ファイナンスのための確率過程を丁寧に(04/X) - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

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を基に確率過程を学んでいきます。

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5.　ブラウン運動とマルチンゲール
- 5.1　ブラウン運動の定義と基本的性質
- 5.2　ブラウン運動に関するマルチンゲールと確率積分
  - 5.2.1　マルチンゲールと確率積分の定義
  - 5.2.2　確率積分の直感的理解

5.　ブラウン運動とマルチンゲール

5.1　ブラウン運動の定義と基本的性質

　時間間隔 $\Delta t$ および空間間隔 $\sqrt{\Delta t}$ の1次元対称ランダムウォーク $Z_t^{\Delta t}$ とは

$\begin{aligned} Z_t^{\Delta t}=\sqrt{\Delta t}(\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_{\frac{t}{\Delta t}}) \end{aligned}$

で定義される。ここで $\xi_1,\cdots,\xi_i,\cdots$ は互いに独立かつ同一分布に従い、 $\{-1,1\}$ を取る確率変数であり、

$\begin{aligned} P\left(\xi_i=1\right)=P\left(\xi_i=-1\right)=\displaystyle{\frac{1}{2}} \end{aligned}$

とする。このとき

$\begin{aligned} E[Z_t^{\Delta t}]&=E\left[\sqrt{\Delta t}(\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_{\frac{t}{\Delta t}})\right]=\sqrt{\Delta t}\displaystyle{\sum_{i=1}^{\frac{t}{\Delta t}}E[\xi_i]}=0,\\ V[Z_t^{\Delta t}]&=V\left[\sqrt{\Delta t}(\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_{\frac{t}{\Delta t}})\right]=\Delta t\displaystyle{\sum_{i=1}^{\frac{t}{\Delta t}}V[\xi_i]}=\Delta t\cdot\displaystyle{\frac{t}{\Delta t}}=t \end{aligned}$

である。

$\mathrm{Brown}$ 運動　1次元対称ランダムウォーク $Z_t^{\Delta t}$ について $\Delta t\rightarrow0$ としたものを $1$ 次元 $\mathrm{Brown}$ 運動 $W_t$ と定義する。

　 $W_t$ は中心極限定理から

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{Z_t^{\Delta t}-E\left[Z_t^{\Delta t}\right]}{\sqrt{V[Z_t^{\Delta t}]}}}=\displaystyle{\frac{Z_t^{\Delta t}}{\sqrt{t}}}\stackrel{d}{\to}\Phi(x)(\Delta t\rightarrow0), \end{aligned}$

であるから、 $W_t\sim N(0,t)$ である。
　すべての $0\leq t_1\lt t_2\lt\cdots\lt t_n$ に対する有限次元分布 $(W_{t_1},W_{t_2},\cdots,W_{t_n})$ は、 $0\lt t_1\lt t_2$ に対して

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{Z_{t_1}^{\Delta t}-E\left[Z_{t_1}^{\Delta t}\right]}{\sqrt{V[Z_{t_1}^{\Delta t}]}}}&=\displaystyle{\frac{Z_{t_1}^{\Delta t}}{\sqrt{t_1}}}\stackrel{d}{\to}\Phi(x)(\Delta t\rightarrow0),\\ \displaystyle{\frac{(Z_{t_2}^{\Delta t}-Z_{t_1}^{\Delta t})-E\left[Z_{t_2}^{\Delta t}-Z_{t_1}^{\Delta t}\right]}{\sqrt{V[Z_{t_2}^{\Delta t}-Z_{t_1}^{\Delta t}]}}}&=\displaystyle{\frac{Z_{t_2}^{\Delta t}-Z_{t_1}^{\Delta t}}{\sqrt{t_2-t_1}}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{\Delta t}}{\sqrt{t_2-t_1}}\sum_{i=\frac{t_1}{\Delta t}+1}^{\frac{t_2}{\Delta t}}\xi_i}\stackrel{d}{\to}\Phi(x)(\Delta t\rightarrow0) \end{aligned}$

またこれらの左辺は独立であるから、右辺もまた独立である。これは時点が増えても同様のことが成り立つ。

$\mathrm{Brown}$ 運動の基本的性質　 $\mathrm{Brown}$ 運動 $W_t$ について以下が成り立つ。

$W_0=0$
$W_t\sim N(0,t)$
$0\lt t_1\lt t_2\lt\cdots\lt t_n$ に対して $W_{t_1},W_{t_2}-W_{t_1},\cdots,W_{t_n}-W_{t_{n-1}}$ は独立かつ $W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\sim N(0,t_i-t_{i-1})$ が成り立つ。
写像 $t\mapsto W_t$ は連続かつ至るところで微分不可能である。

例： $W_t, 0\lt t\lt T$ をブラウン運動とする。このとき、

$W_t\sim N(0,t)$ であるから
$\begin{aligned}E\left[W_t\right]=0\end{aligned}$
である。

$W_t\sim N(0,t)$ であるから
$\begin{aligned}V\left[W_t\right]=t\end{aligned}$
である。

$W_t\sim N(0,t)$ であるから
$\begin{aligned}E\left[W_t^3\right]=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}x^3\frac{1}{\sqrt{2\pi }T}\exp\left(-\frac{x^2}{2T}\right)dx}=0\end{aligned}$
である(被積分関数は奇関数である。)。

$W_t\sim N(0,t)$ であるから
$\begin{aligned}E\left[W_tW_T\right]&=E\left[W_t(W_T-W_t)+W_t^2\right]\\&=E\left[W_t\right]E\left[(W_T-W_t)\right]+E\left[W_t^2\right]\\&=V\left[W_t\right]+\left(E\left[W_t\right]\right)^2\\&=t\end{aligned}$
である。

$W_t\sim N(0,t)$ であるから
$\begin{aligned}E\left[e^{\alpha W_t+\beta W_T}\right]&=E\left[\exp\left\{\beta(W_T-W_t)+(\alpha+\beta)W_t\right\}\right]\\&=E\left[e^{\beta(W_T-W_t)}\right]+E\left[e^{(\alpha+\beta)W_t}\right]\\&=e^{\frac{\beta^2}{2}(T-t)}+e^{\frac{(\alpha+\beta)^2}{2}t}\end{aligned}$

$W_t\sim N(0,t)$ より
$\begin{aligned}f_{(W_T,W_t)}(x,y)&=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{y^2}{2t}}\frac{1}{\sqrt{2\pi(T-t)}}e^{-\frac{(x-y)^2}{\sqrt{2\pi(T-t)}}}}\end{aligned}$
である。したがって
$\begin{aligned}f_{W_T|W_t}(x|y)&=\displaystyle{\frac{f_{(W_T,W_t)}(x,y)}{f_{W_t}(y)}}\\&=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi(T-t)}}e^{-\frac{(x-y)^2}{2(T-t)}}}\end{aligned}$

5.2　ブラウン運動に関するマルチンゲールと確率積分

5.2.1　マルチンゲールと確率積分の定義

マルチンゲール　確率過程 $M_t$ がブラウン運動 $W_t$ に関してマルチンゲールであるとは、 $M_t$ が $W_s(s\leq t)$ の関数で、 ${}^{\forall}t\gt u$ について $s\leq u$ を取ると、

$\begin{aligned} E\left[M_t\left|\right.W_s(s\leq t)\right]=M_u \end{aligned}$

が成り立つことをいう。 $E\left[M_t\left|\right.W_s(s\leq t)\right]$ は $E\left[M_t\left|\right.\mathcal{F}_u\right]$ とも書く。

マルチンゲールの性質　確率過程 $M_t$ がブラウン運動 $W_t$ に関してマルチンゲールならば、 $t\gt u$ に対して

$\begin{aligned} E\left[M_t\right]=E\left[M_u\right] \end{aligned}$

が成り立つ。

( $\because$ 　実際に計算すると、

$\begin{aligned}(左辺)=E\left[M_t\left|\right.\mathcal{F}_u\right]=(右辺)\end{aligned}$

である。　 $\blacksquare$ )

例：マルチンゲールであることの証明

ブラウン運動 $W_t$ が $\mathcal{F}_t$ -マルチンゲールであることを示せ
　 $u\gt0$ を取り ${}^{\forall}t\gt u$ に対して
$\begin{aligned}E\left[W_t\left|\right.\mathcal{F}_u\right]&=E\left[W_u+W_t-W_u\left|\right.\mathcal{F}_u\right]\\&=E\left[W_u\left|\right.\mathcal{F}_u\right]+E\left[W_t-W_u\left|\right.\mathcal{F}_u\right]\\&=W_u+E\left[W_t-W_u\right]\\&=W_u\end{aligned}$
が成り立つ。

ブラウン運動 $W_t$ に対して、 $T\gt t$ として $E\left[W_T^2|\mathcal{F}_t\right]$ を計算せよ
　

$\begin{aligned} E\left[W_T^2|\mathcal{F}_t\right]&=\left[(W_T-W_t+W_t)^2|\mathcal{F}_t\right]\\ &=W_t^2+2E\left[(W_T-W_t)W_t|\mathcal{F}_t\right]+E\left[(W_T-W_t)^2|\mathcal{F}_t\right]\\ &=W_t^2+2W_tE\left[(W_T-W_t)|\mathcal{F}_t\right]+E\left[(W_T-W_t)^2|\mathcal{F}_t\right]\\ &=W_t^2+T-t \end{aligned}$

確率積分　 $f(s)$ を $\mathrm{Brown}$ 運動 $W_u,u\leq s$ の関数とし、 $0=t_0\leq$ $t_0\lt t_1$ $\lt\cdots$ $\lt t_n$ $=t,$ $\Delta t=$ $\displaystyle{\max_{i}(t_i-t_{i-1})}$ とおく。このとき、

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{0}^{t}f(s)dW_s}=\displaystyle{\lim_{\Delta t\rightarrow0}\sum_{i=1}^{n}f(t_{i-1})(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}) } \end{aligned}$

において右辺の極限が存在するとき、左辺を $f$ の確率積分と呼ぶ。

　なお $E\left[\displaystyle{\int_{0}^{t}f(s)^2 ds}\right]\lt\infty$ であるとき、右辺が存在することが知られている。

5.2.2　確率積分の直感的理解

$\mathrm{Brown}$ 運動に無関係な関数の確率積分　関数 $f(s)$ が $\mathrm{Brown}$ 運動 $W_u,u\leq s$ に無関係で $s$ のみの関数であるとき、積分 $\displaystyle{\int_0^t f(s)dW_s}$ の分布は平均が $0$ で分散が $\displaystyle{\int_0^{t}f^2(s)ds}$ の正規分布である。

( $\because$ 　モーメント母関数を計算すると、

$\begin{aligned} M_{\int_0^t f(s)dW_s}(u)&=E\left[\exp\left(u\displaystyle{\int_0^{t}f(s) dW_s}\right)\right]\\ &=E\left[\displaystyle{\exp\left(u\lim_{\Delta t\rightarrow0}\sum_{i=1}^{n}f(t_{i-1})(W_{t_i}-W_{t_{i-1}})\right)}\right]\\ &=\displaystyle{\lim_{\Delta t\rightarrow0}\prod_{i=1}^{n}E\left[\exp\left(uf(t_{i-1})(W_{t_i}-W_{t_{i-1}})\right)\right]}\\ &=\displaystyle{\lim_{\Delta t\rightarrow0}\prod_{i=1}^{n}\exp\left\{\frac{u^2}{2}\left(f(t_{i-1})\right)^2(t_i-t_{i-1})\right\}}\\ &=\displaystyle{\exp\left(\frac{u^2}{2}\int_0^t f(s)^2 ds\right)} \end{aligned}$

である。正規分布のモーメント母関数を想起すれば、これは積分 $\displaystyle{\int_0^t f(s)dW_s}$ の分布は平均が $0$ で分散が $\displaystyle{\int_0^{t}f^2(s)ds}$ の正規分布であることに他ならない。　 $\blacksquare$ )

　また

$\begin{aligned} \mathrm{Cov}\left[\displaystyle{\int_0^t f(s) dW_s},\displaystyle{\int_0^t g(s) dW_s}\right]=\displaystyle{\int_0^t f(s)g(s)ds} \end{aligned}$

が成り立つ。

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5.1 ブラウン運動の定義と基本的性質

5.2 ブラウン運動に関するマルチンゲールと確率積分

5.2.1 マルチンゲールと確率積分の定義

5.2.2 確率積分の直感的理解

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