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やりなおしの数学・微分積分篇(60/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • \mathrm{Stokes}の定理: S\subset\mathbb{R}^3を区分的に滑らかな曲線Cを境界に持つ表裏のある有界な曲面、また
    \begin{aligned}\boldsymbol{V}(x,y,z)=\begin{bmatrix}V_1(x,y,z)\\V_2(x,y,z)\\V_3(x,y,z)\end{bmatrix}\end{aligned}
    Sの近傍で定義されたC^1写像だとする。このとき
    \begin{aligned}\boldsymbol{\iint_S(\mathrm{rot}\ \boldsymbol{V},\boldsymbol{n})}d\sigma=\displaystyle{\int_C(\boldsymbol{V},\boldsymbol{t})}dl\end{aligned}
    が成立する。ここで\boldsymbol{n}Sの正の向きの単位法ベクトル、\boldsymbol{t}Cの正の向きの単位方向ベクトルである。

10. ベクトル解析

 本節ではベクトル値写像を扱う。

10.4.3 Stokesの定理

 次に\mathrm{Stokes}の定理を扱う。
 区分的に滑らかな曲線Cを境界に持つ表裏のある有界な曲面S\subset\mathbb{R}^3の上での積分を考える。S上の表向きの単位法線ベクトルを\boldsymbol{n}C上での単位接ベクトルを\boldsymbol{t}を定める。



\mathrm{Stokes}の定理 S\subset\mathbb{R}^3を区分的に滑らかな曲線Cを境界に持つ表裏のある有界な曲面、また



\begin{aligned}
\boldsymbol{V}(x,y,z)=\begin{bmatrix}V_1(x,y,z)\\V_2(x,y,z)\\V_3(x,y,z)\end{bmatrix}
\end{aligned}


Sの近傍で定義されたC^1写像だとする。このとき



\begin{aligned}
\boldsymbol{\iint_S(\mathrm{rot}\ \boldsymbol{V},\boldsymbol{n})}d\sigma=\displaystyle{\int_C(\boldsymbol{V},\boldsymbol{t})}dl
\end{aligned}


が成立する。ここで\boldsymbol{n}Sの正の向きの単位法ベクトル、\boldsymbol{t}Cの正の向きの単位方向ベクトルである。

(\because Sをパラメータ表示を持つ小曲面S_1,\cdots,S_kに分割し、各S_iの境界\partial S_i\boldsymbol{n}から定まる正の向きの単位接ベクトル\boldsymbol{t}を定め、各S_iに対して


\begin{aligned}
\boldsymbol{\iint_{S_i}(\mathrm{rot}\ \boldsymbol{V},\boldsymbol{n})}d\sigma=\displaystyle{\int_{\partial S_i}(\boldsymbol{V},\boldsymbol{t})}dl
\end{aligned}

を示す。
 D_i\subset \mathbb{R}^2を区分的に滑らかな曲線によって囲まれた有界な閉領域とし、S_iのパラメータ表示がC^2写像\boldsymbol{\gamma}:D_i\rightarrow\mathbb{R}^3によって行われ、更にそれはS_iに正のパラメータ付けを行われている、すなわち\boldsymbol{\gamma}_s\times \boldsymbol{\gamma}_t\boldsymbol{n}と同じ向きを持っていると仮定する。このときD_iの境界\partial D_iのパラメータ付け



\begin{aligned}
\boldsymbol{\zeta}(\tau):[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^2;\ \tau\mapsto\begin{bmatrix}\zeta_1(\tau)\\\zeta_2(\tau)\end{bmatrix}
\end{aligned}


を進行方向に向かってD_iの内部を左側に見るように取ると、



\begin{aligned}
&[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^3,\\
&\tau\mapsto\boldsymbol{\gamma}\left(\boldsymbol{\zeta}(\tau)\right)
\end{aligned}


S_iの境界\partial S_iにパラメータ付けを与える。このとき、

  • \boldsymbol{\zeta}^{\ \prime}(\tau)\partial D_iの接ベクトルであり、それはD_iの内部を左に見る向き付け(正の向き付け)を持つ、
  • \displaystyle{\frac{\partial}{\partial\tau}\boldsymbol{\gamma}\left(\boldsymbol{\zeta}(\tau)\right)}\partial S_iの接ベクトルであり、\boldsymbol{n}から定められた\boldsymbol{t}と同じ向きを持つ

という点に注意する。
 以上の前提の下で\boldsymbol{V}(x,y,z)\boldsymbol{V}(x,y,z)=\begin{bmatrix}V_1(x,y,z)\\0\\0\end{bmatrix}のように書けるとき


\begin{aligned}
\boldsymbol{\iint_{S_i}(\mathrm{rot}\ \boldsymbol{V},\boldsymbol{n})}d\sigma=\displaystyle{\int_{\partial S_i}(\boldsymbol{V},\boldsymbol{t})}dl
\end{aligned}

を示す。
 まず左辺について


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{\partial S_i}(\boldsymbol{V},\boldsymbol{t})dl}&=\displaystyle{\int_a^b V_1(\boldsymbol{\gamma}(\boldsymbol{\zeta}(\tau)))\frac{d}{d\tau}\gamma_1(\boldsymbol{\zeta}(\tau))}d\tau\\
&=\displaystyle{\int_a^b V_1(\boldsymbol{\gamma}(\boldsymbol{\zeta}(\tau) ) )(\gamma_{1s}(\boldsymbol{\zeta})\zeta_1^{\prime}+\gamma_{1t}(\boldsymbol{\zeta})\zeta_2^{\prime})}d\tau\\
&=\displaystyle{\int_a^b\left(\begin{bmatrix}V_1(\boldsymbol{\gamma}(\boldsymbol{\zeta})\gamma_{1s}(\boldsymbol{\zeta}) )\\V_1(\boldsymbol{\gamma}(\boldsymbol{\zeta}) )\gamma_{1t}(\boldsymbol{\zeta})\end{bmatrix},\boldsymbol{\zeta}^{\prime}\right)}d\tau
\end{aligned}

\partial D_iにおいても同様にすることで\tilde{\boldsymbol{t}}=\begin{bmatrix}\tilde{t}_1\\\tilde{t}_2\end{bmatrix}d\tilde{l}=|\zeta^{\ \prime}|d\tauを用いて示すべき式の右辺について



\begin{aligned}
右辺=\displaystyle{\int_{\partial D_i}\left(\begin{bmatrix}V_1(\boldsymbol{\gamma})\gamma_{1s}\\V_1(\boldsymbol{\gamma})\gamma_{1t}\end{bmatrix},\tilde{\boldsymbol{t}}\right)}d\tilde{l}
\end{aligned}


と書き換えられる。これに\mathrm{Green}の定理より



\begin{aligned}
右辺&=\displaystyle{\iint_{D_i}\mathrm{rot}\begin{bmatrix}V_1(\boldsymbol{\gamma})\gamma_{1s}\\V_1(\boldsymbol{\gamma})\gamma_{1t}\end{bmatrix}}dsdt\\
&=\displaystyle{\iint_{D_i}\frac{\partial}{\partial s}(V_1(\boldsymbol{\gamma})\gamma_{1t}) -\frac{\partial}{\partial s}(V_1(\boldsymbol{\gamma})\gamma_{1s})}dsdt
\end{aligned}

が成り立つ。
 次に示すべき式の左辺について\mathrm{rot}\ \boldsymbol{V}=\begin{bmatrix}0\\V_{1z}\\-V_{1y}\end{bmatrix}であることから、


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{S_i}(\mathrm{rot}\ \boldsymbol{V},\boldsymbol{n})}d\sigma&=\displaystyle{\\int_{S_i}(V_{1z}n_2-V_{1y}n_3)}d\sigma\\
&=\displaystyle{\iint_{D_i}\left(V_{1z}(\boldsymbol{\gamma})\frac{\partial(\gamma_{3},\gamma_{1})}{\partial(s,t)}-V_{1y}(\boldsymbol{\gamma})\frac{\partial(\gamma_{1},\gamma_{2})}{\partial(s,t)}\right)}dsdt
\end{aligned}

である。ここで


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{\partial }{\partial s}(V_1(\boldsymbol{\gamma})\gamma_{1t})}-\displaystyle{\frac{\partial }{\partial t}(V_1(\boldsymbol{\gamma})\gamma_{1s})}=V_{1z}(\gamma)\displaystyle{\frac{\partial(\gamma_3,\gamma_1)}{\partial(s,t)}}-V_{1y}(\gamma)\displaystyle{\frac{\partial(\gamma_1,\gamma_2)}{\partial(s,t)}}
\end{aligned}

であるから、示すべき式が\boldsymbol{V}(x,y,z)=\begin{bmatrix}V_1(x,y,z)\\0\\0\end{bmatrix}に対して成立する。この式が


\begin{aligned}
\boldsymbol{V}(x,y,z)&=\begin{bmatrix}0\\V_2(x,y,z)\\0\end{bmatrix},\\
\boldsymbol{V}(x,y,z)&=\begin{bmatrix}0\\0\\V_3(x,y,z)\end{bmatrix}
\end{aligned}

に対しても成り立つことを同様に示すことができる。これらを合算することで


\begin{aligned}
\boldsymbol{V}(x,y,z)&=\begin{bmatrix}V_1(x,y,z)\\V_2(x,y,z)\\V_3(x,y,z)\end{bmatrix}
\end{aligned}

に対して成り立つことが分かる。
 これをi=1,\cdots,kについて総和を取ることで、S内部の境界に関する積分の和が0になることは別の定理の過程で示したように0であるから、元の示すべき式が成り立つことが分かった。 \blacksquare)

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