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やりなおしの数学・微分積分篇(59/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 実数値関数f:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}に対して勾配
    \begin{aligned}\mathrm{grad}\ f=\begin{bmatrix}\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_1}}(\boldsymbol{x})\\\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_2}}(\boldsymbol{x})\\\vdots\\\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_n}}(\boldsymbol{x})\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^n\end{aligned}
    で定義する。
  • \mathbb{R}^n値関数\boldsymbol{V}:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}^n,\boldsymbol{x}\mapsto\begin{bmatrix}V_1(\boldsymbol{x})\\V_2(\boldsymbol{x})\\\vdots\\V_n(\boldsymbol{x})\end{bmatrix}に対して発散
    \begin{aligned}\mathrm{div}\ \boldsymbol{V}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial V_i}{\partial x_i}}\end{aligned}
    で定義する。
  • ベクトル値関数\boldsymbol{V}:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}^nに対して回転
    \begin{aligned}\mathrm{rot}\ \boldsymbol{V}=\begin{cases}\displaystyle{\frac{\partial V_2}{\partial x}}-\displaystyle{\frac{\partial V_1}{\partial y}},&n=2,\\\begin{bmatrix}\displaystyle{\frac{\partial V_3}{\partial y}}-\displaystyle{\frac{\partial V_2}{\partial z}}\\\displaystyle{\frac{\partial V_1}{\partial z}}-\displaystyle{\frac{\partial V_3}{\partial x}}\\\displaystyle{\frac{\partial V_2}{\partial x}}-\displaystyle{\frac{\partial V_1}{\partial y}}\end{bmatrix},&n=3\end{cases}\end{aligned}
    により定める。
  • \boldsymbol{\mathrm{Green}}の定理: \bar{\mathit{\Omega}}を区分的に滑らかな曲線Cで囲まれた\mathbb{R}^2有界閉領域とする。\bar{\mathit{\Omega}}の近傍の上で定義されたC^1\mathbb{R}^2値関数\boldsymbol{V}(x,y)に対して

    \begin{aligned}\displaystyle{\iint_{\mathit{\Omega}}\mathrm{rot}\ \boldsymbol{V}}dxdy=\displaystyle{\int_C(\boldsymbol{V},\boldsymbol{t})}dl\end{aligned}

    が成り立つ。ここで\boldsymbol{t}Cの単位接ベクトルで、その向きは領域\mathit{\Omega}の内部を左手に見るように選ぶ。

10. ベクトル解析

 本節ではベクトル値写像を扱う。

10.3 曲面の曲面積と関数の線積分・面積分

10.3.3 向き付けられた曲線に沿った線積分

 向き付けられた曲線\vec{C}と関数f(\boldsymbol{x})に対して新たに線積分\displaystyle{\int_{\vec{C}}f}dxを導入する。
 2つある端点のうちどちらが始点でどちらが終点であるかが明確に定まっている曲線を向き付けられた曲線という。向き付けられた曲線\vec{C}に対してはパラメータ付け\boldsymbol{\gamma}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^3\boldsymbol{\gamma}(a)が始点、\boldsymbol{\gamma}(b)が終点となるように必ず選ぶものとする。
 以上の準備の下で、\vec{C}の近傍上で定義された関数f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)に対して線積分


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{\vec{C}}fdx+gdy+hdz}
\end{aligned}


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{\vec{C}}fdx+gdy+hdz}=\displaystyle{\int_a^b\left(f(\boldsymbol{\gamma})\gamma_{1}^{\prime}+g(\boldsymbol{\gamma})\gamma_{2}^{\prime}+h(\boldsymbol{\gamma})\gamma_{3}^{\prime}\right)}d\tau
\end{aligned}

で定義する。

10.4 Gaussの発散定理、Stokesの定理

10.4.1 勾配、発散、回転

 \mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^nを領域とし、f:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R},\mathbb{R}^n値関数\boldsymbol{V}:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}^nに対する様々な微分演算を導入する。
 まず勾配を定義する。実数値関数f:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}に対して勾配を


\begin{aligned}
\mathrm{grad}\ f=\begin{bmatrix}
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_1}}(\boldsymbol{x})\\
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_2}}(\boldsymbol{x})\\
\vdots\\
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_n}}(\boldsymbol{x})
\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^n
\end{aligned}

で定義する。
 次に発散を定義する。\mathbb{R}^n値関数\boldsymbol{V}:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}^n,\boldsymbol{x}\mapsto\begin{bmatrix}V_1(\boldsymbol{x})\\V_2(\boldsymbol{x})\\\vdots\\V_n(\boldsymbol{x})\end{bmatrix}に対して発散を


\begin{aligned}
\mathrm{div}\ \boldsymbol{V}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial V_i}{\partial x_i}}
\end{aligned}

で定義する。
 最後に回転を定義する。ベクトル値関数\boldsymbol{V}:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}^nに対して回転を



\begin{aligned}
\mathrm{rot}\ \boldsymbol{V}=\begin{cases}
\displaystyle{\frac{\partial V_2}{\partial x}}-\displaystyle{\frac{\partial V_1}{\partial y}},&n=2,\\
\begin{bmatrix}
\displaystyle{\frac{\partial V_3}{\partial y}}-\displaystyle{\frac{\partial V_2}{\partial z}}\\
\displaystyle{\frac{\partial V_1}{\partial z}}-\displaystyle{\frac{\partial V_3}{\partial x}}\\
\displaystyle{\frac{\partial V_2}{\partial x}}-\displaystyle{\frac{\partial V_1}{\partial y}}
\end{bmatrix},&n=3
\end{cases}
\end{aligned}


により定める。

10.4.2 Greenの定理



\mathrm{Green}の定理(の同値) \bar{\mathit{\Omega}}を区分的に滑らかな曲線Cで囲まれた\mathbb{R}^2有界閉領域とする。\bar{\mathit{\Omega}}の近傍上で定義された\boldsymbol{V}(x,y)=\begin{bmatrix}V_1(x,y)\\V_2(x,y)\end{bmatrix}に対して


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\mathit{\Omega}}\mathrm{div}\boldsymbol{V}dxdy}=\displaystyle{\int_{C}(\boldsymbol{V},\boldsymbol{n})}dl
\end{aligned}

が成り立つ。ここで\boldsymbol{n}C上の外向き単位法線ベクトルとする。

(\because 示すべき式


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\mathit{\Omega}}\mathrm{div}\boldsymbol{V}dxdy}=\displaystyle{\int_{C}(\boldsymbol{V},\boldsymbol{n})}dl
\end{aligned}

\boldsymbol{n}={}^{t}(n_1,n_2)とおけば、


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\mathit{\Omega}}\mathrm{div}\boldsymbol{V}dxdy}&=\displaystyle{\iint_{\mathit{\Omega}}\left(\displaystyle{\frac{\partial V_1}{\partial x}}+\displaystyle{\frac{\partial V_2}{\partial y}} \right)}dxdy\\
&=\displaystyle{\int_{C}\left(V_1n_1+V_2n_2\right)}dl
\end{aligned}

と書き換えられるから、


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\mathit{\Omega}}\left(\displaystyle{\frac{\partial V_1}{\partial x}}\right)}dxdy&=\displaystyle{\int_{C}V_1n_1}dl,\\
\displaystyle{\iint_{\mathit{\Omega}}\left(\displaystyle{\frac{\partial V_2}{\partial y}}\right)}dxdy&=\displaystyle{\int_{C}V_2n_2}dl
\end{aligned}

を示せばよい。
 まずは1つ目の


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\mathit{\Omega}}\left(\displaystyle{\frac{\partial V_1}{\partial x}}\right)}dxdy=\displaystyle{\int_{C}V_1n_1}dl
\end{aligned}

を示す。
 領域\mathit{\Omega}


\begin{aligned}
\mathit{\Omega}_i=\{(x,y)|a\leq y\leq b,\varphi(y)\leq x\leq\psi(y)\}
\end{aligned}

と分割する。ここで\varphi,\psi:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\varphi(y)\lt\psi(y),y\in(a,b)を満たすC^1級関数である。
 \mathit{\Omega}_iの境界\partial\mathit{\Omega}_iが4つの曲線D_i,i=1,\cdots,4(y=aに対応する境界をD_1,y=bに対応する境界をD_3とする。)で囲まれているとすると、D_1,D_3ではn_1=0であるから、


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\mathit{\Omega}}\left(\displaystyle{\frac{\partial V_1}{\partial x}}\right)}dxdy=\displaystyle{\int_{D_2}V_1n_1}dl+\displaystyle{\int_{D_4}V_1n_1}dl
\end{aligned}

を示せばよい。D_2,D_4のパラメータ表示およびそこでの外向き単位法ベクトルは



\begin{aligned}
D_2:\begin{cases}x=\psi(\tau),\\y=\tau,\end{cases}&\ \boldsymbol{n}=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1+\psi^{\prime}(\tau)^2}}}\begin{bmatrix}1\\-\psi^{\prime}(\tau)\end{bmatrix},\\
D_4:\begin{cases}x=\varphi(\tau),\\y=\tau,\end{cases}&\ \boldsymbol{n}=-\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1+\varphi^{\prime}(\tau)^2}}}\begin{bmatrix}1\\-\varphi^{\prime}(\tau)\end{bmatrix}
\end{aligned}


で与えられる。ここで\tau\in[a,b]である。またD_2,D_4において線素dl=\sqrt{1+\psi^{\ \prime}(\tau)^2}d\tauおよびdl=\sqrt{1+\varphi^{\ \prime}(\tau)^2}d\tauで与えられるから、


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{D_2}V_1n_1}dl+\displaystyle{\int_{D_4}V_1n_1}dl&=\displaystyle{\int_a^b V_1(\psi(\tau),\tau)-V_1(\varphi(\tau),\tau)}d\tau
\end{aligned}

であり、他方で


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\mathit{\Omega}}\left(\displaystyle{\frac{\partial V_1}{\partial x}}\right)}dxdy&=\displaystyle{\int_a^b\int_{\varphi(y)}^{\psi(y)}\left(\displaystyle{\frac{\partial V_1}{\partial x}} \right)}dxdy\\
&=\displaystyle{\int_a^b V_1(\psi(\tau),\tau)-V_1(\varphi(\tau),\tau)}d\tau
\end{aligned}

が成り立つ。したがって


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\mathit{\Omega}}\left(\displaystyle{\frac{\partial V_1}{\partial x}}\right)}dxdy=\displaystyle{\int_{D_2}V_1n_1}dl+\displaystyle{\int_{D_4}V_1n_1}dl
\end{aligned}

が示された。
 以上で示したことから、


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\mathit{\Omega}}\left(\displaystyle{\frac{\partial V_1}{\partial x}}\right)}dxdy=\displaystyle{\sum_i\iint_{\mathit{\Omega}_i}\left(\displaystyle{\frac{\partial V_1}{\partial x}}\right)}dxdy=\displaystyle{\sum_i\int_{\partial\mathit{\Omega}_i}V_1n_1}dl
\end{aligned}

が成立する。ここで\mathit{\Omega}を分割した際に生じた境界について考える必要がある。ここでD上の\mathit{\Omega}_iから見た外向き単位法ベクトル\boldsymbol{n}_i\mathit{\Omega}_{i+1}から見た外向き単位法ベクトル\boldsymbol{n}_{i+1}は逆向きであるから、\boldsymbol{n}_i+\boldsymbol{n}_{i+1}=\boldsymbol{0}が成り立つ。したがってDに関連する2つの積分の和は


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{D}V_1n_{i+1,1}}dl=\displaystyle{\int_{D}V_1(n_{i,1}+n_{i+1,1})}dl=0
\end{aligned}

であるから、\partial\mathit{\Omega}_iの境界のうち\mathit{\Omega}を細分した際に新たに生じた\mathit{\Omega}の内部にある境界に関する積分の和は0である。したがって


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_i\int_{\partial\mathit{\Omega}_i}V_1n_1}dl=\displaystyle{\int_C V_1 n_1}dl
\end{aligned}

であり、これにより


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\mathit{\Omega}}\left(\displaystyle{\frac{\partial V_1}{\partial x}}\right)}dxdy=\displaystyle{\int_{C}V_1n_1}dl
\end{aligned}

が成立する。
 2つ目の


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\mathit{\Omega}}\left(\displaystyle{\frac{\partial V_2}{\partial y}}\right)}dxdy&=\displaystyle{\int_{C}V_2n_2}dl
\end{aligned}

は分割方法を変えつつも1つ目と同様の議論を行うことで示すことができる。  \blacksquare)

 今示した定理は以下の\mathrm{Green}の定理の言い換えと見なすことができる。



\mathrm{Green}の定理 \bar{\mathit{\Omega}}を区分的に滑らかな曲線Cで囲まれた\mathbb{R}^2有界閉領域とする。\bar{\mathit{\Omega}}の近傍の上で定義されたC^1\mathbb{R}^2値関数\boldsymbol{V}(x,y)に対して


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\mathit{\Omega}}\mathrm{rot}\ \boldsymbol{V}}dxdy=\displaystyle{\int_C(\boldsymbol{V},\boldsymbol{t})}dl
\end{aligned}

が成り立つ。ここで\boldsymbol{t}Cの単位接ベクトルで、その向きは領域\mathit{\Omega}の内部を左手に見るように選ぶ。

(\because \boldsymbol{V}=\begin{bmatrix}V_{1}(x,y)\\V_{2}(x,y)\end{bmatrix}に対して\boldsymbol{W}=\begin{bmatrix}V_{2}(x,y)\\-V_{1}(x,y)\end{bmatrix}とおく。外向き単位法ベクトルを\boldsymbol{n}=\begin{bmatrix}n_1\\n_2\end{bmatrix}とすれば単位接ベクトル\boldsymbol{t}の方向の選び方から\boldsymbol{t}=\begin{bmatrix}-n_2\\n_1\end{bmatrix}である。ここで


\begin{aligned}
(\boldsymbol{V},\boldsymbol{t})=(\boldsymbol{W},\boldsymbol{n}),\ \mathrm{rot}\ \boldsymbol{V}=\mathrm{div}\ \boldsymbol{W}
\end{aligned}

に注意すれば、


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\mathit{\Omega}}\mathrm{rot}\ \boldsymbol{V}}dxdy=\displaystyle{\int_C(\boldsymbol{V},\boldsymbol{t})}dl
\end{aligned}


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\mathit{\Omega}}\mathrm{div}\boldsymbol{V}dxdy}=\displaystyle{\int_{C}(\boldsymbol{V},\boldsymbol{n})}dl
\end{aligned}

より成り立つ。  \blacksquare)

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