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やりなおしの数学・微分積分篇(67/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 陰関数定理は、点(x_0,y_0)においてf(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)\neq0を満たすとき\delta,\rho\gt0を充分小さく取れば、小長方形\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)\times\left(y_0-\rho,y_0+\rho\right)の中でf(x,y)=0はグラフy=\varphi(x)の形に書くことができることを保証する。

10. ベクトル解析

 本節ではベクトル値写像を扱う。

10.5 n次元におけるGaussの発散定理

10.5.2 超曲面の曲面積


定理 曲面積 D\subset\mathbb{R}^{n-1}有界な閉領域でその境界は区分的に滑らかな(n-2)次元曲面とする。\boldsymbol{\gamma}:D\rightarrow\mathbb{R}^nC^1写像で、すべての\boldsymbol{t}\in Dに対して
\begin{aligned}\boldsymbol{\gamma}_{t_1}(\boldsymbol{t})=\begin{bmatrix}\gamma_{1t_1}(\boldsymbol{t})\\\gamma_{2t_1}(\boldsymbol{t})\\\vdots\\\gamma_{nt_1}(\boldsymbol{t})\end{bmatrix},\boldsymbol{\gamma}_{t_2}(\boldsymbol{t})=\begin{bmatrix}\gamma_{1t_2}(\boldsymbol{t})\\\gamma_{2t_2}(\boldsymbol{t})\\\vdots\\\gamma_{nt_2}(\boldsymbol{t})\end{bmatrix},\cdots,\boldsymbol{\gamma}_{t_k}(\boldsymbol{t})=\begin{bmatrix}\gamma_{1t_k}(\boldsymbol{t})\\\gamma_{2t_k}(\boldsymbol{t})\\\vdots\\\gamma_{nt_k}(\boldsymbol{t})\end{bmatrix}\end{aligned}
は一次独立である。このときM=\left\{\boldsymbol{\gamma}(\boldsymbol{t})\left|\right.\boldsymbol{t}\in D\right\}でパラメータ表示される(n-1)次元曲面の(n-1)次元曲面積m_{n-1}M)


\begin{aligned}
m_{n-1}\left(M\right)=\displaystyle{\int\cdots\int_{D} m_{n-1}\left(\boldsymbol{\gamma}_{t_{1}}\left(\boldsymbol{t}\right),\cdots,\boldsymbol{\gamma}_{t_{n-1}}\left(\boldsymbol{t}\right)\right)}dt_1\cdots dt_{n-1}
\end{aligned}

で与えられる。

10.5.3 n次元におけるGaussの発散定理

 \mathbb{R}^n\mathrm{Gauss}の発散定理を拡張する。


\mathrm{Gauss}の発散定理の拡張 区分的に滑らかな超曲面Sに囲まれた\mathbb{R}^n有界な閉領域を\bar{\Omega}とし、\bar{\Omega}の近傍上定められたC^1写像


\begin{aligned}
\boldsymbol{V}\left(\boldsymbol{x}\right)=\begin{bmatrix}
V_{1}\left(\boldsymbol{x}\right)\\
\vdots\\
V_{n}\left(\boldsymbol{x}\right)
\end{bmatrix}
\end{aligned}

に対して次が成立する。


\begin{aligned}
\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega}\mathrm{div}\ \boldsymbol{V} dx_1\cdots dx_n}=\displaystyle{\int\cdots\int_{S}\left(\boldsymbol{V},\boldsymbol{n}\right)}d\sigma
\end{aligned}

ここで\boldsymbol{n}Sの外向き単位法線法ベクトルである。

11. 陰関数定理と逆写像定理

11.1 陰関数定理の導入

 実数値関数f(x,y):\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}が与えられたとき、f(x,y)が定める集合


\begin{aligned}
\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\left|\right.f(x,y)=0\right\}
\end{aligned}

は、どのような条件の下で1変数関数\varphi(x):\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}を用いて関数のグラフy=\varphi(x)の形で書けるか。
 f(x_0,y_0)=0を満たす点(x_0,y_0)において、点(x_0,y_0)が例外的な点でなければ\delta,\rho\gt0を充分小さく取れば小長方形\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)\times\left(y_0-\rho,y_0+\rho\right)の中でf(x,y)=0はグラフy=\varphi(x)の形に書くことができると期待される。
 陰関数定理は、点(x_0,y_0)においてf(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)\neq0を満たすとき\delta,\rho\gt0を充分小さく取れば、小長方形\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)\times\left(y_0-\rho,y_0+\rho\right)の中でf(x,y)=0はグラフy=\varphi(x)の形に書くことができることを保証している。



陰関数定理(導入) \mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^2を空でない開集合、またf(x,y):\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}C^1級関数とする。(x_0,y_0)\in\mathit{\Omega}


\begin{aligned}
f(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)\neq0
\end{aligned}

を満たすならば、\delta,\rho\gt0が存在して以下が成り立つ。

  • \left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\times\left[y_0-\rho,y_0+\rho\right]\subset\mathit{\Omega}
  • {}^{\forall}x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)\left({}^{!\exists}y\in(y_0-\rho,y_0+\rho)\right)\ \mathrm{s.t.}\ f(x,y)=0。このときy=\varphi(x)と書くと、f(x,y)=0を満たすような(x,y)\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)\times\left(y_0-\rho,y_0+\rho\right)の中でグラフy=\varphi(x)の形にかけ、特に\varphi(x_0)=y_0が成り立つ。
  • \varphi:\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)\times\left(y_0-\rho,y_0+\rho\right)C^1級であり、

    \begin{aligned}\varphi^{\prime}(x)=-\displaystyle{\frac{f_x(x,\varphi(x) )}{f_y(x,\varphi(x) )}}\end{aligned}

    が成り立つ。
  • f(x,y)C^l,l\geq1ならば\varphi(x)C^l級である。

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