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一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。目下、データ分析・語学に力点を置いています。今月(2022年10月)からは多忙につき、日々の投稿数を減らします。

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ファイナンスのための確率過程を丁寧に(03/X)

 ファイナンスのために基礎から

を基に確率過程を学んでいきます。

4. 離散モデルのデリバティブ価格理論II

4.1 2項T期間モデルのデリバティブの価格理論

 現時点t=0における資産価値がSである原資産がt=1(1+\mu+\sigma)Sに上昇するか、(1+\mu-\sigma)Sに下落するものと仮定する。これを統一的に表現すべく、確率変数\xi_1=\begin{cases}+1,\\-1\end{cases}を導入し、S_1=(1+\mu+\xi_1\sigma)Sと表すものとする。これをT\gt1期間繰り返すことを想定し\xi_1,\cdots,\xi_Tを導入して、t時点での株価S_t



\begin{aligned}
S_t=S\displaystyle{\prod_{i=1}^{t}(1+\mu+\xi_i\sigma)}
\end{aligned}


とする。更に時点t=1,2,\cdots,Tにおける価格がB_t=(1+r)^tと書ける安全資産の存在も仮定する。

4.1.1 デリバティブ

 まずこの市場におけるデリバティブを定義する。


定義4.1 デリバティブ 満期Tデリバティブとは、独立な確率変数\xi_1,\cdots,\xi_Tによって資金の授受が決まる契約Yを指す。

デリバティブの例

  • Y先物、満期Tでの原資産価格をS_T、受渡価格をK、そしてt=0における原資産価格をSとすれば、
    \begin{aligned}Y=S_T-K=S\displaystyle{\prod_{i=1}^{T}(1+\mu+\xi_i\sigma)}-K\end{aligned}
    で表される。
  • Yコールオプション、行使価格をKとすれば、
    \begin{aligned}Y=\max\{S_T-K,0\}=\max\left\{S\displaystyle{\prod_{i=1}^{T}(1+\mu+\xi_i\sigma)}-K,0\right\}\end{aligned}
    で表される。
  • Yプットオプション、行使価格をKとすれば、
    \begin{aligned}Y=\max\{K-S_T,0\}=\max\left\{K-S\displaystyle{\prod_{i=1}^{T}(1+\mu+\xi_i\sigma)},0\right\}\end{aligned}
    で表される。

このモデルでは、以下の手順で任意のデリバティブ価格を無裁定性から導出できる。

4.1.2 同値マルチンゲール測度Qの存在とその一意性

 割引株価過程をS_t^{\prime}=(1+r)^{-t}S_tで定義する。このS_t^{\prime}\xi_1,\cdots,\xi_tに関するマルチンゲールとなるような確率測度Qを求める。Qの下での期待値をE^{Q}[\cdot]と表すと、


\begin{aligned}
E^Q\left[S_{t+1}^{\prime}|\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_t\right]=\displaystyle{\frac{S_{t+1}^{\prime}}{1+r}}E^Q\left[1+\mu+\sigma\xi_{t+1}|\xi_1,\cdots,\xi_t\right]=S_t^{\prime}
\end{aligned}

を満たさなければならず、E^Q\left[1+\mu+\sigma\xi_{t+1}|\xi_1,\cdots,\xi_t\right]=1+rが成り立つ。すなわち任意のx_1,\cdots,x_tに対して



\begin{aligned}
Q(\xi_{t+1}=+1|\xi_1=x_1,\cdots,\xi_t=x_t)&=p(x_1,\cdots,x_t),\\
Q(\xi_{t+1}=-1|\xi_1=x_1,\cdots,\xi_t=x_t)&=1-p(x_1,\cdots,x_t)
\end{aligned}


として



\begin{aligned}
1+r=(1+\mu+\sigma)p(x_1,\cdots,x_t)+(1+\mu-\sigma)(1-p(x_1,\cdots,x_t))
\end{aligned}


が成り立つ。したがって



\begin{aligned}
p(x_1,\cdots,x_t)&=\displaystyle{\frac{r-\mu+\sigma}{2\sigma}},\\
1-p(x_1,\cdots,x_t)&=\displaystyle{\frac{-r+\mu+\sigma}{2\sigma}},
\end{aligned}


が得られ、すなわち



\begin{aligned}
Q(\xi_{t+1}=+1|\xi_1=x_1,\cdots,\xi_t=x_t)&=\displaystyle{\frac{r-\mu+\sigma}{2\sigma}},\\
Q(\xi_{t+1}=-1|\xi_1=x_1,\cdots,\xi_t=x_t)&=\displaystyle{\frac{-r+\mu+\sigma}{2\sigma}},
\end{aligned}


が得られる。こうして得られたQ(\xi_{t+1}=+1|\xi_1=x_1,\cdots,\xi_t=x_t)=\displaystyle{\frac{r-\mu+\sigma}{2\sigma}}をリスク中立上昇確率、Q(\xi_{t+1}=-1|\xi_1=x_1,\cdots,\xi_t=x_t)=\displaystyle{\frac{-r+\mu+\sigma}{2\sigma}}をリスク中立下降確率と呼ぶ。このようなQは構成法から一意的である。

4.1.3 デリバティブの価格決定と複製ポートフォリオ

 満期TデリバティブペイオフYとすれば、t=0におけるデリバティブの価格はC=E^Q\left[\displaystyle{\frac{Y}{(1+r)^T}}\right]で与えられる。実際、


\begin{aligned}
S_{t+1}^{\prime}-S_{t}^{\prime}&=\displaystyle{\frac{S_{t+1}^{\prime}-S_{t}^{\prime}}{\xi_{t+1}-E^{Q}\left[\xi_{t+1}\right]}}(\xi_{t+1}-E^{Q}\left[\xi_{t+1}\right])\\
&=S_t^{\prime}\displaystyle{\frac{(1+r)^{-1}(1+\mu+\sigma\xi_{t+1})-1}{\xi_{t+1}-\displaystyle{\frac{r-\mu}{\sigma}}}}(\xi_{t+1}-E^Q\left[\xi_{t+1}\right])
\end{aligned}

とする。S_t^{\prime}\xi_1,\cdots,\xi_tに関してQの下でマルチンゲールになるから、非対称ランダムウォークに関するマルチンゲール表現定理から、最右辺の\xi_{t+1}-E^{Q}[\xi_{t+1}]の係数は\xi_{t+1}に依存しないから、\xi_{t+1}=1を代入して整理することで、



\begin{aligned}
S_{t+1}^{\prime}-S_{t}^{\prime}=S_{t}^{\prime}\sigma(1+r)^{-1}(\xi_{t+1}-E^{Q}[\xi_{t+1}])
\end{aligned}


が成り立つ。またM_t=E^{Q}\left[\displaystyle{\frac{Y}{(1+r)^T}}\left|\right.\xi_1,\cdots,\xi_t\right]Qの下でマルチンゲールであるから、



\begin{aligned}
M_{t+1}-M_t=g_{t+1}(\xi_1,\cdots,\xi_t)(\xi_{t+1}-E^{Q}[\xi_{t+1}])
\end{aligned}


が成り立つ。したがって



\begin{aligned}
\phi_{t+1}(\xi_1,\cdots,\xi_t)=\displaystyle{\frac{g_{t+1}(\xi_1,\cdots,\xi_t)}{S_t^{\prime}\sigma(1+r)^{-1}}}
\end{aligned}


とおけば、



\begin{aligned}
M_{t+1}-M_t=\phi_{t+1}(\xi_1,\cdots,\xi_t)(S_{t+1}^{\prime}-S_{t}^{\prime})
\end{aligned}


と書き換えることができる。これをt=0からt=Tまでを辺々足し合わせることで



\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{Y}{(1+r)^T}}-E^{Q}\left[\displaystyle{\frac{Y}{(1+r)^T}}\right]&=M_T-M_0\\
&=\displaystyle{\sum_{t=0}^{T-1}\phi_{t+1}\left(\displaystyle{\frac{S_{t+1}}{(1+r)^{t+1}}}-\displaystyle{\frac{S_t}{(1+r)^t}}\right)}
\end{aligned}


となる。初期資産C=E^{Q}\left[\displaystyle{\frac{Y}{(1+r)^{T}}}\right]と右辺の原資産から構成される複製ポートフォリオデリバティブを複製できるため、デリバティブの価格はC=E^{Q}\left[\displaystyle{\frac{Y}{(1+r)^{T}}}\right]が得られる。複製の方法は両辺を(1+r)^T倍することで



\begin{aligned}
Y&=C(1+r)^T+\displaystyle{\sum_{t=0}^{T-1}\left\{\phi_{t+1}(\xi_1,\cdots,\xi_t)\cdot(S_{t+1}-(1+r)S_t)\cdot(1+r)^{T-(t+1)} \right\}}
\end{aligned}


と書け、それぞれの式は

  Y デリバティブペイオフ
  C(1+r)^T 初期資金C複利rT期間運用
  \phi_{t+1}(\xi_1,\cdots,\xi_t) 時点tにおける売買単位
  S_{t+1}-(1+r)S_t 時点tS_tだけ無リスク資産を借りて原資産を購入し、時点t+1S_{t+1}で売却した後、元利金をすべて返済したときの収益
  (1+r)^{T-(t+1)} 時点t+1での収益を満期まで複利rで運用

と解釈できる。

4.2 離散から連続で

 時間の幅を小さくし連続モデルに近づけることを考える。まず時刻0から時刻Tまでをn等分して\displaystyle{\frac{T}{n}}=\Delta tとおき、0,\Delta t,2\Delta t,\cdots,n\Delta t=Tとする。時刻0における株価をS,時刻i\Delta tにおける株価を



\begin{aligned}
S_{i\Delta t}=S\displaystyle{\prod_{j=1}^{i}(1+\mu\Delta t+\sigma\xi_{j\Delta t}\sqrt{\Delta t})}
\end{aligned}


とモデル化する。このとき満期Tにおける株価は



\begin{aligned}
S_T&=S\displaystyle{\prod_{j=1}^{n}(1+\mu\Delta t+\sigma\xi_{j\Delta t}\sqrt{\Delta t})}\\
&=S\displaystyle{\prod_{j=1}^{n}\left\{(1+\mu\Delta t)^2-\sigma^2\Delta t\right\}^{\frac{1}{2}}\left(\displaystyle{\frac{1+\mu\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}}{1+\mu\Delta t-\sigma\sqrt{\Delta t}}} \right)^{\frac{\xi_{j\Delta t}}{2}}}\\
&=S\displaystyle{\left\{(1+\mu\Delta t)^2-\sigma^2\Delta t\right\}^{\frac{n}{2}}\left(\displaystyle{\frac{1+\mu\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}}{1+\mu\Delta t-\sigma\sqrt{\Delta t}}} \right)^{\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}\xi_{j\Delta t}}}
\end{aligned}


で表される。他方で時刻i\Delta tにおける安全資産価格をB_{i\Delta t}=(1+r\Delta t)^iとモデル化する。このとき満期時のペイオフf(S_T)と表されるデリバティブの現在価値は同値マルチンゲール測度Qの下での割引ペイオフの期待値として



\begin{aligned}
E^Q\left[(1+r\Delta t)^{-\frac{T}{\Delta t}}f(S_T)\right]
\end{aligned}


で与えられる。ここで



\begin{aligned}
Q(\xi_{i\Delta t}=+1)&=\displaystyle{\frac{r\Delta t-(\mu\Delta t-\sigma\sqrt{\Delta t})}{2\sigma\sqrt{Delta t}}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}+\displaystyle{\frac{r-\mu}{2\sigma}}\sqrt{\Delta t},\\
Q(\xi_{i\Delta t}=-1)&=\displaystyle{\frac{1}{2}}-\displaystyle{\frac{r-\mu}{2\sigma}}\sqrt{\Delta t}
\end{aligned}


であるから、



\begin{aligned}
E^Q\left[\xi_{i\Delta t}\right]&=\displaystyle{\frac{r-\mu}{\sigma}}\sqrt{\Delta t},\\
V^Q\left[\xi_{i\Delta t}\right]&=1-\left(\displaystyle{\frac{r-\mu}{\sigma}}\right)^2\Delta t
\end{aligned}


を得る。
 \Delta t\rightarrow0(\Leftrightarrow n\rightarrow\infty)とすれば、\displaystyle{\lim_{\Delta t\rightarrow\infty}(1+r\Delta t)^{-\frac{T}{\Delta t}} }=e^{-rT}であり、また



\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{\Delta t\rightarrow0}\left\{(1+\mu\Delta t)^2-\sigma^2\Delta t\right\}^{\frac{n}{2}}}&=\displaystyle{\lim_{\Delta t\rightarrow0}\exp\left[\displaystyle{\frac{T}{2\Delta t}\log\left\{1+(2\mu-\sigma^2)\Delta t+\mu^2(\Delta t)^2\right\}}\right]}\\
&=\displaystyle{\lim_{\Delta t\rightarrow0}\exp\left[\displaystyle{\frac{T}{2\Delta t}\log\left\{(2\mu-\sigma^2)\Delta t+o(\Delta t) \right\}}\right]}\\
&=\exp\left\{\left(\mu-\displaystyle{\frac{1}{2}\sigma^2}\right)\right\}
\end{aligned}


である。更に



\begin{aligned}
&\displaystyle{\lim_{\Delta t\rightarrow0}\left(\displaystyle{\frac{1+\mu\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}}{1+\mu\Delta t-\sigma\sqrt{\Delta t}}} \right)^{\frac{1}{2\sqrt{\Delta t}}}}\\
=&\displaystyle{\lim_{\Delta t\rightarrow0}\exp\left[\displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{\Delta t}}\left\{\log(1+\mu\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t})-\log(1+\mu\Delta t-\sigma\sqrt{\Delta t})\right\}}\right]}\\
=&\displaystyle{\lim_{\Delta t\rightarrow0}\exp\left\{\frac{1}{2\sqrt{\Delta t}}\left(2\sigma\sqrt{\Delta t}+o\left(\sqrt{\Delta t}\right)\right)\right\}}\\
=&e^{\sigma}
\end{aligned}


である。
 そして上で求めた期待値および分散を踏まえて



\begin{aligned}
&\displaystyle{\frac{\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}\xi_{j\Delta t}}-E^Q\left[\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}\xi_{i\Delta t}}\right]}{\sqrt{V^Q\left[\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}\xi_{i\Delta t}}\right]}}}\\
=&\displaystyle{\frac{\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}\xi_{j\Delta t}}-\displaystyle{\frac{n(r-\mu)\sqrt{\Delta t}}{\sigma}}}{\sqrt{n\left\{1-\left(\displaystyle{\frac{r-\mu}{\sigma}}\right)^2\Delta t\right\}}}}\\
\xrightarrow{d}&\Phi(x)(\Delta t\rightarrow0)
\end{aligned}


である。したがって



\begin{aligned}
S_T\rightarrow&S\exp\left\{\left(\mu-\displaystyle{\frac{\sigma^2}{2}}\right)T\right\}\exp\left(\sqrt{T}W+\displaystyle{\frac{r-\mu}{\sigma}}T\right)\ (\Delta t\rightarrow0)\\
=&S\exp\left\{\left(r-\displaystyle{\frac{\sigma^2}{2}}\right)T+\sigma\sqrt{T}W\right\},\ W\sim N(0,1)
\end{aligned}


が得られる。以上から、



\begin{aligned}
&\displaystyle{\lim_{\Delta t\rightarrow0}E^Q\left[(1+r\Delta t)^{-\frac{T}{\Delta t}}f(S_T)\right]}\\
=&E\left[e^{-rT}f\left(S\exp\left\{\left(r-\displaystyle{\frac{\sigma^2}{2}}\right)T+\sigma\sqrt{T}W\right\}\right)\right],\ W\sim N(0,1)
\end{aligned}


が成立する。


 これをヨーロピアン・コール・オプションに適用する。満期までの時間Tコールオプションの現在価値をC(T)とすると、



\begin{aligned}
C(T)=S\Phi\left(\displaystyle{\frac{\log\frac{S}{K}+(r+\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}}\right)-Ke^{-rT}\Phi\left(\displaystyle{\frac{\log\frac{S}{K}+(r-\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}}\right)
\end{aligned}


が成り立つ。実際、



\begin{aligned}
d_{+}&=\displaystyle{\frac{\log\frac{S}{K}+(r+\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}},\\
d_{-}&=\displaystyle{\frac{\log\frac{S}{K}+(r-\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}}
\end{aligned}


とおけば、W\sim N(0,1)として



\begin{aligned}
C(T)&=e^{-rT}E\left[\max\left[S\exp\left\{\left(r-\displaystyle{\frac{\sigma^2}{2}}\right)T+\sigma\sqrt{T}W \right\}-K,0\right]\right]\\
&=e^{-rT}\displaystyle{\int_{-d_{-}}^{\infty}\left[S\exp\left\{\left(r-\displaystyle{\frac{\sigma^2}{2}}\right)T+x\sigma\sqrt{T}\right\}-K\right]}\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}e^{-\frac{x^2}{2}}}}dx\\
&=\displaystyle{\frac{S}{\sqrt{2\pi}}\int_{-d_{-}}^{\infty}\left[\exp\left\{-\displaystyle{\frac{1}{2}}\left(x-\sigma\sqrt{T}\right)^2\right\}\right]}dx-\displaystyle{\frac{Ke^{-rT}}{\sqrt{2\pi}}\int_{-d_{-}}^{\infty}\exp\left(\displaystyle{-\frac{1}{2}x^2}\right)}dx\\
&=S\Phi\left(1-\left(-d_{-}+\sigma\sqrt{T}\right)\right)-Ke^{-rT}\Phi(-d_{-})\\
&=S\Phi\left(-d_{+}\right)-Ke^{-rT}\Phi(-d_{-})
\end{aligned}


が得られる。

*1:途中で資金を引き揚げたり追加投入しないこと。

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