10. ベクトル解析
本節ではベクトル値写像を扱う。
10.3 曲面の曲面積と関数の線積分・面積分
10.3.3 ベクトル値関数の線積分・面積分
として
を曲線とし、
上の点
に対して単位接ベクトル
を
が連続となるように選ぶ。このとき
の近傍で与えられたベクトル値関数
に対して積分
を計算する。
写像により
とパラメータ表示できるものと仮定する。このとき
は
でない接ベクトルであるから、
が成り立つ。これを踏まえて計算すれば
が得られる。したがってのパラメータ付け
の向きと
の方向が一致する場合、
が成り立つ。
計算例
とし、
を
の外周とする。
上の単位ベクトルを2次元座標平面上で以下の図のように取る。
このときに
に対して
を求める。
まずが
と書けることから、
である。
次にについて、4つの部分
に分ける。これらをそれぞれ
とパラメータ表示できることから、
である。
次に面積分を考える。において表裏を考えられる有界な曲面
上での積分を考える。
上の表向きの単位法ベクトルを
とし、これを正の向きの単位法ベクトルと呼ぶ。
の近傍において定義された
値関数
に対して積分
を計算したい。
を有界閉領域とし
により
とパラメータ表示されているものとする。
は
の法ベクトルであるから、
が成り立つ。したがって
が成り立ち、また実数値関数に対して
も成立する。符号はと
が同じ向きを持つとき、正となる。このとき
はの正のパラメータ付けという。
計算例
を円柱
の側面だとし、その単位法ベクトルを外向きに取る。
とするとき
を考える。
は
とおけば、
での
の外向き単位法ベクトルは
で与えられる。
と
と同じ方向を持つから、
である。