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ファイナンスのための確率過程を丁寧に(03/X)

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新版 ファイナンスの確率解析入門 (KS理工学専門書)

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を基に確率過程を学んでいきます。

前回

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4.　離散モデルのデリバティブ価格理論II

4.1　2項T期間モデルのデリバティブの価格理論

　現時点t=0における資産価値がSである原資産がt=1で(1+\mu+\sigma)Sに上昇するか、(1+\mu-\sigma)Sに下落するものと仮定する。これを統一的に表現すべく、確率変数\xi_1=\begin{cases}+1,\\-1\end{cases}を導入し、S_1=(1+\mu+\xi_1\sigma)Sと表すものとする。これをT\gt1期間繰り返すことを想定し\xi_1,\cdots,\xi_Tを導入して、t時点での株価S_tを


\begin{aligned} S_t=S\displaystyle{\prod_{i=1}^{t}(1+\mu+\xi_i\sigma)} \end{aligned}


とする。更に時点t=1,2,\cdots,Tにおける価格がB_t=(1+r)^tと書ける安全資産の存在も仮定する。

4.1.1　デリバティブ

　まずこの市場におけるデリバティブを定義する。


定義4.1　デリバティブ　満期Tのデリバティブとは、独立な確率変数\xi_1,\cdots,\xi_Tによって資金の授受が決まる契約Yを指す。

デリバティブの例

  • Yを先物、満期Tでの原資産価格をS_T、受渡価格をK、そしてt=0における原資産価格をSとすれば、
    \begin{aligned}Y=S_T-K=S\displaystyle{\prod_{i=1}^{T}(1+\mu+\xi_i\sigma)}-K\end{aligned}
    で表される。
  • Yをコールオプション、行使価格をKとすれば、
    \begin{aligned}Y=\max\{S_T-K,0\}=\max\left\{S\displaystyle{\prod_{i=1}^{T}(1+\mu+\xi_i\sigma)}-K,0\right\}\end{aligned}
    で表される。
  • Yをプットオプション、行使価格をKとすれば、
    \begin{aligned}Y=\max\{K-S_T,0\}=\max\left\{K-S\displaystyle{\prod_{i=1}^{T}(1+\mu+\xi_i\sigma)},0\right\}\end{aligned}
    で表される。

このモデルでは、以下の手順で任意のデリバティブ価格を無裁定性から導出できる。

4.1.2　同値マルチンゲール測度Qの存在とその一意性

　割引株価過程をS_t^{\prime}=(1+r)^{-t}S_tで定義する。このS_t^{\prime}が\xi_1,\cdots,\xi_tに関するマルチンゲールとなるような確率測度Qを求める。Qの下での期待値をE^{Q}[\cdot]と表すと、

\begin{aligned} E^Q\left[S_{t+1}^{\prime}|\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_t\right]=\displaystyle{\frac{S_{t+1}^{\prime}}{1+r}}E^Q\left[1+\mu+\sigma\xi_{t+1}|\xi_1,\cdots,\xi_t\right]=S_t^{\prime} \end{aligned}

を満たさなければならず、E^Q\left[1+\mu+\sigma\xi_{t+1}|\xi_1,\cdots,\xi_t\right]=1+rが成り立つ。すなわち任意のx_1,\cdots,x_tに対して


\begin{aligned} Q(\xi_{t+1}=+1|\xi_1=x_1,\cdots,\xi_t=x_t)&=p(x_1,\cdots,x_t),\\ Q(\xi_{t+1}=-1|\xi_1=x_1,\cdots,\xi_t=x_t)&=1-p(x_1,\cdots,x_t) \end{aligned}


として


\begin{aligned} 1+r=(1+\mu+\sigma)p(x_1,\cdots,x_t)+(1+\mu-\sigma)(1-p(x_1,\cdots,x_t)) \end{aligned}


が成り立つ。したがって


\begin{aligned} p(x_1,\cdots,x_t)&=\displaystyle{\frac{r-\mu+\sigma}{2\sigma}},\\ 1-p(x_1,\cdots,x_t)&=\displaystyle{\frac{-r+\mu+\sigma}{2\sigma}}, \end{aligned}


が得られ、すなわち


\begin{aligned} Q(\xi_{t+1}=+1|\xi_1=x_1,\cdots,\xi_t=x_t)&=\displaystyle{\frac{r-\mu+\sigma}{2\sigma}},\\ Q(\xi_{t+1}=-1|\xi_1=x_1,\cdots,\xi_t=x_t)&=\displaystyle{\frac{-r+\mu+\sigma}{2\sigma}}, \end{aligned}


が得られる。こうして得られたQ(\xi_{t+1}=+1|\xi_1=x_1,\cdots,\xi_t=x_t)=\displaystyle{\frac{r-\mu+\sigma}{2\sigma}}をリスク中立上昇確率、Q(\xi_{t+1}=-1|\xi_1=x_1,\cdots,\xi_t=x_t)=\displaystyle{\frac{-r+\mu+\sigma}{2\sigma}}をリスク中立下降確率と呼ぶ。このようなQは構成法から一意的である。

4.1.3　デリバティブの価格決定と複製ポートフォリオ

　満期TのデリバティブのペイオフをYとすれば、t=0におけるデリバティブの価格はC=E^Q\left[\displaystyle{\frac{Y}{(1+r)^T}}\right]で与えられる。実際、

\begin{aligned} S_{t+1}^{\prime}-S_{t}^{\prime}&=\displaystyle{\frac{S_{t+1}^{\prime}-S_{t}^{\prime}}{\xi_{t+1}-E^{Q}\left[\xi_{t+1}\right]}}(\xi_{t+1}-E^{Q}\left[\xi_{t+1}\right])\\ &=S_t^{\prime}\displaystyle{\frac{(1+r)^{-1}(1+\mu+\sigma\xi_{t+1})-1}{\xi_{t+1}-\displaystyle{\frac{r-\mu}{\sigma}}}}(\xi_{t+1}-E^Q\left[\xi_{t+1}\right]) \end{aligned}

とする。S_t^{\prime}は\xi_1,\cdots,\xi_tに関してQの下でマルチンゲールになるから、非対称ランダムウォークに関するマルチンゲール表現定理から、最右辺の\xi_{t+1}-E^{Q}[\xi_{t+1}]の係数は\xi_{t+1}に依存しないから、\xi_{t+1}=1を代入して整理することで、


\begin{aligned} S_{t+1}^{\prime}-S_{t}^{\prime}=S_{t}^{\prime}\sigma(1+r)^{-1}(\xi_{t+1}-E^{Q}[\xi_{t+1}]) \end{aligned}


が成り立つ。またM_t=E^{Q}\left[\displaystyle{\frac{Y}{(1+r)^T}}\left|\right.\xi_1,\cdots,\xi_t\right]もQの下でマルチンゲールであるから、


\begin{aligned} M_{t+1}-M_t=g_{t+1}(\xi_1,\cdots,\xi_t)(\xi_{t+1}-E^{Q}[\xi_{t+1}]) \end{aligned}


が成り立つ。したがって


\begin{aligned} \phi_{t+1}(\xi_1,\cdots,\xi_t)=\displaystyle{\frac{g_{t+1}(\xi_1,\cdots,\xi_t)}{S_t^{\prime}\sigma(1+r)^{-1}}} \end{aligned}


とおけば、


\begin{aligned} M_{t+1}-M_t=\phi_{t+1}(\xi_1,\cdots,\xi_t)(S_{t+1}^{\prime}-S_{t}^{\prime}) \end{aligned}


と書き換えることができる。これをt=0からt=Tまでを辺々足し合わせることで


\begin{aligned} \displaystyle{\frac{Y}{(1+r)^T}}-E^{Q}\left[\displaystyle{\frac{Y}{(1+r)^T}}\right]&=M_T-M_0\\ &=\displaystyle{\sum_{t=0}^{T-1}\phi_{t+1}\left(\displaystyle{\frac{S_{t+1}}{(1+r)^{t+1}}}-\displaystyle{\frac{S_t}{(1+r)^t}}\right)} \end{aligned}


となる。初期資産C=E^{Q}\left[\displaystyle{\frac{Y}{(1+r)^{T}}}\right]と右辺の原資産から構成される複製ポートフォリオでデリバティブを複製できるため、デリバティブの価格はC=E^{Q}\left[\displaystyle{\frac{Y}{(1+r)^{T}}}\right]が得られる。複製の方法は両辺を(1+r)^T倍することで


\begin{aligned} Y&=C(1+r)^T+\displaystyle{\sum_{t=0}^{T-1}\left\{\phi_{t+1}(\xi_1,\cdots,\xi_t)\cdot(S_{t+1}-(1+r)S_t)\cdot(1+r)^{T-(t+1)} \right\}} \end{aligned}


と書け、それぞれの式は

　 Y デリバティブのペイオフ
　 C(1+r)^T 初期資金Cを複利rでT期間運用
　 \phi_{t+1}(\xi_1,\cdots,\xi_t) 時点tにおける売買単位
　 S_{t+1}-(1+r)S_t 時点tでS_tだけ無リスク資産を借りて原資産を購入し、時点t+1でS_{t+1}で売却した後、元利金をすべて返済したときの収益
　 (1+r)^{T-(t+1)} 時点t+1での収益を満期まで複利rで運用

と解釈できる。

4.2　離散から連続で

　時間の幅を小さくし連続モデルに近づけることを考える。まず時刻0から時刻Tまでをn等分して\displaystyle{\frac{T}{n}}=\Delta tとおき、0,\Delta t,2\Delta t,\cdots,n\Delta t=Tとする。時刻0における株価をS,時刻i\Delta tにおける株価を


\begin{aligned} S_{i\Delta t}=S\displaystyle{\prod_{j=1}^{i}(1+\mu\Delta t+\sigma\xi_{j\Delta t}\sqrt{\Delta t})} \end{aligned}


とモデル化する。このとき満期Tにおける株価は


\begin{aligned} S_T&=S\displaystyle{\prod_{j=1}^{n}(1+\mu\Delta t+\sigma\xi_{j\Delta t}\sqrt{\Delta t})}\\ &=S\displaystyle{\prod_{j=1}^{n}\left\{(1+\mu\Delta t)^2-\sigma^2\Delta t\right\}^{\frac{1}{2}}\left(\displaystyle{\frac{1+\mu\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}}{1+\mu\Delta t-\sigma\sqrt{\Delta t}}} \right)^{\frac{\xi_{j\Delta t}}{2}}}\\ &=S\displaystyle{\left\{(1+\mu\Delta t)^2-\sigma^2\Delta t\right\}^{\frac{n}{2}}\left(\displaystyle{\frac{1+\mu\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}}{1+\mu\Delta t-\sigma\sqrt{\Delta t}}} \right)^{\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}\xi_{j\Delta t}}} \end{aligned}


で表される。他方で時刻i\Delta tにおける安全資産価格をB_{i\Delta t}=(1+r\Delta t)^iとモデル化する。このとき満期時のペイオフがf(S_T)と表されるデリバティブの現在価値は同値マルチンゲール測度Qの下での割引ペイオフの期待値として


\begin{aligned} E^Q\left[(1+r\Delta t)^{-\frac{T}{\Delta t}}f(S_T)\right] \end{aligned}


で与えられる。ここで


\begin{aligned} Q(\xi_{i\Delta t}=+1)&=\displaystyle{\frac{r\Delta t-(\mu\Delta t-\sigma\sqrt{\Delta t})}{2\sigma\sqrt{Delta t}}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}+\displaystyle{\frac{r-\mu}{2\sigma}}\sqrt{\Delta t},\\ Q(\xi_{i\Delta t}=-1)&=\displaystyle{\frac{1}{2}}-\displaystyle{\frac{r-\mu}{2\sigma}}\sqrt{\Delta t} \end{aligned}


であるから、


\begin{aligned} E^Q\left[\xi_{i\Delta t}\right]&=\displaystyle{\frac{r-\mu}{\sigma}}\sqrt{\Delta t},\\ V^Q\left[\xi_{i\Delta t}\right]&=1-\left(\displaystyle{\frac{r-\mu}{\sigma}}\right)^2\Delta t \end{aligned}


を得る。
　\Delta t\rightarrow0(\Leftrightarrow n\rightarrow\infty)とすれば、\displaystyle{\lim_{\Delta t\rightarrow\infty}(1+r\Delta t)^{-\frac{T}{\Delta t}} }=e^{-rT}であり、また


\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{\Delta t\rightarrow0}\left\{(1+\mu\Delta t)^2-\sigma^2\Delta t\right\}^{\frac{n}{2}}}&=\displaystyle{\lim_{\Delta t\rightarrow0}\exp\left[\displaystyle{\frac{T}{2\Delta t}\log\left\{1+(2\mu-\sigma^2)\Delta t+\mu^2(\Delta t)^2\right\}}\right]}\\ &=\displaystyle{\lim_{\Delta t\rightarrow0}\exp\left[\displaystyle{\frac{T}{2\Delta t}\log\left\{(2\mu-\sigma^2)\Delta t+o(\Delta t) \right\}}\right]}\\ &=\exp\left\{\left(\mu-\displaystyle{\frac{1}{2}\sigma^2}\right)\right\} \end{aligned}


である。更に


\begin{aligned} &\displaystyle{\lim_{\Delta t\rightarrow0}\left(\displaystyle{\frac{1+\mu\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}}{1+\mu\Delta t-\sigma\sqrt{\Delta t}}} \right)^{\frac{1}{2\sqrt{\Delta t}}}}\\ =&\displaystyle{\lim_{\Delta t\rightarrow0}\exp\left[\displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{\Delta t}}\left\{\log(1+\mu\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t})-\log(1+\mu\Delta t-\sigma\sqrt{\Delta t})\right\}}\right]}\\ =&\displaystyle{\lim_{\Delta t\rightarrow0}\exp\left\{\frac{1}{2\sqrt{\Delta t}}\left(2\sigma\sqrt{\Delta t}+o\left(\sqrt{\Delta t}\right)\right)\right\}}\\ =&e^{\sigma} \end{aligned}


である。
　そして上で求めた期待値および分散を踏まえて


\begin{aligned} &\displaystyle{\frac{\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}\xi_{j\Delta t}}-E^Q\left[\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}\xi_{i\Delta t}}\right]}{\sqrt{V^Q\left[\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}\xi_{i\Delta t}}\right]}}}\\ =&\displaystyle{\frac{\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}\xi_{j\Delta t}}-\displaystyle{\frac{n(r-\mu)\sqrt{\Delta t}}{\sigma}}}{\sqrt{n\left\{1-\left(\displaystyle{\frac{r-\mu}{\sigma}}\right)^2\Delta t\right\}}}}\\ \xrightarrow{d}&\Phi(x)(\Delta t\rightarrow0) \end{aligned}


である。したがって


\begin{aligned} S_T\rightarrow&S\exp\left\{\left(\mu-\displaystyle{\frac{\sigma^2}{2}}\right)T\right\}\exp\left(\sqrt{T}W+\displaystyle{\frac{r-\mu}{\sigma}}T\right)\ (\Delta t\rightarrow0)\\ =&S\exp\left\{\left(r-\displaystyle{\frac{\sigma^2}{2}}\right)T+\sigma\sqrt{T}W\right\},\ W\sim N(0,1) \end{aligned}


が得られる。以上から、


\begin{aligned} &\displaystyle{\lim_{\Delta t\rightarrow0}E^Q\left[(1+r\Delta t)^{-\frac{T}{\Delta t}}f(S_T)\right]}\\ =&E\left[e^{-rT}f\left(S\exp\left\{\left(r-\displaystyle{\frac{\sigma^2}{2}}\right)T+\sigma\sqrt{T}W\right\}\right)\right],\ W\sim N(0,1) \end{aligned}


が成立する。


　これをヨーロピアン・コール・オプションに適用する。満期までの時間Tのコールオプションの現在価値をC(T)とすると、


\begin{aligned} C(T)=S\Phi\left(\displaystyle{\frac{\log\frac{S}{K}+(r+\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}}\right)-Ke^{-rT}\Phi\left(\displaystyle{\frac{\log\frac{S}{K}+(r-\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}}\right) \end{aligned}


が成り立つ。実際、


\begin{aligned} d_{+}&=\displaystyle{\frac{\log\frac{S}{K}+(r+\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}},\\ d_{-}&=\displaystyle{\frac{\log\frac{S}{K}+(r-\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}} \end{aligned}


とおけば、W\sim N(0,1)として


\begin{aligned} C(T)&=e^{-rT}E\left[\max\left[S\exp\left\{\left(r-\displaystyle{\frac{\sigma^2}{2}}\right)T+\sigma\sqrt{T}W \right\}-K,0\right]\right]\\ &=e^{-rT}\displaystyle{\int_{-d_{-}}^{\infty}\left[S\exp\left\{\left(r-\displaystyle{\frac{\sigma^2}{2}}\right)T+x\sigma\sqrt{T}\right\}-K\right]}\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}e^{-\frac{x^2}{2}}}}dx\\ &=\displaystyle{\frac{S}{\sqrt{2\pi}}\int_{-d_{-}}^{\infty}\left[\exp\left\{-\displaystyle{\frac{1}{2}}\left(x-\sigma\sqrt{T}\right)^2\right\}\right]}dx-\displaystyle{\frac{Ke^{-rT}}{\sqrt{2\pi}}\int_{-d_{-}}^{\infty}\exp\left(\displaystyle{-\frac{1}{2}x^2}\right)}dx\\ &=S\Phi\left(1-\left(-d_{-}+\sigma\sqrt{T}\right)\right)-Ke^{-rT}\Phi(-d_{-})\\ &=S\Phi\left(-d_{+}\right)-Ke^{-rT}\Phi(-d_{-}) \end{aligned}


が得られる。

次回

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*1:途中で資金を引き揚げたり追加投入しないこと。

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