やりなおしの数学・微分積分篇（67/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

今日のまとめ
10.　ベクトル解析
- 10.5　n次元におけるGaussの発散定理
  - 10.5.2　超曲面の曲面積
  - 10.5.3　n次元におけるGaussの発散定理
11.　陰関数定理と逆写像定理
- 11.1　陰関数定理の導入

今日のまとめ

陰関数定理は、点 $(x_0,y_0)$ において $f(x_0,y_0)=0,$ $f_y(x_0,y_0)\neq0$ を満たすとき $\delta,\rho\gt0$ を充分小さく取れば、小長方形 $\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)$ $\times$ $\left(y_0-\rho,y_0+\rho\right)$ の中で $f(x,y)=0$ はグラフ $y=\varphi(x)$ の形に書くことができることを保証する。

10.　ベクトル解析

　本節ではベクトル値写像を扱う。

10.5　n次元におけるGaussの発散定理

10.5.2　超曲面の曲面積

定理　曲面積　 $D\subset\mathbb{R}^{n-1}$ を有界な閉領域でその境界は区分的に滑らかな $(n-2)$ 次元曲面とする。 $\boldsymbol{\gamma}:D\rightarrow\mathbb{R}^n$ を $C^1$ 級写像で、すべての $\boldsymbol{t}\in D$ に対して

$\begin{aligned}\boldsymbol{\gamma}_{t_1}(\boldsymbol{t})=\begin{bmatrix}\gamma_{1t_1}(\boldsymbol{t})\\\gamma_{2t_1}(\boldsymbol{t})\\\vdots\\\gamma_{nt_1}(\boldsymbol{t})\end{bmatrix},\boldsymbol{\gamma}_{t_2}(\boldsymbol{t})=\begin{bmatrix}\gamma_{1t_2}(\boldsymbol{t})\\\gamma_{2t_2}(\boldsymbol{t})\\\vdots\\\gamma_{nt_2}(\boldsymbol{t})\end{bmatrix},\cdots,\boldsymbol{\gamma}_{t_k}(\boldsymbol{t})=\begin{bmatrix}\gamma_{1t_k}(\boldsymbol{t})\\\gamma_{2t_k}(\boldsymbol{t})\\\vdots\\\gamma_{nt_k}(\boldsymbol{t})\end{bmatrix}\end{aligned}$

は一次独立である。このとき $M=\left\{\boldsymbol{\gamma}(\boldsymbol{t})\left|\right.\boldsymbol{t}\in D\right\}$ でパラメータ表示される $(n-1)$ 次元曲面の $(n-1)$ 次元曲面積 $m_{n-1}M)$ は

$\begin{aligned} m_{n-1}\left(M\right)=\displaystyle{\int\cdots\int_{D} m_{n-1}\left(\boldsymbol{\gamma}_{t_{1}}\left(\boldsymbol{t}\right),\cdots,\boldsymbol{\gamma}_{t_{n-1}}\left(\boldsymbol{t}\right)\right)}dt_1\cdots dt_{n-1} \end{aligned}$

で与えられる。

10.5.3　n次元におけるGaussの発散定理

　 $\mathbb{R}^n$ に $\mathrm{Gauss}$ の発散定理を拡張する。

$\mathrm{Gauss}$ の発散定理の拡張　区分的に滑らかな超曲面 $S$ に囲まれた $\mathbb{R}^n$ の有界な閉領域を $\bar{\Omega}$ とし、 $\bar{\Omega}$ の近傍上定められた $C^1$ 級写像

$\begin{aligned} \boldsymbol{V}\left(\boldsymbol{x}\right)=\begin{bmatrix} V_{1}\left(\boldsymbol{x}\right)\\ \vdots\\ V_{n}\left(\boldsymbol{x}\right) \end{bmatrix} \end{aligned}$

に対して次が成立する。

$\begin{aligned} \displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega}\mathrm{div}\ \boldsymbol{V} dx_1\cdots dx_n}=\displaystyle{\int\cdots\int_{S}\left(\boldsymbol{V},\boldsymbol{n}\right)}d\sigma \end{aligned}$

ここで $\boldsymbol{n}$ は $S$ の外向き単位法線法ベクトルである。

11.　陰関数定理と逆写像定理

11.1　陰関数定理の導入

　実数値関数 $f(x,y):\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ が与えられたとき、 $f(x,y)$ が定める集合

$\begin{aligned} \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\left|\right.f(x,y)=0\right\} \end{aligned}$

は、どのような条件の下で1変数関数 $\varphi(x):\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ を用いて関数のグラフ $y=\varphi(x)$ の形で書けるか。
　 $f(x_0,y_0)=0$ を満たす点 $(x_0,y_0)$ において、点 $(x_0,y_0)$ が例外的な点でなければ $\delta,\rho\gt0$ を充分小さく取れば小長方形 $\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)$ $\times$ $\left(y_0-\rho,y_0+\rho\right)$ の中で $f(x,y)=0$ はグラフ $y=\varphi(x)$ の形に書くことができると期待される。
　陰関数定理は、点 $(x_0,y_0)$ において $f(x_0,y_0)=0,$ $f_y(x_0,y_0)\neq0$ を満たすとき $\delta,\rho\gt0$ を充分小さく取れば、小長方形 $\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)$ $\times$ $\left(y_0-\rho,y_0+\rho\right)$ の中で $f(x,y)=0$ はグラフ $y=\varphi(x)$ の形に書くことができることを保証している。

陰関数定理(導入)　 $\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^2$ を空でない開集合、また $f(x,y):\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}$ を $C^1$ 級関数とする。 $(x_0,y_0)\in\mathit{\Omega}$ が

$\begin{aligned} f(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)\neq0 \end{aligned}$

を満たすならば、 $\delta,\rho\gt0$ が存在して以下が成り立つ。

$\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\times\left[y_0-\rho,y_0+\rho\right]\subset\mathit{\Omega}$
${}^{\forall}x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)\left({}^{!\exists}y\in(y_0-\rho,y_0+\rho)\right)\ \mathrm{s.t.}\ f(x,y)=0$ 。このとき $y=\varphi(x)$ と書くと、 $f(x,y)=0$ を満たすような $(x,y)$ は $\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)\times\left(y_0-\rho,y_0+\rho\right)$ の中でグラフ $y=\varphi(x)$ の形にかけ、特に $\varphi(x_0)=y_0$ が成り立つ。
$\varphi:\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)\times\left(y_0-\rho,y_0+\rho\right)$ は $C^1$ 級であり、
$\begin{aligned}\varphi^{\prime}(x)=-\displaystyle{\frac{f_x(x,\varphi(x) )}{f_y(x,\varphi(x) )}}\end{aligned}$
が成り立つ。
$f(x,y)$ が $C^l,l\geq1$ ならば $\varphi(x)$ も $C^l$ 級である。