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コンピュテーショナル・ファイナンス(その03/X)

 古典的名著

を基に「コンピュテーショナル・ファイナンス」を学んでいきます。

2. ツリーモデルによるオプションの評価

 ツリーモデルを用いたデリバティブ評価の理論的背景と具体的なアルゴリズムを紹介する。

2.2 多期間2項モデル

 多期間におけるu,dの決定方法を考える。u,dは2項モデルにおける通貨の挙動がリスク中立的な状況下において連続時間の通貨変動過程と整合的になるように決定される必要がある。
 リスク中立的な状況下において通貨変動プロセスが


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{dS}{S}}=(r_d-r_f)dt+\sigma dW
\end{aligned}

で与えられているとする。
 このとき伊藤の公式より


\begin{aligned}
d(\log S)=\left(r_d-r_f-\displaystyle{\frac{1}{2}}\sigma^2\right)dt +\sigma dW
\end{aligned}

が成り立つ。このときE[d(\log S)]=\left(r_d-r_f-\displaystyle{\frac{1}{2}}\sigma^2\right)dt,\ V[d(\log S)]=\sigma^2 dtである。
 2項モデルにおいて時点tにおける通貨価値をS_tとすれば、


\begin{aligned}
\Delta (\log{S_t})=\log{\displaystyle{\frac{S_{t+1}}{S_t}}}
\end{aligned}

である。時点t+1では


\begin{aligned}
\Delta(\log S_{t+1})=\log{\displaystyle{\frac{S_{t+1}}{S_t}}}=\left\{
  \begin{array}{ll}
    \log u, & 通貨価値が上昇した場合, \\
    \log d, & 通貨価値が下落した場合
  \end{array}
\right.
\end{aligned}

が成り立つ。したがってu,d


\begin{aligned}
E[\Delta(\log S_t)]=&p\log{u}+(1-p)\log{d}=\left(r_d-r_f-\displaystyle{\frac{1}{2}}\sigma^2\right)\Delta t,\\
V[\Delta(\log S_t)]=&p(\log{u}-\mu)^2+(1-p)(\log{d}-\mu)^2=\sigma^2\Delta t
\end{aligned}

が成り立たなければならない。ただし\mu:=E[\Delta(\log{S_t})]である。
 またSud=Sとなるようにu,dを定めることが多いため、


\begin{aligned}
u=\displaystyle{\frac{1}{d}}
\end{aligned}

とおく。
 以上の条件を整理すれば


\begin{aligned}
\left\{
  \begin{array}{ll}
    E[\Delta(\log S_t)]=p\log{u}+(1-p)\log{d}=\left(r_d-r_f-\displaystyle{\frac{1}{2}}\sigma^2\right)\Delta t,&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (a)\\
    V[\Delta(\log S_t)]=p(\log{u}-\mu)^2+(1-p)(\log{d}-\mu)^2=\sigma^2\Delta t,&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (b)\\
    u=\displaystyle{\frac{1}{d}}&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (c)
  \end{array}
\right.
\end{aligned}

(a)に(c)を代入することで


\begin{aligned}
&\ p\log{u}-(1-p)\log{u}=\left(r_d-r_f-\displaystyle{\frac{1}{2}}\sigma^2\right)\Delta t\\
\Leftrightarrow&\ (\log{u})(2p-1)=\left(r_d-r_f-\displaystyle{\frac{1}{2}}\sigma^2\right)\Delta t
\end{aligned}

(b)に(c)を代入することで


\begin{aligned}
&\ p(\log{u}-\mu)^2+(1-p)(\log{u}+\mu)^2=\sigma^2\Delta t\\
\Leftrightarrow&\ (\log{u})^2-2p\mu\log{u}+p{\mu}^2+2(1-p)\mu\log{u}+(1-p){\mu}^2=\sigma^2\Delta t\\
\Leftrightarrow&\ (\log{u})^2+2(1-2p)\mu\log{u}+{\mu}^2=\sigma^2\Delta t\\
\end{aligned}

ここに(a)を代入すれば


\begin{aligned}
\ (\log{u})^2-2\left(r_d-r_f-\displaystyle{\frac{1}{2}}\sigma^2\right)\Delta t\mu+{\mu}^2=\sigma^2\Delta t\\
\Leftrightarrow\ (\log{u})^2-\left\{\left(r_d-r_f-\displaystyle{\frac{1}{2}}\sigma^2\right)\right\}^2(\Delta t)^2=\sigma^2\Delta t\\
\end{aligned}

であるが、(dt)^2=0より(\Delta t)^2=0であることに注意すれば


\begin{aligned}
u&=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}},\\
d&=e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}
\end{aligned}

である。
 このとき


\begin{aligned}
p&=\displaystyle{\frac{e^{(r_d-r_f)\Delta t}-d}{u-d}},\\
&=\displaystyle{\frac{e^{(r_d-r_f)\Delta t}-e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}}{e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}-e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}}}
\end{aligned}

である。
 以上から、二項モデルを用いたヨーロピアン・オプション計算のアルゴリズムは以下のとおりである:


二項モデルを用いたヨーロピアン・オプション計算のアルゴリズム

(1) オプションの満期までの時間をTとし、これをN機関に分割して\Delta t=\displaystyle{\frac{T}{N}}とする。
(2) u=e^{\sigma\Delta},d=e^{-\sigma\Delta}を用いてi期におけるj番目のノードの通貨価値S_{i,j}=Su^{j}d^{i-j}を計算する。ここでjは通貨が上昇した回数を表す。
(3) 満期時点における原資産価値S_{N,j}を用いてその時点におけるオプション価値を計算する。具体的には
\begin{aligned}\max[S_{N,j}-K,0]& コール・オプションの場合,\\\max[K-S_{N,j},0]& プット・オプションの場合\end{aligned}
とする。
(4) リスク中立確率p\equiv \displaystyle{\frac{e^{(r_d-r_f)\Delta t}-d}{u-d}}で期待値を取り、国内のリスクフリーレートで割り引くことで1時点前のオプション価格を計算する。
(5) (4)を繰り返し適用して現在時点におけるオプション価値を計算する。

2.3 連続形への拡張

 この多期間2項モデルはN\rightarrow\inftyとすればBlack-Scholesモデルに類似した連続型モデルに帰着可能である。満期までの期間をTとし、これをN機関に分割した2項モデルの極限を考えることで連続型モデルを導出する。
 ヨーロピアン・コール・オプションのリスク中立化法による評価では満期時点におけるペイオフのリスク中立確率による期待値を国内のリスクフリーレートr_dにより現在価値に割り引く。
 ある1つのノードについて原資産のリスク中立な上昇確率p_{u}


\begin{aligned}
p_{u}=\displaystyle{\frac{e^{(r_d-r_f)\Delta t}-d}{u-d}}
\end{aligned}

であり、ある1本のパスが満期Nまでにj回だけ上昇しN-j回下落したとするならば、その確率は{p_u}^{j}((1-p)^{N-j}であり、原資産価格はSu^{j}d^{N-j}になる。そして原資産がこの値を取るパスの数は{}_{N}C_jであるから、満期において原資産価格がSu^{j}d^{N-j}であるような確率は


\begin{aligned}
{}_{N}C_{j}p^{j}(1-p)^{N-j}
\end{aligned}

である。
 満期時点におけるペイオフの期待値は、上記確率にペイオフ\max[Su^{j}d^{N-j},0]を掛けた上ですべてのjについて合計したものであるから、コール・オプション価値はこれをr_dで割り引いた価値、すなわち


\begin{aligned}
C=e^{-r_d T}\left\{\displaystyle{\sum_{j=0}^{N}{}_{N}C_{j}p^{j}(1-p)^{N-j}}\max[Su^{j}d^{N-j},0]\right\}
\end{aligned}

である。
 ここでオプションがインザマネーになるような最小の上昇回数をkとおくと、それはSu^k d^{N-k}\geq Kを満たすような最小の整数kである。したがって


\begin{aligned}
\max[Su^{j}d^{N-j}]=\begin{cases}Su^jd^{N-j}-K,&\ k\geq j,\\ 0,&\ k\lt j
\end{cases}
\end{aligned}

このときT=\Delta t\cdot Nであることを踏まえると、


\begin{aligned}
C=&Se^{-r_f T}\left[\displaystyle{\sum_{j=0}^{N}{}_{N}C_{j}(pe^{-(r_d-r_f)\Delta t}u)^{j}\{1-(pe^{-(r_d-r_f)\Delta t}u)\}^{N-j}}\right]\\
&-Ke^{-r_d T}\left[\displaystyle{\sum_{j=0}^{N}{}_{N}C_{j}p^{j}(1-p)^{N-j}}\right]
\end{aligned}

が成り立つ。
 第1項の括弧部分は負の二項分布NB(k;N,p^{\prime})(p^{\prime}=p e^{-(r_d-r_f)\Delta t}u)であり、第2項の括弧部分もまた負の二項分布NB(k;N,p)である。これを用いて書き換えると、

Sを通貨の価値、Kを権利行使価格、\sigma,r_d,r_f,Tをそれぞれ通貨のボラティリティ、国内金利、外国金利、オプションの満期までの期間とすれば、同通貨を原資産とするコール・オプションの価値Cは以下で与えられる:


\begin{aligned}
C&=Se^{-r_f T}NB(k;N,p^{\prime})-Ke^{-r_d T}NB(k;N,p),\\
p&=\displaystyle{\frac{e^{(r_d-r_f)\Delta t}-d}{u-d}},\ p^{\prime}=pe^{-(r_d-r_f)\Delta t}u
\end{aligned}
ただしk=\left\lfloor{\displaystyle{\frac{\log(K/S)-N\log{d}}{\log{u/d}}}}\right\rfloorであり、NB(\cdot)は負の二項分布である。

 さてN\rightarrow\inftyとして連続型の評価式を導出する。
 まずこのモデルの満期時点における通貨変動の平均および分散が連続モデルにおける平均および分散に一致することを確認する。


\begin{aligned}
E\left[\displaystyle{\log\left(\frac{\tilde{S}_T}{S_0}\right)}\right]&=E\left[\log\left(\displaystyle{\frac{S_0u^{\tilde{j}}d^{N-\tilde{j}}}{S_0}}\right)\right],\\
&=E\left[\log\left(u^{\tilde{j}}d^{N-\tilde{j}}\right)\right],\\
&=E\left[\tilde{j}\log{u}+(N-\tilde{j})\log{d}\right],\\
&=E\left[\tilde{j}\right]\log{\frac{u}{d}}+N\log{d},
\end{aligned}
また

\begin{aligned}
V\left[\displaystyle{\log\left(\frac{\tilde{S}_T}{S_0}\right)}\right]&=V\left[\tilde{j}\cdot \log{\frac{u}{d}}+N\log{d}\right]\\
&=V\left[\tilde{j}\right]\left(\log{\frac{u}{d}}\right)^2
\end{aligned}
である。ここで

\begin{aligned}
E\left[\tilde{j}\right]&=N(1\cdot p+0\cdot (1-p))=Np,\\
V\left[\tilde{j}\right]&=N[p(1-p)^2+(1-p)p^2]=Np(1-p)
\end{aligned}

である。したがって


\begin{aligned}
E\left[\displaystyle{\log\left(\frac{\tilde{S}_T}{S_0}\right)}\right]&=N\left(p\log{\frac{u}{d}}+\log{d}\right),\\
V\left[\displaystyle{\log\left(\frac{\tilde{S}_T}{S_0}\right)}\right]&=Np(1-p)\left(\log{\frac{u}{d}}\right)^2
\end{aligned}

が成り立つ。
 ここでu=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}},d=e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}とおけば


\begin{aligned}
p=\displaystyle{\frac{e^{(r_d-r_f)\sqrt{\Delta t}}-e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}}{e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}-e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}}}
\end{aligned}
であり、各指数部分をTaylor展開し、高次項を無視すれば

\begin{aligned}
p\approx\displaystyle{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{(r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2)}{\sigma}\sqrt{\Delta t}}
\end{aligned}

が成り立つ。
 これらの結果から


\begin{aligned}
E\left[\displaystyle{\log\left(\frac{\tilde{S}_T}{S_0}\right)}\right]&=N\left\{\left(\displaystyle{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2}{\sigma}\sqrt{\Delta t}}\right)2\sigma\sqrt{\Delta t}-\sigma\sqrt{\Delta t}\right\},\\
&=\left(r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2\right)N\Delta t\\
&=\left(r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T\\
V\left[\displaystyle{\log\left(\frac{\tilde{S}_T}{S_0}\right)}\right]&=N\left(\displaystyle{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{(r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2)}{\sigma}\sqrt{\Delta t}} \right)\left(\displaystyle{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\frac{(r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2)}{\sigma}\sqrt{\Delta t}} \right)4\sigma^2\Delta t\\
&=\left(1-\frac{(r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2)^2}{\sigma^2}\Delta t\right)\sigma^2N\Delta t\\
&=\left(1-\frac{(r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2)^2}{\sigma^2}\Delta t\right)\sigma^2T\\
&=\sigma^2T-\frac{(r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2)^2T^2}{N}\\
\end{aligned}

が得られ、平均は常に連続モデルと一致しており


\begin{aligned}
V\left[\displaystyle{\log\left(\frac{\tilde{S}_T}{S_0}\right)}\right]\rightarrow\sigma^2T\ (n\rightarrow\infty)
\end{aligned}

 次に二項分布に関する中心極限定理である、de Moivre-Laplaceの定理を用いて


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{N\rightarrow\infty}P\left[\frac{\tilde{j}-Np}{\sqrt{Np(1-p)}} \leq z\right]}=\Phi(z)
\end{aligned}

が成り立つことを用いることとする。
 まず


\begin{aligned}
C=Se^{-r_f T}NB(k;N,p^{\prime})-Ke^{-r_d T}NB(k;N,p)
\end{aligned}

の第1項にde Moivre-Lapaceの定理を用いる。


\begin{aligned}
NB(k;N,p^{\prime})&=1-P\{\tilde{j}\leq k\}\\
&=1-P\left[\displaystyle{\frac{\tilde{j}-Np^{\prime}}{\sqrt{Np^{\prime}(1-p^{\prime})}}}\leq\displaystyle{\frac{k-Np^{\prime}}{\sqrt{Np^{\prime}(1-p^{\prime})}}}\right]
\end{aligned}
p^{\prime}u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}},d=e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}を代入し、指数部分をTaylor展開して高次項を無視すれば

\begin{aligned}
p^{\prime}=\displaystyle{\frac{u-e^{-(r_d-r_f)\Delta t}}{u-d}}\approx \displaystyle{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{r_d-r_f+\frac{1}{2}\sigma^2}{\sigma}\right)}\sqrt{\Delta t}
\end{aligned}

が成り立つため、


\begin{aligned}
\sqrt{Np^{\prime}(1-p^{\prime})}&=\sqrt{N\left\{\displaystyle{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\left(\frac{r_d-r_f+\frac{1}{2}\sigma^2}{\sigma}\right)^2}\Delta t\right\}}\\
&=\displaystyle{\frac{1}{2}\sqrt{N}\sqrt{1-\left(\frac{r_d-r_f+\frac{1}{2}\sigma^2}{\sigma}\right)^2\frac{T}{N}}}
\end{aligned}

である。いま、Su^{k}d^{N-k}=Kであるから


\begin{aligned}
k-Np^{\prime}&=\displaystyle{\frac{\log{\frac{K}{S}}-N(-\sigma\sqrt{\Delta t})}{2\sigma\sqrt{\Delta t}}}-N\left\{\displaystyle{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{r_d-r_f+\frac{1}{2}\sigma^2}{\sigma}\right)}\right\},\\
&=\displaystyle{\frac{(r_d-r_f+\frac{1}{2}\sigma^2)T}{2\sigma\sqrt{\Delta t}}}
\end{aligned}
が成り立ち、

\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{k-Np^{\prime}}{\sqrt{Np^{\prime}(1-p^{\prime})}}}\rightarrow \displaystyle{\frac{\log{\frac{K}{S}}-(r_d-r_f+\frac{1}{2}\sigma^2)}{\sigma\sqrt{T}}}\ (n\rightarrow\infty)
\end{aligned}

が成り立つ。したがってde Moivre-Laplaceの定理から、N\rightarrow\inftyのとき


\begin{aligned}
NB(k;N,p^{\prime})&\rightarrow1-\Phi\left( \displaystyle{\frac{\log{\frac{K}{S}}-(r_d-r_f+\frac{1}{2}\sigma^2)}{\sigma\sqrt{T}}}\right)\\
&=\Phi\left( \displaystyle{\frac{\log{\frac{K}{S}}+(r_d-r_f+\frac{1}{2}\sigma^2)}{\sigma\sqrt{T}}}\right)
\end{aligned}

同様にして


\begin{aligned}
NB(k;N,p)&\rightarrow\Phi\left( \displaystyle{\frac{\log{\frac{K}{S}}+(r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2)}{\sigma\sqrt{T}}}\right)
\end{aligned}

以上から連続モデルを導出する。

2.3.1 まとめ

Sを通貨の価値、Kを権利行使価格、\sigma,r_d,r_f,Tをそれぞれ通貨のボラティリティ、国内金利、外国金利、オプションの満期までの期間とすれば、同通貨を原資産とするコール・オプションの価値Cは以下で与えられる:


\begin{aligned}
C&=Se^{-r_fT}\Phi(h)-Ke^{r_dT}\Phi(h-\sigma\sqrt{T}),\\
h&=\displaystyle{\frac{\log(S/K)+(r_d-r_f+\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}}}
\end{aligned}

  1. もしSを株価とし、r_f=0とすれば上式は配当支払いの無い株式を原資産とするコール・オプション評価式と同じになる。
  2. このオプション評価モデルは、原資産である株式が連続的に配当を支払う場合のコール・オプション評価式と同じ形をしている。
  3. Fを通貨先物価格とすればF=Se^{(r_d-r_f)T}という関係が成り立つため、これと同値なS=Fe^{-(r_d-r_f)T}を代入することで通貨先物オプションの評価式
    \begin{aligned}C&=Fe^{-r_dT}\Phi(h)-Ke^{r_dT}\Phi(h-\sigma\sqrt{T}),\\h&=\displaystyle{\frac{\log(F/K)+\frac{1}{2}\sigma^2T}{\sigma\sqrt{T}}}\end{aligned}
    を得る。
  4. ヘッジ比率
    \begin{aligned}\Delta=\displaystyle{\left(\frac{C_u-C_d}{u-d}\right)\frac{1}{Se^{r_f\Delta t}}}\end{aligned}
    e^{-r_f}\lt1であることから、Black-Scholesモデルにおけるオプション評価式のヘッジ比率よりも小さくなる。

2.4 2項モデルの安定性

 精度および計算負荷を考慮すると、ただ大きくするのではなく適当なNを取る必要がある。その取り方を考える。
 確率に関する性質から


\begin{aligned}
0\leq p=\displaystyle{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{(r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2)}{\sigma}}\leq1
\end{aligned}

である。これを整理することで


\begin{aligned}
\ -\displaystyle{\frac{\sigma}{(r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2)}}\leq\sqrt{\Delta t}&\leq \displaystyle{\frac{\sigma}{(r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2)}}
\end{aligned}

であるが、\Delta t=\displaystyle{\frac{T}{N}}を代入すれば、


\begin{aligned}
N\geq \displaystyle{\left(\frac{r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2}{\sigma}\right)^2T}
\end{aligned}

が成り立つ。
 更に分散


\begin{aligned}
V\left[\displaystyle{\log\left(\frac{\tilde{S}_T}{S_0}\right)}\right]=\sigma^2T-\frac{(r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2)^2T^2}{N}
\end{aligned}

が非負でなくてはならないから、


\begin{aligned}
\sigma^2T&\geq\frac{(r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2)^2T^2}{N},\\
N&\geq\displaystyle{\left(\frac{r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2}{\sigma}\right)^2T}
\end{aligned}

 以上から、u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}},d=e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}を用いる場合、


\begin{aligned}
\sigma^2T&\geq\frac{(r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2)^2T^2}{N},\\
N&\geq\displaystyle{\left(\frac{r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2}{\sigma}\right)^2T}
\end{aligned}

でなければならない。

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