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やりなおしの数学・微分積分篇(57/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • ベクトルの外積を導入します。
  • 曲線の長さおよび曲面積を導入します。

10. ベクトル解析

 本節ではベクトル値写像を扱う。

10.2 曲線および曲面

10.2.3 ベクトルの外積



ベクトルの外積 ベクトル\boldsymbol{a}={}^{t}(a_1,a_2,a_3),\boldsymbol{b}={}^{t}(b_1,b_2,b_3)\in\mathbb{R}^3に対して\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}外積\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\in\mathbb{R}^3



\begin{aligned}
\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}
a_2b_3-a_3b_2\\
a_3b_1-a_1b_3\\
a_1b_2-a_2b_1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\begin{vmatrix}
a_2&b_2\\
a_3&b_3
\end{vmatrix}\\
\begin{vmatrix}
a_3&b_3\\
a_1&b_1
\end{vmatrix}\\
\begin{vmatrix}
a_1&b_1\\
a_2&b_2
\end{vmatrix}\\
\end{bmatrix}
\end{aligned}


により定義する。


 ベクトルの外積には以下が成り立つ。



外積の性質 \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\in\mathbb{R}^3に対して

  • \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}の張る平行四辺形\{\lambda\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b}|\lambda,\mu\in[0,1]\}の面積はベクトルの長さ\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}の長さ|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|に等しい。
  • (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})=\mathrm{det}[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]を満たす。
  • \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}および\boldsymbol{b}と直交する。
  • \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}が一次独立であるための必要十分条件\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\neq\boldsymbol{0}である。

が成り立つ。

10.3 曲面の曲面積と関数の線積分・面積分

10.3.1 曲面の曲面積

 曲線・曲面に対して長さや曲面積を定義する。



曲線の長さ 曲線C\subset\mathbb{R}^n,n=2,3C^1写像\boldsymbol{\gamma}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^nによりC=\{\boldsymbol{\gamma}(\tau)|\tau\in[a,b]\}とパラメータ表示されるとする。このときCの長さl(C)



\begin{aligned}
l(C)=\displaystyle{\int_a^b\left|\boldsymbol{\gamma}^{\prime}(\tau)\right|d\tau}
\end{aligned}


である。ここで\left|\boldsymbol{\gamma}^{\prime}(\tau)\right|=\sqrt{\gamma_1^2+\gamma_2^2}または\left|\boldsymbol{\gamma}^{\prime}(\tau)\right|=\sqrt{\gamma_1^2+\gamma_2^2+\gamma_3^2}である。



曲面の曲面積 D\subset\mathbb{R}^2有界な領域でその境界は滑らかな曲線とする。\boldsymbol{\gamma}:\bar{D}\rightarrow\mathbb{R}^3C^{1}写像


\begin{aligned}
\boldsymbol{\gamma}_{s}(s,t)=\begin{bmatrix}
\gamma_{1s}(s,t)\\
\gamma_{2s}(s,t)\\
\gamma_{3s}(s,t)
\end{bmatrix},\boldsymbol{\gamma}_{t}(s,t)=\begin{bmatrix}
\gamma_{1t}(s,t)\\
\gamma_{2t}(s,t)\\
\gamma_{3t}(s,t)
\end{bmatrix}
\end{aligned}


が一次独立だとする。このときS=\{\boldsymbol{\gamma}(s,t)|(s,t)\in D\}とパラメータ表示される曲面Sの曲面積m(S)



\begin{aligned}
m(S)&=\displaystyle{\int\int_{D}\left|\boldsymbol{\gamma}_s\times\boldsymbol{\gamma}_t\right|dsdt}\\
&=\displaystyle{\int\int_D\sqrt{\left(\displaystyle{\frac{\partial(\gamma_2,\gamma_3)}{\partial(s,t)}}\right)^2+\left(\displaystyle{\frac{\partial(\gamma_3,\gamma_1)}{\partial(s,t)}}\right)^2+\left(\displaystyle{\frac{\partial(\gamma_1,\gamma_2)}{\partial(s,t)}}\right)^2}dsdt}
\end{aligned}


で与えられる。


 特殊な場合として以下がある。



関数f(x,y)の面積 f(x,y):\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}のグラフ

\begin{aligned}
S=\{(x,y,f(x,y))|(x,y)\in\mathit{\Omega}\}
\end{aligned}


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\mathit{\Omega}} \sqrt{1+(f_x(x,y))^2+(f_y(x,y))^2}dxdy}
\end{aligned}

で与えられる。

10.3.2 関数の線積分・面積分

 曲線または曲面上で定義された実関数の積分を定義する。



積分 曲線C\subset\mathbb{R}^n,n=2,3C^1写像\boldsymbol{\gamma}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^nによりC=\{\boldsymbol{\gamma}(\tau)|\tau\in[a,b]\}とパラメータ表示されるとする。C上で定義された実関数f:C\rightarrow\mathbb{R}に対してその線積分\displaystyle{\int_C f dl}

\begin{aligned}
\displaystyle{\int_C f dl}=\displaystyle{\int_a^b f(\boldsymbol{\gamma}(\tau))|\boldsymbol{\gamma}^{\prime}(\tau)|}d\tau=\displaystyle{\int_a^b f(\boldsymbol{\gamma}(\tau))\sqrt{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(\gamma_i^{\prime})^2}}}d\tau
\end{aligned}

で定義する。
 またD\subset\mathbb{R}^2とし、曲面SC^{1}写像\boldsymbol{\gamma}(s,t):D\rightarrow\mathbb{R}^3によりS=\{\boldsymbol{\gamma}(s,t)|(s,t)\in D\}とパラメータ表示されるものとする。S上で定義された実関数F:S\rightarrow\mathbb{R}に対してその面積分\displaystyle{\iint_{S} fd\sigma}


\begin{aligned}
&\displaystyle{\iint_{S} fd\sigma}\\=&\displaystyle{\iint_D f(\boldsymbol{\gamma}(s,t))|\boldsymbol{\gamma}_s\times\boldsymbol{\gamma}_t|}dsdt
\\=&\displaystyle{\iint_D f(\boldsymbol{\gamma}(s,t))\sqrt{\left(\displaystyle{\frac{\partial(\gamma_2,\gamma_3)}{\partial(s,t)}}\right)^2+\left(\displaystyle{\frac{\partial(\gamma_3,\gamma_1)}{\partial(s,t)}}\right)^2+\left(\displaystyle{\frac{\partial(\gamma_1,\gamma_2)}{\partial(s,t)}}\right)^2}}dsdt
\end{aligned}
で定義する。


 長さの定義におけるdl


\begin{aligned}
dl=|\boldsymbol{\gamma}^{\prime}|d\tau=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\left(\gamma_i^{\prime}\right)^2}d\tau
\end{aligned}

は線素と呼ばれ、面積分の定義におけるd\sigma


\begin{aligned}
dS=\displaystyle{|\boldsymbol{\gamma}_s\times\boldsymbol{\gamma}_t|}dsdt=\displaystyle{\sqrt{\left(\displaystyle{\frac{\partial(\gamma_2,\gamma_3)}{\partial(s,t)}}\right)^2+\left(\displaystyle{\frac{\partial(\gamma_3,\gamma_1)}{\partial(s,t)}}\right)^2+\left(\displaystyle{\frac{\partial(\gamma_1,\gamma_2)}{\partial(s,t)}}\right)^2}}dsdt
\end{aligned}

は面素と呼ばれる。

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