligned}

とおけば


\begin{aligned}
M-m=\sup\{|f(x)-f(x^{\prime})||x,x^{\prime}\in K\}
\end{aligned}

が成立する。実際、L=\sup\{|f(x)-f(x^{\prime})||x,x^{\prime}\in K\}とおくと\pm(f(x)-f(x^{\prime}))\leq M-mであるからL\leq M-mである。一方で上限および下限の定義から


\begin{aligned}
{}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}x,x^{\prime}\in K\left(M-\varepsilon\leq f(x),f(x^{\prime})\leq M+\varepsilon\right)\right)
\end{aligned}

が成り立つ。したがって


\begin{aligned}
M-m\leq&f(x)+\varepsilon-(f(x^{\prime})+\varepsilon)\\
\leq&|f(x)-f(x^{\prime})|+2\varepsilon\leq L+2\varepsilon
\end{aligned}

である。いま\varepsilonは任意であるから、\varepsilon\rightarrow0とすればM-n\leq Lが得られた。したがってM-m=Lである。
 以上を踏まえて、グラフG_{\varphi}の面積を考える。
 \varphi(x)[a,b]が一様連続であるから、{}^{\forall}\varepsilon\gt0に対して\delta\gt0


\begin{aligned}
\left|x_1-x_2\right|\lt\delta\Rightarrow|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2(b-a)}}
\end{aligned}

を満たすようにとる。いまd(\Delta)\lt\deltaを満たすような[a,b]の分割\Delta:a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_m=bを取る。


\begin{aligned}
M_i&=\displaystyle{\sup\{\varphi(x)|x_{i-1}\leq x\leq x_{i}\}},\\
m_i&=\displaystyle{\inf\{\varphi(x)|x_{i-1}\leq x\leq x_{i}\}}
\end{aligned}

とおくと、冒頭で示した不等式から


\begin{aligned}
M_i-m_i=\sup\{|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)||x_1,x_2\in[x_{i-1},x_i]\}
\end{aligned}

であるから、M_i-m_i=\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2(b-a)}}が成り立つ。
 いま各x\in[a,b]に対してx\in[x_{i-1},x_i]を満たすような番号iが存在する。このとき(x,\varphi(x))\in[x_{i-1},x_i\times[m_i,M_i]]である。これより


\begin{aligned}
G_{\varphi}\subset\displaystyle{\bigcup_{i=1}^{m}[x_{i-1},x_i]\times[m_i,M_i]}
\end{aligned}

である。また


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}|[x_{i-1},x_i]\times[m_i,M_i]|}&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}|(x_i-x_{i-1})(M_i-m_i)}\\
&\leq\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2(b-a)}\sum_{i=1}^{m}(x_i-x_{i-1})}\\
&=\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2(b-a)}(b-a)}=\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}\lt\varepsilon
\end{aligned}

が成り立つから、G_{\varphi}の面積は0である。


一般領域で二重積分可能な十分条件 長方形\Omega=[a,b]\times[c,d]状の有界関数f(x,y)の不連続点の集合Aの面積が0ならばf(x,y)\Omega上で二重積分可能である。
(\because f\Omega有界であるから、{}^{\forall}(x,y)\in\Omega(|f(x,y)|\leq M)であるような定数M\in\mathbb{R}が存在する。
 さて\varepsilon\gt0を任意に取ってきたとき、Aの面積が0であるから、有限個の長方形\omega_1,\cdots,\omega_mを取って

\begin{aligned}
\displaystyle{A\subset\omega_1\cup\cdots\cup\omega_m,\sum_{i=1}^{m}|\omega_i|\lt\frac{\varepsilon}{4M}}
\end{aligned}

とできる。
 \tilde{\omega}_i(\alpha,\beta)\times(\gamma,\delta)という形をした長方形で\omega_i\subset\tilde{\omega}_iかつ|\tilde{\omega}_i|\lt|\omega_i|+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{4mM}}を満たすものとする。このとき


\begin{aligned}
\displaystyle{A\subset\tilde{\omega}_1\cup\cdots\cup\tilde{\omega}_m,\sum_{i=1}^{m}|\tilde{\omega}_i|\lt\frac{\varepsilon}{2M}}
\end{aligned}

である。
 いま\Omega\backslash(\tilde{\omega}_1\cup\cdots\cup\tilde{\omega}_m)閉集合であり、この上で連続であるから、f(x,y)は一様連続である。したがって


\begin{aligned}
{}^{\exists}\delta\gt0\ s.t.\ &(x,y),(x^{\prime},y^{\prime})\in\Omega\backslash(\tilde{\omega}_1\cup\cdots\cup\tilde{\omega}_m),|x-x^{\prime}|\lt\delta,|y-y^{\prime}|\lt\delta\\&\Rightarrow|f(x,y)-f(x^{\prime},y^{\prime})|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2|\Omega|}}
\end{aligned}

が成り立つ。そこでd(\Omega)\lt\displaystyle{f\frac{\varepsilon}{2}}であるような\Omegaの分割を1つ取り、これに\omega_1,\cdots,\omega_mの確変を延長した線分を付け加えた分割を\Delta^{\prime}=\{\Delta_{ij}^{\prime}\}とする。


\begin{aligned}
M_{ij}&=\displaystyle{\sup\{f(x,y)|(x,y)\in\Delta_{ij}^{\prime}\}},\\
m_{ij}&=\displaystyle{\inf\{f(x,y)|(x,y)\in\Delta_{ij}^{\prime}\}}
\end{aligned}

とおき、


\begin{aligned}
S_{\Delta^{\prime}}-s_{\Delta^{\prime}}=\displaystyle{\sum_{i,j}(M_{ij}-m_{ij})|\Delta_{ij}^{\prime}|}
\end{aligned}

を考える。\Delta_{ij}^{\prime}の中で\omega_1\cup\cdots\cup\omega_mに含まれるものすべての和を\Sigma^{(1)},それ以外の和を\Sigma^{(2)}とする。


\begin{aligned}
\Sigma^{(1)}|\Delta_{ij}^{\prime}|=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}|\omega_i|}\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{4M}}
\end{aligned}

であるから、|M_{ij}|\leq M,|m_{ij}|\leq mに注意すれば、


\begin{aligned}
\Sigma^{(1)}(M_{ij}-m_{ij})|\Delta_{ij}^{\prime}|\leq2M\Sigma^{(1)}|\Delta_{ij}^{\prime}|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}
\end{aligned}

を得る。
 また\Sigma^{(2)}の方に属する\Delta_{ij}^{\prime}の上ではf(x,y)は連続で、d(\Delta^{\prime})\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}より(x,y),(x^{\prime},y^{\prime})\in\Delta_{ij}^{\prime}ならば、|f(x,y)-f(x^{\prime},y^{\prime})|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2|\Omega|}}であるから、M_{ij}-m_{ij}\leq\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2|\Omega|}}が成立する。
 したがって


\begin{aligned}
\Sigma^{(2)}(M_{ij}-m_{ij})|\Delta_{ij}^{\prime}|\leq\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2|\Omega|}\Sigma^{(2)}|\Delta_{ij}^{\prime}|}\leq\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2|\Omega|}}|\Omega|=\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}
\end{aligned}

が成り立つ。以上からS_{\Delta}^{\prime}-s_{\Delta}^{\prime}=\Sigma^{(1)}+\Sigma^{(2)}\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}=\varepsilonであり、これはすなわち{}^{\forall}\varepsilon\gt0に対して\Omegaの分割\Delta^{\prime}S_{\Delta}^{\prime}-s_{\Delta}^{\prime}\lt\varepsilonを満たすものが存在する。したがってf\Omega上で二重積分可能である。 \blacksquare)

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