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一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。目下、データ分析・語学に力点を置いています。今月(2022年10月)からは多忙につき、日々の投稿数を減らします。

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やりなおしの数学・微分積分篇(63/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 演算子\mathit{\Delta}
    \begin{aligned}\mathit{\Delta}=\displaystyle{\frac{\partial^2}{\partial x^2}}+\displaystyle{\frac{\partial^2}{\partial y^2}}+\displaystyle{\frac{\partial^2}{\partial z^2}}\end{aligned}
    に対して、領域\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^3において、C^2級関数u:\bar{\mathit{\Omega}}\rightarrow\mathbb{R}
    \begin{aligned}\mathit{\Delta} u=0,\ \boldsymbol{x}\in\mathit{\Omega}\end{aligned}
    を満たすとき、u\mathit{\Omega}における調和関数であるという。
  • 調和関数は、\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^3を滑らかな曲面Sを境界として持つ有界な領域において、\boldsymbol{x}_0\in\mathit{\Omega}について
    \begin{aligned}u(\boldsymbol{x}_0)=&\displaystyle{\frac{1}{4\pi}\iint_{S}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0|}\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol{n}}-u\frac{\partial }{\partial\boldsymbol{n}}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0|}\right)\right)}d\sigma\\&-\displaystyle{\frac{1}{4\pi}\iint_{S}\frac{\mathit{\Delta}u}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0|}}dxdydz\end{aligned}
    が成り立つ。ここで\boldsymbol{n}は外向き単位法ベクトルである。

10. ベクトル解析

 本節ではベクトル値写像を扱う。

10.4 Gaussの発散定理、Stokesの定理

10.4.5 調和関数

 \mathbb{R}^3における調和関数の平均値公式などを導出する。



調和関数 領域\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^3において、C^2級関数u:\bar{\mathit{\Omega}}\rightarrow\mathbb{R}


\begin{aligned}
\mathit{\Delta} u=0,\ \boldsymbol{x}\in\mathit{\Omega}
\end{aligned}

を満たすとき、u\mathit{\Omega}における調和関数であるという。ここで演算子\mathit{\Delta}


\begin{aligned}
\mathit{\Delta}=\displaystyle{\frac{\partial^2}{\partial x^2}}+\displaystyle{\frac{\partial^2}{\partial y^2}}+\displaystyle{\frac{\partial^2}{\partial z^2}}
\end{aligned}

と定義する。

 調和関数の性質を調べる場合には以下の等式が基本になる。


調和関数の性質 \mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^3を滑らかな曲面Sを境界として持つ有界な領域だとする。u:\bar{\mathit{\Omega}}\rightarrow\mathbb{R}C^2級関数とする。このとき\boldsymbol{x}_0\in\mathit{\Omega}について


\begin{aligned}
u(\boldsymbol{x}_0)=&\displaystyle{\frac{1}{4\pi}\iint_{S}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0|}\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol{n}}-u\frac{\partial }{\partial\boldsymbol{n}}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0|}\right)\right)}d\sigma\\
&-\displaystyle{\frac{1}{4\pi}\iint_{S}\frac{\mathit{\Delta}u}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0|}}dxdydz
\end{aligned}

が成り立つ。ここで\boldsymbol{n}は外向き単位法ベクトルである。

(\because r=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0|,B_{\varepsilon}=\{\boldsymbol{x}\left|\right.|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0|\leq\varepsilon\}とおく。\mathrm{Green}の定理より、\mathit{\Delta}\left(\displaystyle{\frac{1}{r}}\right)=0に注意すれば


\begin{aligned}
\displaystyle{\iiint_{\mathit{\Omega}\\cap B_{\varepsilon}}\frac{\mathit{\Delta}u}{r}}dxdydz&=\displaystyle{\iint_{\partial(\mathit{\Omega}\\cap B_{\varepsilon})}\left(\displaystyle{\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol{n}}}-u\displaystyle{\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{n}}}\left(\displaystyle{\frac{1}{r}}\right)\right)d\sigma}
\end{aligned}

が得られる。ここで\partial(\mathit{\Omega}\B_{\varepsilon})S\cup\partial B_{\varepsilon}とし、\partial B_{\varepsilon}ではr=\varepsilon,\boldsymbol{n}=-\displaystyle{\frac{1}{r}}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0),\displaystyle{\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{n}}}\left(\displaystyle{\frac{1}{r}}\right)=\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon^2}}である。したがって


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{\partial(\mathit{\Omega}\\cap B_{\varepsilon})}\left(\displaystyle{\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol{n}}}-u\displaystyle{\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{n}}}\left(\displaystyle{\frac{1}{r}}\right)\right)d\sigma}=&
\displaystyle{\iint_{S}\left(\displaystyle{\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol{n}}}-u\displaystyle{\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{n}}}\left(\displaystyle{\frac{1}{r}}\right)\right)d\sigma}\\
&-\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon^2}\iint_{\partial B_{\varepsilon}}u}d\sigma+\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon}\iint_{\partial B_{\varepsilon}}}\displaystyle{\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{n}}}d\sigma
\end{aligned}

が成り立つ。ここで\left|\displaystyle{\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol{n}}}\right|=|(\nabla u,\boldsymbol{n})|\leq|\nabla u|に注意すれば


\begin{aligned}
\left|\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon}\iint_{\partial B_{\varepsilon}}\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{n}}}d\sigma\right|&\leq
\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon}\iint_{\partial B_{\varepsilon}}|\nabla u|}d\sigma\\
&\leq \displaystyle{\frac{1}{\varepsilon}\iint_{\partial B_{\varepsilon}}d\sigma\cdot\max_{x\in\bar{\mathit{\Omega}}}|\nabla u|}\\
&=4\pi\varepsilon\displaystyle{\max_{x\in\bar{\mathit{\Omega}}}|\nabla u|}\rightarrow0(\varepsilon\rightarrow0)
\end{aligned}

が成り立つ。
 u(\boldsymbol{x})の連続性から


\begin{aligned}
{}^{\forall}\nu\gt0\left({}^{\exists}\rho\gt0\left(\left(r=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0|\right)\lt\rho\Rightarrow|u(\boldsymbol{x})-u(\boldsymbol{x}_0)|\lt\nu\right)\right)
\end{aligned}

が成立する。\displaystyle{\iint_{\partial B_{\varepsilon}}}d\sigma=4\pi\varepsilon^2に注意すれば\varepsilon\lt\rhoのとき


\begin{aligned}
\left|\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon^2}\iint_{\partial B_{\varepsilon}}u}d\sigma-4\pi u(\boldsymbol{x}_0)\right|&\leq\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon^2}\iint_{\partial B_{\varepsilon}}|u(\boldsymbol{x})-u(\boldsymbol{x}_0)|}d\sigma\\
&\leq\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon^2}\iint_{\partial B_{\varepsilon}}\nu}d\sigma\\
&=4\pi\nu
\end{aligned}

が成立する。\nu\gt0は任意であったから、これは


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon^2}\iint_{\partial B_{\varepsilon}}u}d\sigma\rightarrow4\pi u(\boldsymbol{x}_0)(\varepsilon\rightarrow0)
\end{aligned}

に他ならず、\displaystyle{\frac{1}{r}}\boldsymbol{x}_0の近傍において広義積分可能であることから、


\begin{aligned}
\displaystyle{\iiint_{\mathit{\Omega}\\cap B_{\varepsilon}}\frac{\mathit{\Delta}u}{r}}dxdydz&=\displaystyle{\iint_{\partial(\mathit{\Omega}\\cap B_{\varepsilon})}\left(\displaystyle{\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol{n}}}-u\displaystyle{\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{n}}}\left(\displaystyle{\frac{1}{r}}\right)\right)d\sigma}
\end{aligned}

において\varepsilon\rightarrow0とすることで示すべき式を得る。 \blacksquare)

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