久々に統計学を勉強したく、統計検定の受験を検討中。。そこで、
を勉強します。この本は、その主旨から記述が淡泊なので、行間を埋めていきながら勉強します。
今回は、第3章から4章まで(第1~2章は特筆するものがなかったので省略)。
3章 分布の特性値
特性値の性質
- 確率変数
および実数
について、
- 独立な確率変数
について、
- 確率変数
および実数
について、
- 確率変数
について、
まず、確率変数
を得る。
次に、が独立だと仮定する。このとき、2つの確率変数の積
の確率分布関数を
とおくと、仮定から
が成り立つ。したがって、
である。
また、確率変数および実数
について、定義から、
が成り立つ。
さらに、以降すべて複号同順として、
が成り立つ。
次に、確率変数の
を与えた下での
の条件付き期待値
について、
に関する期待値を表す期待値の演算子を
として、
が成立する。
また
を示す。示すべき等式の右辺について、
である。これらの等式を辺々足し合わせることで、
が得られる。)
4章 変数変換
確率変数の確率密度関数
とする。このとき、
を1対1の関数として確率変数
の確率密度関数を考える。まず分布関数を考えると、
である。この両辺をについて微分することで、
である。ここで、とおけば、
であり、
であるから、これを代入することで、
を得る。
4.1 例1を自分で解いてみる
確率変数の確率密度関数を
として確率変数
の確率密度関数を
とする。
である。は1対1ではないから、対称性より
のみを考えて
倍すればよく、したがって、
である。
2つの独立な確率変数について、
という変換を考え、の分布を考える。このとき、
であるから、ヤコビアン
は、
である。
の確率密度関数をそれぞれ
とすれば、独立性から、その結合密度関数
であることに注意すると、
であるから、
を得る。