ファイナンスのために基礎から
を基に確率過程を学んでいきます。
前回
4. 離散モデルのデリバティブ価格理論II
4.1 2項T期間モデルのデリバティブの価格理論
現時点における資産価値がである原資産がでに上昇するか、に下落するものと仮定する。これを統一的に表現すべく、確率変数を導入し、と表すものとする。これを期間繰り返すことを想定しを導入して、時点での株価を
とする。更に時点における価格がと書ける安全資産の存在も仮定する。
4.1.2 同値マルチンゲール測度Qの存在とその一意性
割引株価過程をで定義する。このがに関するマルチンゲールとなるような確率測度を求める。の下での期待値をと表すと、
を満たさなければならず、が成り立つ。すなわち任意のに対して
として
が成り立つ。したがって
が得られ、すなわち
が得られる。こうして得られたをリスク中立上昇確率、をリスク中立下降確率と呼ぶ。このようなは構成法から一意的である。
4.1.3 デリバティブの価格決定と複製ポートフォリオ
満期のデリバティブのペイオフをとすれば、におけるデリバティブの価格はで与えられる。実際、
とする。はに関しての下でマルチンゲールになるから、非対称ランダムウォークに関するマルチンゲール表現定理から、最右辺のの係数はに依存しないから、を代入して整理することで、
が成り立つ。またもの下でマルチンゲールであるから、
が成り立つ。したがって
とおけば、
と書き換えることができる。これをからまでを辺々足し合わせることで
となる。初期資産と右辺の原資産から構成される複製ポートフォリオでデリバティブを複製できるため、デリバティブの価格はが得られる。複製の方法は両辺を倍することで
と書け、それぞれの式は
デリバティブのペイオフ | ||
初期資金を複利で期間運用 | ||
時点における売買単位 | ||
時点でだけ無リスク資産を借りて原資産を購入し、時点でで売却した後、元利金をすべて返済したときの収益 | ||
時点での収益を満期まで複利で運用 |
と解釈できる。
4.2 離散から連続で
時間の幅を小さくし連続モデルに近づけることを考える。まず時刻から時刻までを等分してとおき、とする。時刻における株価を時刻における株価を
とモデル化する。このとき満期における株価は
で表される。他方で時刻における安全資産価格をとモデル化する。このとき満期時のペイオフがと表されるデリバティブの現在価値は同値マルチンゲール測度の下での割引ペイオフの期待値として
で与えられる。ここで
であるから、
を得る。
とすれば、であり、また
である。更に
である。
そして上で求めた期待値および分散を踏まえて
である。したがって
が得られる。以上から、
が成立する。
これをヨーロピアン・コール・オプションに適用する。満期までの時間のコールオプションの現在価値をとすると、
が成り立つ。実際、
とおけば、として
が得られる。
*1:途中で資金を引き揚げたり追加投入しないこと。