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証券投資論(17/21)

 証券投資(現代ポートフォリオ理論)をコンパクトに学ぶべく、比較的最近に発刊され薄めの本である

を参考に学んでいく。

7. 確率解析の基礎

 時間が連続的に推移する投資決定問題に必要な確率解析の基礎を扱う。

7.4 指数ブラウン運動マルチンゲール

 (\Omega,\mathcal{F},P)を確率空間とし、\mathcal{F}_t\mathcal{F}の部分\sigma-加法族とする。確率過程\{X(t);t\geq0\}が以下の条件


\begin{aligned}
(1)\ \ \ &E[|X(t)|]\leq\infty,t\geq0,\\
(2)\ \ \ &E[X(t)|X(s),0\leq s\lt t]=X(s)
\end{aligned}

を満たすとき、\{X(t)\}マルチンゲール(\mathrm{martingale})であるという。
 もし離散時間を考えるならば、条件は以下で書き換えられる:


\begin{aligned}
(1)^{\prime}\ \ \ &E[|X(t)|]\leq\infty,t=0,1,2,\cdots,\\
(2)^{\prime}\ \ \ &E[X(t+1)|X(0)=X_0,\cdots,X(t)=X_t]=X(t)
\end{aligned}

 確率過程\{X(t);t\geq0\}マルチンゲールならば


\begin{aligned}
E[X(t)]=X(0),t\geq0
\end{aligned}

が成り立つ。

例1:i.i.d.な確率変数とマルチンゲール
 X_1,X_2,\cdotsが平均0で独立な確率変数であるならば、その部分和S_t=\displaystyle{\sum_{i=1}^{t}X_i}マルチンゲールである。なぜならば


\begin{aligned}
E[S_t]&=E\left[\displaystyle{\sum_{i=1}^{t}X_i}\right]\\
&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{t}E\left[X_i\right]}\ (\because X_iの独立性)\\
&=0,\\
E[S_{t+1}|X_1,\cdots,X_t]&=E[S_{t}+X_{t+1}|X_1,\cdots,X_t]\\
&=E[S_{t}|X_1,\cdots,X_t]+E[X_{t+1}|X_1,\cdots,X_t]\\
&=S_t
\end{aligned}

マルチンゲールの性質を満たすからである。

 もし(2)式が


\begin{aligned}
(2-1)\ \ \ &E[X(t)|X(s),0\leq t\lt t]\geq X(s)\\
(2-2)\ \ \ &E[X(t)|X(s),0\leq t\lt t]\leq X(s)
\end{aligned}

のそれぞれに置き換えられるとき、各々を劣マルチンゲール、優マルチンゲールという。

例2:i.i.d.な確率変数と劣マルチンゲール
 X_1,X_2,\cdotsが平均0で独立かつ有限な分散をもつ確率変数であるならば、その部分和の二乗S_t^2=\displaystyle{\sum_{i=1}^{t}X_i^2}は劣マルチンゲールである。なぜならば


\begin{aligned}
E[S_t^2]&=E\left[\displaystyle{\sum_{i=1}^{t}X_i^2}\right]\\
&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{t}E\left[X_i^2\right]}\ (\because X_iの独立性)\\
&lt\infty,\\
E[S_{t+1}^2|X_1,\cdots,X_t]&=E[S_{t}^2+2S_t X_{t+1}+X_{t+1}^2|X_1,\cdots,X_t]\\
&=S_t^2+2E[X_{t+1}]E[S_{t}|X_1,\cdots,X_t]+E[X_{t+1}^2]\\
&=S_t+E[X_{t+1}^2]\geq S_t^2
\end{aligned}

と劣マルチンゲールの性質を満たすからである。


\mathrm{Martingale}収束定理 もし確率過程\{X_t;t\geq0\}E[X_t^2]\lt M\lt\infty(t\geq0)を満たす\mathrm{martingale}ならば、

\begin{aligned}
X_t\overset{\mathcal{L}^2}{\longrightarrow}X
\end{aligned}

と平均二乗収束する。

7.4.1 指数マルチンゲール

 \mathrm{Brown}運動Z(t)と実数\thetaについて


\begin{aligned}
\left\{\exp\left(Q(t)\right),Q(t)=-\left(\theta Z(t)+\displaystyle{\frac{\theta^2}{2}}t\right);t\geq0\right\}
\end{aligned}

で定義される確率過程を指数\mathrm{Brown}運動という。
 指数\mathrm{Brown}運動について以下が成り立つ:


指数\mathrm{Brown}運動の性質 指数\mathrm{Brown}運動の性質に対して、さらに\mathrm{Brown}運動Z(t)および\tilde{Z}(t)=Z(t)+\theta t,\theta\in\mathbb{R}とおくとき、以下の性質が成り立つ:

  • 性質1:E[\exp(Q(t)-Q(s))]=1,t\geq s\geq0
  • 性質2:\exp Q(t)\mathrm{martingale}である。
  • 性質3:E\left[\exp\left(Q(t)-Q(s)\right)\left\{\tilde{Z}(t)-\tilde{Z}(s)\right\}\right]=0\\,E\left[\exp\left(Q(t)-Q(s)\right)\left\{\tilde{Z}(t)-\tilde{Z}(s)\right\}^2\right]=t-s
  • 性質4:\exp Q(t)\tilde{Z}(t)\mathrm{martingale}である。
  • 性質5:\tilde{Z}(t)d\tilde{P}=\exp Q(T) dPを満たすような確率測度\tilde{P}の下で\mathrm{martingale}である。
  • 性質6:\tilde{Z}(t)^2-td\tilde{P}=\exp Q(T)dPを満たすような確率測度\tilde{P}の下で\mathrm{martingale}である。
  • 性質7:\tilde{Z}(t)は確率測度\tilde{P}の下で\mathrm{Brown}運動である。

(\because 各性質を示す。

  • 性質1:

 \tau=t-sに対して


\begin{aligned}
&\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi\tau}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left\{-\left(\theta x+\displaystyle{\frac{\theta^2}{2}\tau}\right)\right\}\exp\left(-\displaystyle{\frac{x^2}{2\tau}}\right)}dx\\
=&\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi\tau}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left\{-\displaystyle{\frac{-(x+\theta\tau)^2}{2\tau^2}}\right\}}\\
\end{aligned}

であるが、最右辺の積分正規分布N(-\theta\tau,\tau^2)の密度関数の積分であるから、1である。

  • 性質2:

 t\gt sに対して


\begin{aligned}
E\left[\exp Q(t)|Q(s)\right]&=E\left[\exp(Q(t)-Q(s) )exp(Q(s) )|Q(s)\right]\\
&=E\left[\exp(Q(t)-Q(s) )|Q(s)\right]\exp(Q(s) )\\
\end{aligned}

である。性質1よりE\left[\exp(Q(t)-Q(s) )|Q(s)\right]=1であるから、


\begin{aligned}
E\left[\exp Q(t)|Q(s)\right]&=E\left[\exp(Q(t)-Q(s) )exp(Q(s) )|Q(s)\right]=\exp(Q(s) )
\end{aligned}

を得る。

  • 性質3:

 \tau=t-sとおけば


\begin{aligned}
&E\left[\exp\left(Q(t)-Q(s)\right)\left\{\tilde{Z}(t)-\tilde{Z}(s)\right\}\right]\\
=&\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi\tau}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left\{-\left(\theta x+\displaystyle{\frac{\theta^2}{2}\tau}\right)\right\}(x+\theta\tau)\exp\left(-\displaystyle{\frac{x^2}{2\tau}}\right)}\\
=&\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi\tau}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\displaystyle{\frac{(x+\theta\tau)^2}{2}}\right)(x+\theta\tau)\exp\left(-\displaystyle{\frac{x^2}{2\tau}}\right)}\\
=&0\\
&E\left[\exp\left(Q(t)-Q(s)\right)\left\{\tilde{Z}(t)-\tilde{Z}(s)\right\}^2\right]\\
=&\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi\tau}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left\{-\left(\theta x+\displaystyle{\frac{\theta^2}{2}\tau}\right)\right\}(x+\theta\tau)^2\exp\left(-\displaystyle{\frac{x^2}{2\tau}}\right)}\\
=&\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi\tau}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\displaystyle{\frac{(x+\theta\tau)^2}{2}}\right)(x+\theta\tau)^2\exp\left(-\displaystyle{\frac{x^2}{2\tau}}\right)}\\
=&\tau=t-s
\end{aligned}

  • 性質4:


\begin{aligned}
&E\left[\exp Q(t)\tilde{Z}(t)|Q(s)\tilde{Z}(s)\right]\\
=&E\left[\exp\left(Q(t)-Q(s)\right)\exp Q(s)\left\{\tilde{Z}(t)-\tilde{Z}(s)+\tilde{Z}(s)\right\}|Q(s)\tilde{Z}(s)\right]\\
=&E\left[\exp(Q(t)-Q(s))\{\tilde{Z}(t)-\tilde{Z}(s)\}\right]\exp Q(s)\\
&+E\left[\exp(Q(t)-Q(s) )\right]\exp Q(s)\tilde{Z}(s)\\
\end{aligned}

 ここで性質3より


\begin{aligned}
&E\left[\exp Q(t)\tilde{Z}(t)|Q(s)\tilde{Z}(s)\right]=\exp Q(s)\tilde{Z}(s)
\end{aligned}

を得る。

  • 性質5:

 A\in\mathcal{F}_s,s\lt tに対して


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{A}\tilde{Z}(t)d\tilde{P}}&=\displaystyle{\int_{A}\tilde{Z}(t)\exp Q(t)dP}\\
&=\displaystyle{\int_{A}\tilde{Z}(s)\exp Q(T)dP}\\
&=\displaystyle{\int_{A}\tilde{Z}(s)d\tilde{P}}
\end{aligned}

  • 性質6:

 s\lt tに対して


\begin{aligned}
&E\left[\tilde{Z}(t)^2-t|Z(s)\right]\\
=&E\left[\exp Q(T)(\tilde{Z}(t)^2-t)|Z(s)\right]\\
=&E\left[\exp(Q(t)-Q(s) )\exp Q(s) \right.\\
&\left.\times \left\{ (\tilde{Z}(t)-\tilde{Z}(s) )^2+2(\tilde{Z}(t)-\tilde{Z}(s) )\tilde{Z}(s)-(t-s)+\tilde{Z}(s)^2-s\right\}|Z(s)\right]\\
=&\exp Q(s) (t-s)-\exp Q(s)(t-s)+\exp Q(s)(\tilde{Z}(s)^2-s)\\
=&E\left[\exp Q(T)|Z(s)\right](\tilde{Z}(s)^2-s)
\end{aligned}

 A\in\mathcal{F}_sに対して


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{A}\left(\tilde{Z}(t)^2-t\right)\exp Q(T)}dP&=\displaystyle{\int_{A}\left(\tilde{Z}(s)^2-s\right)\exp Q(s)}dP\\
&=\displaystyle{\int_{A}\left(\tilde{Z}(s)^2-s\right)\exp Q(T)}dP
\end{aligned}

を得る。

  • 性質7:

 確率測度\tilde{P}に関する期待値を\tilde{E}[\cdot]で表すと、i=\sqrt{-1}として


\begin{aligned}
\tilde{E}[\exp(iu\tilde{Z}(t) )]&=E[\exp Q(T)\exp\left\{iu(Z(t)+\theta t)\right\}]\\
&=E[\exp Q(t)\exp\left\{iu(Z(t)+\theta t)\right\}]\\
&=\exp\left(iu\theta t-\displaystyle{\frac{\theta^2}{2}t}\right)E[\exp\{(iu-\theta)Z(t)\}]\\
&=\exp\left(iu\theta t-\displaystyle{\frac{\theta^2}{2}t}\right)
\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\{(iu-\theta)x\}}\exp\left(-\displaystyle{\frac{x^2}{2t}}\right)dx\\
&=\exp\left(-\displaystyle{\frac{u^2t}{2}}\right)
\end{aligned}

を得る。\tilde{Z}(t)\tilde{P}の下で平均0,分散t正規分布に従う。 \blacksquare)

7.4.2 マルチンゲールファイナンス

 前節で示した指数\mathrm{Brown}運動の性質がリスク証券の評価にどのように使用されるかを無リスク証券による割引について説明する。リスク証券の価格X(t)が幾何\mathrm{Brown}運動


\begin{aligned}
dX(t)=\mu X(t)dt+\sigma X(t)dZ(t)
\end{aligned}

に従うとすれば、F=\log X(t)とおいて伊藤の微分


\begin{aligned}
dF=\left(\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial t}}+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}f+\frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial x^2}g^2\right)dt+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}g dZ(t)
\end{aligned}

を適用すれば、F_x=\displaystyle{\frac{1}{x}},F_{xx}=-\displaystyle{\frac{1}{x^2}},F_t=0に注意して


\begin{aligned}
d\log X(t)=&\left(\displaystyle{\frac{\partial\log X(t)}{\partial t}}+\displaystyle{\frac{\partial\log X(t)}{\partial x}}\mu X(t)+
\displaystyle{\frac{1}{2}\frac{\partial^2\log X(t)}{\partial x^2}\sigma^2{X(t)}^2}
\right)dt\\
&+\displaystyle{\frac{\partial \log X(t)}{\partial x}}\sigma X(t) dZ(t)\\
=&\left(\mu-\displaystyle{\frac{\sigma^2}{2}}\right)dt+\sigma dZ(t)\\
\end{aligned}

であるから


\begin{aligned}
&\displaystyle{\int_{0}^{t}d\log X(s)}=\left(\mu-\displaystyle{\frac{\sigma^2}{2}}\right)\displaystyle{\int_{0}^{t}ds}+\sigma \displaystyle{\int_{0}^{t}dZ(s)}\\
\Leftrightarrow\ &\log X(t)-\log X(0)=\left(\mu-\displaystyle{\frac{\sigma^2}{2}}\right)t+\sigma Z(t)\\
\Leftrightarrow\ &X(t)=X(0)\exp\left\{\left(\mu-\displaystyle{\frac{\sigma^2}{2}}\right)t+\sigma Z(t)\right\}
\end{aligned}

を得る。無リスク資産の価格B(t)dB=-r B(t)dtに従うとすれば、リスク証券の割引価格はB(t)X(t)=e^{-rt}X(t)であるから


\begin{aligned}
d(B(t)X(t) )&=X(t)dB(t)+B(t)dX(t)\\
&=-rB(t)X(t)dt+B(t)\left(\mu X(t)dt+\sigma X(t)dZ(t)\right)\\
&=B(t)X(t)\{(\mu-r)dt+ dt+\sigma dZ(t)\}\\
&=\sigma B(t)X(t)\left(\displaystyle{\frac{\mu-r}{\sigma}}dt+dZ(t)\right)
\end{aligned}

である。ここで\theta=\displaystyle{\frac{\mu-r}{\sigma}}とおき、\tilde{Z}(t)=Z(t)+\theta tとおけば


\begin{aligned}
d(B(t)X(t) )=\sigma B(t)X(t)d\tilde{Z}(t)
\end{aligned}

を得る。d\tilde{P}=\exp Q(T) dP,\ Q(t)=-\left(\theta Z(t)+\displaystyle{\frac{\theta^2}{2}t}\right)とおけば、B(t)X(t)は性質5より、\tilde{P}の下で\mathrm{martingale}となる。この\tilde{P}をリスク中立確率という。
このとき


\begin{aligned}
B(t)X(t)=X(0)\exp\left\{\sigma\tilde{Z}(T)-\displaystyle{\frac{1}{2}}\sigma^2t\right\}
\end{aligned}

であるから、X(t)\tilde{Z}(t)で表現すれば


\begin{aligned}
dX(t)=rX(t)dt+\sigma X(t)d\tilde{Z}(t)
\end{aligned}

を得る。リスク資産u(t)単位および無リスク資産1-u(t)単位からなるポートフォリオY(t)についても、Y(t)=u(t)X(t)+(1-u(t) )B(t)とおけば


\begin{aligned}
d(B(t)Y(t) )&=-rB(t)Y(t)dt+B(t)dY(t)\\
&=-rB(t)Y(t)dt+B(t)\left(u dX(t)+(1-u)dB\right)\\
&=-rB(t)Y(t)dt+uB(t)dX(t)+(1-u)B(t)dB\\
&=-rB(t)Y(t)dt+uB(t)dX(t)+(Y(t)-uX(t) )dB\\
&=-rB(t)Y(t)dt+uB(t)dX(t)+rB(t)(Y(t)-uX(t) )dt\\
&=B(t)\left\{-rY(t)dt+udX(t)+r(Y(t)-uX(t) )dt\right\}\\
&=uB(t)\left(dX(t)-rX(t)dt\right)\\
&=uB(t)\left\{rX(t)dt+\sigma X(t)d\tilde{Z}(t)-rX(t)dt\right\}\\
&=u\sigma B(t)X(t)d\tilde{Z}(t)
\end{aligned}

を得る。したがってB(t)Y(t)\tilde{P}の下で\mathrm{martingale}である。すなわち


\begin{aligned}
B(t)Y(t)=\tilde{E}[B(T)Y(T)|\tilde{Z}(t)]
\end{aligned}

が成り立つ。



任意抽出定理 確率過程\{X(t);t\geq0\}が劣\mathrm{martingale}であるとき

\begin{aligned}
\displaystyle{\sup_{t\leq T}E[X(t)]}=E[X(T)]
\end{aligned}

である。

 任意抽出定理を用いるとアメリカン・コール・オプションについて有用な結果を得られる。X(t)が幾何\mathrm{Brown}運動に従うと仮定すれば、確率過程Y(t)=e^{-rt}(X(t)-K),K\gt0は劣\mathrm{martingale}である。すなわちs\lt tに対して


\begin{aligned}
\tilde{E}[Y(t)|X(s)]\geq Y(s)
\end{aligned}

が成り立つ。Z(t)=\displaystyle{e^{-rt}\max\{X(t)-K,0\}}とすればZ(t)Xに関する凸関数であるから、\mathrm{Jensen}の不等式より、Z(t)もまた劣\mathrm{martingale}である。したがってアメリカン・コール・オプションの価格V_{\mathrm{ac}}は任意抽出定理より


\begin{aligned}
V_{\mathrm{ac}}=\displaystyle{\sup_{0\leq t\leq T}E[e^{-rt}\max\{X(t)-K,0\}]}=e^{-rT}\max\{X(T)-K,0\}
\end{aligned}

を得、これはヨーロピアン・コール・オプションの価格付けに帰着できる。

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