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一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。目下、データ分析・語学に力点を置いています。今月(2022年10月)からは多忙につき、日々の投稿数を減らします。

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ファイナンスのための確率過程を丁寧に(04/X)

 ファイナンスのために基礎から

を基に確率過程を学んでいきます。

5. ブラウン運動マルチンゲール

5.1 ブラウン運動の定義と基本的性質

 時間間隔\Delta tおよび空間間隔\sqrt{\Delta t}の1次元対称ランダムウォークZ_t^{\Delta t}とは


\begin{aligned}
Z_t^{\Delta t}=\sqrt{\Delta t}(\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_{\frac{t}{\Delta t}})
\end{aligned}

で定義される。ここで\xi_1,\cdots,\xi_i,\cdotsは互いに独立かつ同一分布に従い、\{-1,1\}を取る確率変数であり、


\begin{aligned}
P\left(\xi_i=1\right)=P\left(\xi_i=-1\right)=\displaystyle{\frac{1}{2}}
\end{aligned}

とする。このとき


\begin{aligned}
E[Z_t^{\Delta t}]&=E\left[\sqrt{\Delta t}(\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_{\frac{t}{\Delta t}})\right]=\sqrt{\Delta t}\displaystyle{\sum_{i=1}^{\frac{t}{\Delta t}}E[\xi_i]}=0,\\
V[Z_t^{\Delta t}]&=V\left[\sqrt{\Delta t}(\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_{\frac{t}{\Delta t}})\right]=\Delta t\displaystyle{\sum_{i=1}^{\frac{t}{\Delta t}}V[\xi_i]}=\Delta t\cdot\displaystyle{\frac{t}{\Delta t}}=t
\end{aligned}

である。



\mathrm{Brown}運動 1次元対称ランダムウォークZ_t^{\Delta t}について\Delta t\rightarrow0としたものを1次元\mathrm{Brown}運動W_tと定義する。
 W_t中心極限定理から


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{Z_t^{\Delta t}-E\left[Z_t^{\Delta t}\right]}{\sqrt{V[Z_t^{\Delta t}]}}}=\displaystyle{\frac{Z_t^{\Delta t}}{\sqrt{t}}}\stackrel{d}{\to}\Phi(x)(\Delta t\rightarrow0),
\end{aligned}

であるから、W_t\sim N(0,t)である。
 すべての0\leq t_1\lt t_2\lt\cdots\lt t_nに対する有限次元分布(W_{t_1},W_{t_2},\cdots,W_{t_n})は、0\lt t_1\lt t_2に対して


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{Z_{t_1}^{\Delta t}-E\left[Z_{t_1}^{\Delta t}\right]}{\sqrt{V[Z_{t_1}^{\Delta t}]}}}&=\displaystyle{\frac{Z_{t_1}^{\Delta t}}{\sqrt{t_1}}}\stackrel{d}{\to}\Phi(x)(\Delta t\rightarrow0),\\
\displaystyle{\frac{(Z_{t_2}^{\Delta t}-Z_{t_1}^{\Delta t})-E\left[Z_{t_2}^{\Delta t}-Z_{t_1}^{\Delta t}\right]}{\sqrt{V[Z_{t_2}^{\Delta t}-Z_{t_1}^{\Delta t}]}}}&=\displaystyle{\frac{Z_{t_2}^{\Delta t}-Z_{t_1}^{\Delta t}}{\sqrt{t_2-t_1}}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{\Delta t}}{\sqrt{t_2-t_1}}\sum_{i=\frac{t_1}{\Delta t}+1}^{\frac{t_2}{\Delta t}}\xi_i}\stackrel{d}{\to}\Phi(x)(\Delta t\rightarrow0)
\end{aligned}

またこれらの左辺は独立であるから、右辺もまた独立である。これは時点が増えても同様のことが成り立つ。



\mathrm{Brown}運動の基本的性質 \mathrm{Brown}運動W_tについて以下が成り立つ。

  • W_0=0
  • W_t\sim N(0,t)
  • 0\lt t_1\lt t_2\lt\cdots\lt t_nに対してW_{t_1},W_{t_2}-W_{t_1},\cdots,W_{t_n}-W_{t_{n-1}}は独立かつW_{t_i}-W_{t_{i-1}}\sim N(0,t_i-t_{i-1})が成り立つ。
  • 写像t\mapsto W_tは連続かつ至るところで微分不可能である。

例:W_t, 0\lt t\lt Tブラウン運動とする。このとき、

  • W_t\sim N(0,t)であるから
    \begin{aligned}E\left[W_t\right]=0\end{aligned}
    である。
  • W_t\sim N(0,t)であるから
    \begin{aligned}V\left[W_t\right]=t\end{aligned}
    である。
  • W_t\sim N(0,t)であるから
    \begin{aligned}E\left[W_t^3\right]=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}x^3\frac{1}{\sqrt{2\pi }T}\exp\left(-\frac{x^2}{2T}\right)dx}=0\end{aligned}
    である(被積分関数は奇関数である。)。
  • W_t\sim N(0,t)であるから
    \begin{aligned}E\left[W_tW_T\right]&=E\left[W_t(W_T-W_t)+W_t^2\right]\\&=E\left[W_t\right]E\left[(W_T-W_t)\right]+E\left[W_t^2\right]\\&=V\left[W_t\right]+\left(E\left[W_t\right]\right)^2\\&=t\end{aligned}
    である。
  • W_t\sim N(0,t)であるから
    \begin{aligned}E\left[e^{\alpha W_t+\beta W_T}\right]&=E\left[\exp\left\{\beta(W_T-W_t)+(\alpha+\beta)W_t\right\}\right]\\&=E\left[e^{\beta(W_T-W_t)}\right]+E\left[e^{(\alpha+\beta)W_t}\right]\\&=e^{\frac{\beta^2}{2}(T-t)}+e^{\frac{(\alpha+\beta)^2}{2}t}\end{aligned}
  • W_t\sim N(0,t)より
    \begin{aligned}f_{(W_T,W_t)}(x,y)&=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{y^2}{2t}}\frac{1}{\sqrt{2\pi(T-t)}}e^{-\frac{(x-y)^2}{\sqrt{2\pi(T-t)}}}}\end{aligned}
    である。したがって
    \begin{aligned}f_{W_T|W_t}(x|y)&=\displaystyle{\frac{f_{(W_T,W_t)}(x,y)}{f_{W_t}(y)}}\\&=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi(T-t)}}e^{-\frac{(x-y)^2}{2(T-t)}}}\end{aligned}

5.2 ブラウン運動に関するマルチンゲールと確率積分

5.2.1 マルチンゲールと確率積分の定義



マルチンゲール 確率過程M_tブラウン運動W_tに関してマルチンゲールであるとは、M_tW_s(s\leq t)の関数で、{}^{\forall}t\gt uについてs\leq uを取ると、


\begin{aligned}
E\left[M_t\left|\right.W_s(s\leq t)\right]=M_u
\end{aligned}

が成り立つことをいう。E\left[M_t\left|\right.W_s(s\leq t)\right]E\left[M_t\left|\right.\mathcal{F}_u\right]とも書く。



マルチンゲールの性質 確率過程M_tブラウン運動W_tに関してマルチンゲールならば、t\gt uに対して


\begin{aligned}
E\left[M_t\right]=E\left[M_u\right]
\end{aligned}

が成り立つ。

(\because 実際に計算すると、
\begin{aligned}(左辺)=E\left[M_t\left|\right.\mathcal{F}_u\right]=(右辺)\end{aligned}
である。 \blacksquare)

マルチンゲールであることの証明


\begin{aligned}
E\left[W_T^2|\mathcal{F}_t\right]&=\left[(W_T-W_t+W_t)^2|\mathcal{F}_t\right]\\
&=W_t^2+2E\left[(W_T-W_t)W_t|\mathcal{F}_t\right]+E\left[(W_T-W_t)^2|\mathcal{F}_t\right]\\
&=W_t^2+2W_tE\left[(W_T-W_t)|\mathcal{F}_t\right]+E\left[(W_T-W_t)^2|\mathcal{F}_t\right]\\
&=W_t^2+T-t
\end{aligned}



確率積分 f(s)\mathrm{Brown}運動W_u,u\leq sの関数とし、0=t_0\leqt_0\lt t_1\lt\cdots\lt t_n=t,\Delta t=\displaystyle{\max_{i}(t_i-t_{i-1})}とおく。このとき、


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{0}^{t}f(s)dW_s}=\displaystyle{\lim_{\Delta t\rightarrow0}\sum_{i=1}^{n}f(t_{i-1})(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}) }
\end{aligned}

において右辺の極限が存在するとき、左辺をfの確率積分と呼ぶ。

 なおE\left[\displaystyle{\int_{0}^{t}f(s)^2 ds}\right]\lt\inftyであるとき、右辺が存在することが知られている。

5.2.2 確率積分の直感的理解



\mathrm{Brown}運動に無関係な関数の確率積分 関数f(s)\mathrm{Brown}運動W_u,u\leq sに無関係でsのみの関数であるとき、積分\displaystyle{\int_0^t f(s)dW_s}の分布は平均が0で分散が\displaystyle{\int_0^{t}f^2(s)ds}正規分布である。
(\because モーメント母関数を計算すると、


\begin{aligned}
M_{\int_0^t f(s)dW_s}(u)&=E\left[\exp\left(u\displaystyle{\int_0^{t}f(s) dW_s}\right)\right]\\
&=E\left[\displaystyle{\exp\left(u\lim_{\Delta t\rightarrow0}\sum_{i=1}^{n}f(t_{i-1})(W_{t_i}-W_{t_{i-1}})\right)}\right]\\
&=\displaystyle{\lim_{\Delta t\rightarrow0}\prod_{i=1}^{n}E\left[\exp\left(uf(t_{i-1})(W_{t_i}-W_{t_{i-1}})\right)\right]}\\
&=\displaystyle{\lim_{\Delta t\rightarrow0}\prod_{i=1}^{n}\exp\left\{\frac{u^2}{2}\left(f(t_{i-1})\right)^2(t_i-t_{i-1})\right\}}\\
&=\displaystyle{\exp\left(\frac{u^2}{2}\int_0^t f(s)^2 ds\right)}
\end{aligned}

である。正規分布のモーメント母関数を想起すれば、これは積分\displaystyle{\int_0^t f(s)dW_s}の分布は平均が0で分散が\displaystyle{\int_0^{t}f^2(s)ds}正規分布であることに他ならない。 \blacksquare)

 また


\begin{aligned}
\mathrm{Cov}\left[\displaystyle{\int_0^t f(s) dW_s},\displaystyle{\int_0^t g(s) dW_s}\right]=\displaystyle{\int_0^t f(s)g(s)ds}
\end{aligned}

が成り立つ。

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