やりなおしの数学・微分積分篇（63/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

今日のまとめ
10.　ベクトル解析
- 10.4　Gaussの発散定理、Stokesの定理
  - 10.4.5　調和関数

今日のまとめ

演算子 $\mathit{\Delta}$
$\begin{aligned}\mathit{\Delta}=\displaystyle{\frac{\partial^2}{\partial x^2}}+\displaystyle{\frac{\partial^2}{\partial y^2}}+\displaystyle{\frac{\partial^2}{\partial z^2}}\end{aligned}$
に対して、領域 $\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^3$ において、 $C^2$ 級関数 $u:\bar{\mathit{\Omega}}\rightarrow\mathbb{R}$ が
$\begin{aligned}\mathit{\Delta} u=0,\ \boldsymbol{x}\in\mathit{\Omega}\end{aligned}$
を満たすとき、 $u$ は $\mathit{\Omega}$ における調和関数であるという。

調和関数は、 $\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^3$ を滑らかな曲面 $S$ を境界として持つ有界な領域において、 $\boldsymbol{x}_0\in\mathit{\Omega}$ について
$\begin{aligned}u(\boldsymbol{x}_0)=&\displaystyle{\frac{1}{4\pi}\iint_{S}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0|}\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol{n}}-u\frac{\partial }{\partial\boldsymbol{n}}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0|}\right)\right)}d\sigma\\&-\displaystyle{\frac{1}{4\pi}\iint_{S}\frac{\mathit{\Delta}u}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0|}}dxdydz\end{aligned}$
が成り立つ。ここで $\boldsymbol{n}$ は外向き単位法ベクトルである。

10.　ベクトル解析

　本節ではベクトル値写像を扱う。

10.4　Gaussの発散定理、Stokesの定理

10.4.5　調和関数

　 $\mathbb{R}^3$ における調和関数の平均値公式などを導出する。

調和関数　領域 $\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^3$ において、 $C^2$ 級関数 $u:\bar{\mathit{\Omega}}\rightarrow\mathbb{R}$ が

$\begin{aligned} \mathit{\Delta} u=0,\ \boldsymbol{x}\in\mathit{\Omega} \end{aligned}$

を満たすとき、 $u$ は $\mathit{\Omega}$ における調和関数であるという。ここで演算子 $\mathit{\Delta}$ は

$\begin{aligned} \mathit{\Delta}=\displaystyle{\frac{\partial^2}{\partial x^2}}+\displaystyle{\frac{\partial^2}{\partial y^2}}+\displaystyle{\frac{\partial^2}{\partial z^2}} \end{aligned}$

と定義する。

　調和関数の性質を調べる場合には以下の等式が基本になる。

調和関数の性質　 $\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^3$ を滑らかな曲面 $S$ を境界として持つ有界な領域だとする。 $u:$ $\bar{\mathit{\Omega}}$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}$ を $C^2$ 級関数とする。このとき $\boldsymbol{x}_0\in\mathit{\Omega}$ について

$\begin{aligned} u(\boldsymbol{x}_0)=&\displaystyle{\frac{1}{4\pi}\iint_{S}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0|}\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol{n}}-u\frac{\partial }{\partial\boldsymbol{n}}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0|}\right)\right)}d\sigma\\ &-\displaystyle{\frac{1}{4\pi}\iint_{S}\frac{\mathit{\Delta}u}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0|}}dxdydz \end{aligned}$

が成り立つ。ここで $\boldsymbol{n}$ は外向き単位法ベクトルである。

( $\because$ 　 $r=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0|,$ $B_{\varepsilon}=\{\boldsymbol{x}\left|\right.|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0|\leq\varepsilon\}$ とおく。 $\mathrm{Green}$ の定理より、 $\mathit{\Delta}\left(\displaystyle{\frac{1}{r}}\right)=0$ に注意すれば

$\begin{aligned} \displaystyle{\iiint_{\mathit{\Omega}＼\cap B_{\varepsilon}}\frac{\mathit{\Delta}u}{r}}dxdydz&=\displaystyle{\iint_{\partial(\mathit{\Omega}＼\cap B_{\varepsilon})}\left(\displaystyle{\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol{n}}}-u\displaystyle{\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{n}}}\left(\displaystyle{\frac{1}{r}}\right)\right)d\sigma} \end{aligned}$

が得られる。ここで $\partial(\mathit{\Omega}＼B_{\varepsilon})S\cup\partial B_{\varepsilon}$ とし、 $\partial B_{\varepsilon}$ では $r=\varepsilon,$ $\boldsymbol{n}=$ $-\displaystyle{\frac{1}{r}}$ $(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0),$ $\displaystyle{\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{n}}}\left(\displaystyle{\frac{1}{r}}\right)$ $=\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon^2}}$ である。したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\iint_{\partial(\mathit{\Omega}＼\cap B_{\varepsilon})}\left(\displaystyle{\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol{n}}}-u\displaystyle{\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{n}}}\left(\displaystyle{\frac{1}{r}}\right)\right)d\sigma}=& \displaystyle{\iint_{S}\left(\displaystyle{\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol{n}}}-u\displaystyle{\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{n}}}\left(\displaystyle{\frac{1}{r}}\right)\right)d\sigma}\\ &-\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon^2}\iint_{\partial B_{\varepsilon}}u}d\sigma+\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon}\iint_{\partial B_{\varepsilon}}}\displaystyle{\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{n}}}d\sigma \end{aligned}$

が成り立つ。ここで $\left|\displaystyle{\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol{n}}}\right|=|(\nabla u,\boldsymbol{n})|\leq|\nabla u|$ に注意すれば

$\begin{aligned} \left|\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon}\iint_{\partial B_{\varepsilon}}\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{n}}}d\sigma\right|&\leq \displaystyle{\frac{1}{\varepsilon}\iint_{\partial B_{\varepsilon}}|\nabla u|}d\sigma\\ &\leq \displaystyle{\frac{1}{\varepsilon}\iint_{\partial B_{\varepsilon}}d\sigma\cdot\max_{x\in\bar{\mathit{\Omega}}}|\nabla u|}\\ &=4\pi\varepsilon\displaystyle{\max_{x\in\bar{\mathit{\Omega}}}|\nabla u|}\rightarrow0(\varepsilon\rightarrow0) \end{aligned}$

が成り立つ。
　 $u(\boldsymbol{x})$ の連続性から

$\begin{aligned} {}^{\forall}\nu\gt0\left({}^{\exists}\rho\gt0\left(\left(r=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0|\right)\lt\rho\Rightarrow|u(\boldsymbol{x})-u(\boldsymbol{x}_0)|\lt\nu\right)\right) \end{aligned}$

が成立する。 $\displaystyle{\iint_{\partial B_{\varepsilon}}}d\sigma=4\pi\varepsilon^2$ に注意すれば $\varepsilon\lt\rho$ のとき

$\begin{aligned} \left|\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon^2}\iint_{\partial B_{\varepsilon}}u}d\sigma-4\pi u(\boldsymbol{x}_0)\right|&\leq\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon^2}\iint_{\partial B_{\varepsilon}}|u(\boldsymbol{x})-u(\boldsymbol{x}_0)|}d\sigma\\ &\leq\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon^2}\iint_{\partial B_{\varepsilon}}\nu}d\sigma\\ &=4\pi\nu \end{aligned}$

が成立する。 $\nu\gt0$ は任意であったから、これは

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{1}{\varepsilon^2}\iint_{\partial B_{\varepsilon}}u}d\sigma\rightarrow4\pi u(\boldsymbol{x}_0)(\varepsilon\rightarrow0) \end{aligned}$