以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。
今日のまとめ
- ベクトルの外積を導入します。
- 曲線の長さおよび曲面積を導入します。
10. ベクトル解析
本節ではベクトル値写像を扱う。
10.2 曲線および曲面
10.2.3 ベクトルの外積
ベクトルの外積 ベクトル

に対して

の
外積
を
により定義する。
ベクトルの外積には以下が成り立つ。
10.3 曲面の曲面積と関数の線積分・面積分
10.3.1 曲面の曲面積
曲線・曲面に対して長さや曲面積を定義する。
曲線の長さ 曲線

が

級
写像![\boldsymbol{\gamma}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^n](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5Cboldsymbol%7B%5Cgamma%7D%3A%5Ba%2Cb%5D%5Crightarrow%5Cmathbb%7BR%7D%5En)
により
![C=\{\boldsymbol{\gamma}(\tau)|\tau\in[a,b]\}](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=C%3D%5C%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cgamma%7D%28%5Ctau%29%7C%5Ctau%5Cin%5Ba%2Cb%5D%5C%7D)
とパラメータ表示されるとする。このとき

の長さ

は
である。ここで
または
である。
曲面の曲面積 
を
有界な領域でその境界は滑らかな曲線とする。

を

級
写像で
が一次独立だとする。このとき
とパラメータ表示される曲面
の曲面積
は
で与えられる。
特殊な場合として以下がある。
関数
の面積 
のグラフ
は
で与えられる。
10.3.2 関数の線積分・面積分
曲線または曲面上で定義された実関数の積分を定義する。
長さの定義における
は線素と呼ばれ、面積分の定義における
は面素と呼ばれる。