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やりなおしの数学・微分積分篇(58/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • ベクトル値関数の線積分・面積分を定義し、実際に計算してみる。

10. ベクトル解析

 本節ではベクトル値写像を扱う。

10.3 曲面の曲面積と関数の線積分・面積分

10.3.3 ベクトル値関数の線積分・面積分

 ベクトル値関数\boldsymbol{V}(\boldsymbol{x})における線積分および面積分を扱う。

 n=2,3としてC\subset\mathbb{R}^nを曲線とし、C上の点\boldsymbol{p}に対して単位接ベクトル\boldsymbol{t}=\boldsymbol{t}(\boldsymbol{p})\boldsymbol{p}\mapsto\boldsymbol{t}(\boldsymbol{p})が連続となるように選ぶ。このときCの近傍で与えられたベクトル値関数\boldsymbol{V}(\boldsymbol{x})に対して積分\displaystyle{\int_C(\boldsymbol{V},\boldsymbol{t})}dlを計算する。
 写像\boldsymbol{\gamma}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^nによりC=\{\boldsymbol{\gamma}(\tau)|\tau\in[a,b]\}とパラメータ表示できるものと仮定する。このとき\boldsymbol{\gamma}^{\prime}\boldsymbol{0}でない接ベクトルであるから、



\begin{aligned}
\boldsymbol{t}=\pm\displaystyle{\frac{\boldsymbol{\gamma}^{\prime}}{|\boldsymbol{\gamma}^{\prime}|}}
\end{aligned}


が成り立つ。これを踏まえて計算すれば



\begin{aligned}
\displaystyle{\int_C(\boldsymbol{V},\boldsymbol{t})}dl&=\displaystyle{\int_a^b\left(\boldsymbol{V}(\boldsymbol{\gamma}(\tau),\pm\displaystyle{\frac{\boldsymbol{\gamma}^{\prime}}{|\boldsymbol{\gamma}^{\prime}|}}\right)\left|\boldsymbol{\gamma}^{\prime}\right|d\tau}\\
&=\pm\displaystyle{\int_a^b\left(\boldsymbol{V}(\boldsymbol{\gamma}(\tau),\boldsymbol{\gamma}^{\prime}\right)d\tau}
\end{aligned}


が得られる。したがってCのパラメータ付け\displaystyle{\gamma}^{\prime}の向きと\boldsymbol{t}の方向が一致する場合、



\begin{aligned}
\displaystyle{\int_C(\boldsymbol{V},\boldsymbol{t})}dl=\displaystyle{\int_a^b\left(\boldsymbol{V}(\boldsymbol{\gamma}(\tau),\boldsymbol{\gamma}^{\prime}\right)d\tau}=\displaystyle{\int_a^b \sum_{i=1}^{n}V_i(\boldsymbol{\gamma}(\tau))\gamma_i^{\prime}} d\tau
\end{aligned}


が成り立つ。

計算例
 C_1=\{(x,y)|x^2+y^2=1\}とし、C_2[0,1]\times[0,1]の外周とする。C_1,C_2上の単位ベクトルを2次元座標平面上で以下の図のように取る。

このときに\boldsymbol{V}(x,y)=\begin{bmatrix}-y\\x\end{bmatrix}に対して\boldsymbol{\int_{C_i}(\boldsymbol{V},\boldsymbol{t})}dl,i=1,2を求める。
 まずC_1\boldsymbol{\gamma}(\tau)=\begin{bmatrix}\cos\tau\\\sin\tau\end{bmatrix},\tau\in[0,2\pi)と書けることから、



\begin{aligned}
\boldsymbol{\int_{C_1}(\boldsymbol{V},\boldsymbol{t})}dl&=\displaystyle{\int_0^{2\pi}\left\{(-\sin\tau)(\cos\tau)^{\prime}+(\cos\tau)(\sin\tau)^{\prime}\right\}d\tau}\\
&=\displaystyle{\int_0^{2\pi}d\tau}\ (\because\ \cos^2\tau+\sin^2\tau=1)\\
&=2\pi
\end{aligned}


である。
 次にC_2について、4つの部分(0,0)\rightarrow(1,0),(1,0)\rightarrow(1,1),(1,1)\rightarrow(0,1),(0,1)\rightarrow(0,0)に分ける。これらをそれぞれ\tau\mapsto(\tau,0),\tau\mapsto(1,\tau),\tau\mapsto(1-\tau,1),\tau\mapsto(0,1-\tau),0\leq\tau\leq1とパラメータ表示できることから、



\begin{aligned}
\boldsymbol{\int_{C_2}(\boldsymbol{V},\boldsymbol{t})}dl=&\boldsymbol{\int_{0}^{1}\left(\begin{bmatrix}0\\\tau\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\right)}d\tau+\boldsymbol{\int_{0}^{1}\left(\begin{bmatrix}-\tau\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\right)}d\tau\\
&+\boldsymbol{\int_{0}^{1}\left(\begin{bmatrix}-1\\1-\tau\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-1\\0\end{bmatrix}\right)}d\tau+\boldsymbol{\int_{0}^{1}\left(\begin{bmatrix}-(1-\tau)\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}\right)}d\tau\\
=&2\displaystyle{\int_0^1}d\tau\\
=&2
\end{aligned}


である。


 次に面積分を考える。\mathbb{R}^3において表裏を考えられる有界な曲面S\subset\mathbb{R}^3上での積分を考える。S上の表向きの単位法ベクトルを\boldsymbol{n}とし、これを正の向きの単位法ベクトルと呼ぶ。Sの近傍において定義された\mathbb{R}^3値関数\boldsymbol{V}(\boldsymbol{x})に対して積分\boldsymbol{\iint_{S}(\boldsymbol{V},\boldsymbol{n})}d\sigmaを計算したい。
 D\subset\mathbb{R}^2有界閉領域とし\boldsymbol{\gamma}(s,t):D\rightarrow\mathbb{R}^3によりS=\{\boldsymbol{\gamma}(s,t)|(s,t)\in D\}とパラメータ表示されているものとする。\boldsymbol{\gamma}_s\times\boldsymbol{\gamma}_tSの法ベクトルであるから、



\begin{aligned}
\boldsymbol{n}=\pm\displaystyle{\frac{\boldsymbol{\gamma}_s\times\boldsymbol{\gamma}_t}{\left|\boldsymbol{\gamma}_s\times\boldsymbol{\gamma}_t\right|}}
\end{aligned}


が成り立つ。したがって



\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_S (\boldsymbol{V},\boldsymbol{n})}d\sigma&=\displaystyle{\iint_D\left(\boldsymbol{V}(\boldsymbol{\gamma}(s,t)),\pm\displaystyle{\frac{\boldsymbol{\gamma}_s\times\boldsymbol{\gamma}_t}{\left|\boldsymbol{\gamma}_s\times\boldsymbol{\gamma}_t\right|}}\right)}\left|\boldsymbol{\gamma}_s\times\boldsymbol{\gamma}_t\right|dsdt\\
&=\pm\displaystyle{\iint_D\left(\boldsymbol{V}(\boldsymbol{\gamma}(s,t)),\boldsymbol{\gamma}_s\times\boldsymbol{\gamma}_t\right)}dsdt\\
&=\pm\displaystyle{\iint_D\left(V_1(\boldsymbol{\gamma})\displaystyle{\frac{\partial(\gamma_2,\gamma_3)}{\partial(s,t)}}+V_2(\boldsymbol{\gamma})\displaystyle{\frac{\partial(\gamma_3,\gamma_1)}{\partial(s,t)}}+V_3(\boldsymbol{\gamma})\displaystyle{\frac{\partial(\gamma_1,\gamma_2)}{\partial(s,t)}}\right)}dsdt
\end{aligned}


が成り立ち、また実数値関数f(\boldsymbol{x}):D\rightarrow\mathbb{R}に対して



\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_S f(\boldsymbol{x})n_1}d\sigma&=\pm\displaystyle{\iint_D f(\boldsymbol{\gamma})\frac{\partial(\gamma_2,\gamma_3)}{\partial(s,t)}}dsdt,\\
\displaystyle{\iint_S f(\boldsymbol{x})n_2}d\sigma&=\pm\displaystyle{\iint_D f(\boldsymbol{\gamma})\frac{\partial(\gamma_3,\gamma_1)}{\partial(s,t)}}dsdt,\\
\displaystyle{\iint_S f(\boldsymbol{x})n_3}d\sigma&=\pm\displaystyle{\iint_D f(\boldsymbol{\gamma})\frac{\partial(\gamma_1,\gamma_2)}{\partial(s,t)}}dsdt
\end{aligned}


も成立する。符号は\boldsymbol{\gamma}_{s}\times\boldsymbol{\gamma}_{t}\boldsymbol{n}が同じ向きを持つとき、正となる。このとき\boldsymbol{\gamma}(s,t)
Sの正のパラメータ付けという。

計算例
 Sを円柱\mathit{\Omega}=\{(x,y,z)|x^2+y^2\leq1,0\leq z\leq1\}の側面だとし、その単位法ベクトルを外向きに取る。\boldsymbol{V}(x,y,z)=\begin{bmatrix}x\\y\\-z\end{bmatrix}とするとき\displaystyle{\iint_S(\boldsymbol{V},\boldsymbol{n})}d\sigmaを考える。
 S\boldsymbol{\gamma}(\theta,t)=\begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\\t\end{bmatrix},\theta\in[0,2\pi),t\in[0,1]とおけば、\boldsymbol{\gamma}(\theta,t)でのSの外向き単位法ベクトルは\boldsymbol{n}=\begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\\0\end{bmatrix}で与えられる。



\begin{aligned}
\boldsymbol{\gamma}_{\theta}\times\boldsymbol{\gamma}_{t}&=\begin{bmatrix}-\sin\theta\\\cos\theta\\0\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\\0\end{bmatrix}
\end{aligned}


\boldsymbol{n}と同じ方向を持つから、



\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_S(\boldsymbol{V},\boldsymbol{n})}d\sigma&=\displaystyle{\iint_{[0,2\pi]\times[0,1]}(\boldsymbol{V}(\boldsymbol{\gamma}(\theta,t)),\boldsymbol{\gamma}_{\theta}\times\boldsymbol{\gamma}_{t})}d\theta dt\\
&=\displaystyle{\iint_{[0,2\pi]\times[0,1]}\left(\begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\\-2t\end{bmatrix},\begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\\0\end{bmatrix}\right)}d\theta dt\\
&=\displaystyle{\iint_{[0,2\pi]\times[0,1]}}d\theta dt\ (\because\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1)\\
&=\displaystyle{\int_{[0,2\pi]}}d\theta\\
&=2\pi
\end{aligned}


である。

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