以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。
今日のまとめ
- 演算子
に対して、領域
において、
級関数
がを満たすとき、
は
における調和関数であるという。
- 調和関数は、
を滑らかな曲面
を境界として持つ有界な領域において、
についてが成り立つ。ここで
は外向き単位法ベクトルである。
10. ベクトル解析
本節ではベクトル値写像を扱う。
10.4 Gaussの発散定理、Stokesの定理
10.4.5 調和関数
における調和関数の平均値公式などを導出する。
調和関数 領域

において、

級関数

が
を満たすとき、
は
における調和関数であるという。ここで演算子
は
と定義する。
調和関数の性質を調べる場合には以下の等式が基本になる。
調和関数の性質 
を滑らかな曲面

を境界として持つ
有界な領域だとする。




を

級関数とする。このとき

について
が成り立つ。ここで
は外向き単位法ベクトルである。
(


とおく。

の定理より、

に注意すれば
が得られる。ここで
とし、
では




である。したがって
が成り立つ。ここで
に注意すれば
が成り立つ。
の連続性から
が成立する。
に注意すれば
のとき
が成立する。
は任意であったから、これは
に他ならず、
が
の近傍において広義積分可能であることから、
において
とすることで示すべき式を得る。
)