やりなおしの数学・微分積分篇（60/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

今日のまとめ
10.　ベクトル解析
- 10.4.3　Stokesの定理

今日のまとめ

$\mathrm{Stokes}$ の定理：　 $S\subset\mathbb{R}^3$ を区分的に滑らかな曲線 $C$ を境界に持つ表裏のある有界な曲面、また
$\begin{aligned}\boldsymbol{V}(x,y,z)=\begin{bmatrix}V_1(x,y,z)\\V_2(x,y,z)\\V_3(x,y,z)\end{bmatrix}\end{aligned}$
を $S$ の近傍で定義された $C^1$ 級写像だとする。このとき
$\begin{aligned}\boldsymbol{\iint_S(\mathrm{rot}\ \boldsymbol{V},\boldsymbol{n})}d\sigma=\displaystyle{\int_C(\boldsymbol{V},\boldsymbol{t})}dl\end{aligned}$
が成立する。ここで $\boldsymbol{n}$ は $S$ の正の向きの単位法ベクトル、 $\boldsymbol{t}$ は $C$ の正の向きの単位方向ベクトルである。

10.　ベクトル解析

　本節ではベクトル値写像を扱う。

10.4.3　Stokesの定理

　次に $\mathrm{Stokes}$ の定理を扱う。
　区分的に滑らかな曲線 $C$ を境界に持つ表裏のある有界な曲面 $S\subset\mathbb{R}^3$ の上での積分を考える。 $S$ 上の表向きの単位法線ベクトルを $\boldsymbol{n}$ 、 $C$ 上での単位接ベクトルを $\boldsymbol{t}$ を定める。

$\mathrm{Stokes}$ の定理　 $S\subset\mathbb{R}^3$ を区分的に滑らかな曲線 $C$ を境界に持つ表裏のある有界な曲面、また

$\begin{aligned} \boldsymbol{V}(x,y,z)=\begin{bmatrix}V_1(x,y,z)\\V_2(x,y,z)\\V_3(x,y,z)\end{bmatrix} \end{aligned}$

を $S$ の近傍で定義された $C^1$ 級写像だとする。このとき

$\begin{aligned} \boldsymbol{\iint_S(\mathrm{rot}\ \boldsymbol{V},\boldsymbol{n})}d\sigma=\displaystyle{\int_C(\boldsymbol{V},\boldsymbol{t})}dl \end{aligned}$

が成立する。ここで $\boldsymbol{n}$ は $S$ の正の向きの単位法ベクトル、 $\boldsymbol{t}$ は $C$ の正の向きの単位方向ベクトルである。

( $\because$ 　 $S$ をパラメータ表示を持つ小曲面 $S_1,\cdots,S_k$ に分割し、各 $S_i$ の境界 $\partial S_i$ に $\boldsymbol{n}$ から定まる正の向きの単位接ベクトル $\boldsymbol{t}$ を定め、各 $S_i$ に対して

$\begin{aligned} \boldsymbol{\iint_{S_i}(\mathrm{rot}\ \boldsymbol{V},\boldsymbol{n})}d\sigma=\displaystyle{\int_{\partial S_i}(\boldsymbol{V},\boldsymbol{t})}dl \end{aligned}$

を示す。
　 $D_i\subset \mathbb{R}^2$ を区分的に滑らかな曲線によって囲まれた有界な閉領域とし、 $S_i$ のパラメータ表示が $C^2$ 級写像 $\boldsymbol{\gamma}:D_i\rightarrow\mathbb{R}^3$ によって行われ、更にそれは $S_i$ に正のパラメータ付けを行われている、すなわち $\boldsymbol{\gamma}_s\times \boldsymbol{\gamma}_t$ は $\boldsymbol{n}$ と同じ向きを持っていると仮定する。このとき $D_i$ の境界 $\partial D_i$ のパラメータ付け

$\begin{aligned} \boldsymbol{\zeta}(\tau):[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^2;\ \tau\mapsto\begin{bmatrix}\zeta_1(\tau)\\\zeta_2(\tau)\end{bmatrix} \end{aligned}$

を進行方向に向かって $D_i$ の内部を左側に見るように取ると、

$\begin{aligned} &[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^3,\\ &\tau\mapsto\boldsymbol{\gamma}\left(\boldsymbol{\zeta}(\tau)\right) \end{aligned}$

は $S_i$ の境界 $\partial S_i$ にパラメータ付けを与える。このとき、

$\boldsymbol{\zeta}^{\ \prime}(\tau)$ は $\partial D_i$ の接ベクトルであり、それは $D_i$ の内部を左に見る向き付け(正の向き付け)を持つ、
$\displaystyle{\frac{\partial}{\partial\tau}\boldsymbol{\gamma}\left(\boldsymbol{\zeta}(\tau)\right)}$ は $\partial S_i$ の接ベクトルであり、 $\boldsymbol{n}$ から定められた $\boldsymbol{t}$ と同じ向きを持つ

という点に注意する。
　以上の前提の下で $\boldsymbol{V}(x,y,z)$ が $\boldsymbol{V}(x,y,z)=\begin{bmatrix}V_1(x,y,z)\\0\\0\end{bmatrix}$ のように書けるとき

$\begin{aligned} \boldsymbol{\iint_{S_i}(\mathrm{rot}\ \boldsymbol{V},\boldsymbol{n})}d\sigma=\displaystyle{\int_{\partial S_i}(\boldsymbol{V},\boldsymbol{t})}dl \end{aligned}$

を示す。
　まず左辺について

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{\partial S_i}(\boldsymbol{V},\boldsymbol{t})dl}&=\displaystyle{\int_a^b V_1(\boldsymbol{\gamma}(\boldsymbol{\zeta}(\tau)))\frac{d}{d\tau}\gamma_1(\boldsymbol{\zeta}(\tau))}d\tau\\ &=\displaystyle{\int_a^b V_1(\boldsymbol{\gamma}(\boldsymbol{\zeta}(\tau) ) )(\gamma_{1s}(\boldsymbol{\zeta})\zeta_1^{\prime}+\gamma_{1t}(\boldsymbol{\zeta})\zeta_2^{\prime})}d\tau\\ &=\displaystyle{\int_a^b\left(\begin{bmatrix}V_1(\boldsymbol{\gamma}(\boldsymbol{\zeta})\gamma_{1s}(\boldsymbol{\zeta}) )\\V_1(\boldsymbol{\gamma}(\boldsymbol{\zeta}) )\gamma_{1t}(\boldsymbol{\zeta})\end{bmatrix},\boldsymbol{\zeta}^{\prime}\right)}d\tau \end{aligned}$

$\partial D_i$ においても同様にすることで $\tilde{\boldsymbol{t}}=\begin{bmatrix}\tilde{t}_1\\\tilde{t}_2\end{bmatrix}$ 、 $d\tilde{l}=|\zeta^{\ \prime}|d\tau$ を用いて示すべき式の右辺について

$\begin{aligned} 右辺=\displaystyle{\int_{\partial D_i}\left(\begin{bmatrix}V_1(\boldsymbol{\gamma})\gamma_{1s}\\V_1(\boldsymbol{\gamma})\gamma_{1t}\end{bmatrix},\tilde{\boldsymbol{t}}\right)}d\tilde{l} \end{aligned}$

と書き換えられる。これに $\mathrm{Green}$ の定理より

$\begin{aligned} 右辺&=\displaystyle{\iint_{D_i}\mathrm{rot}\begin{bmatrix}V_1(\boldsymbol{\gamma})\gamma_{1s}\\V_1(\boldsymbol{\gamma})\gamma_{1t}\end{bmatrix}}dsdt\\ &=\displaystyle{\iint_{D_i}\frac{\partial}{\partial s}(V_1(\boldsymbol{\gamma})\gamma_{1t}) -\frac{\partial}{\partial s}(V_1(\boldsymbol{\gamma})\gamma_{1s})}dsdt \end{aligned}$

が成り立つ。
　次に示すべき式の左辺について $\mathrm{rot}\ \boldsymbol{V}=\begin{bmatrix}0\\V_{1z}\\-V_{1y}\end{bmatrix}$ であることから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\iint_{S_i}(\mathrm{rot}\ \boldsymbol{V},\boldsymbol{n})}d\sigma&=\displaystyle{\\int_{S_i}(V_{1z}n_2-V_{1y}n_3)}d\sigma\\ &=\displaystyle{\iint_{D_i}\left(V_{1z}(\boldsymbol{\gamma})\frac{\partial(\gamma_{3},\gamma_{1})}{\partial(s,t)}-V_{1y}(\boldsymbol{\gamma})\frac{\partial(\gamma_{1},\gamma_{2})}{\partial(s,t)}\right)}dsdt \end{aligned}$

である。ここで

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial }{\partial s}(V_1(\boldsymbol{\gamma})\gamma_{1t})}-\displaystyle{\frac{\partial }{\partial t}(V_1(\boldsymbol{\gamma})\gamma_{1s})}=V_{1z}(\gamma)\displaystyle{\frac{\partial(\gamma_3,\gamma_1)}{\partial(s,t)}}-V_{1y}(\gamma)\displaystyle{\frac{\partial(\gamma_1,\gamma_2)}{\partial(s,t)}} \end{aligned}$

であるから、示すべき式が $\boldsymbol{V}(x,y,z)=\begin{bmatrix}V_1(x,y,z)\\0\\0\end{bmatrix}$ に対して成立する。この式が

$\begin{aligned} \boldsymbol{V}(x,y,z)&=\begin{bmatrix}0\\V_2(x,y,z)\\0\end{bmatrix},\\ \boldsymbol{V}(x,y,z)&=\begin{bmatrix}0\\0\\V_3(x,y,z)\end{bmatrix} \end{aligned}$