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やりなおしの数学・微分積分篇(61/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • ベクトル値関数\boldsymbol{V}に対して\boldsymbol{V}=\mathrm{grad\ }fを満たすようなf\boldsymbol{V}ポテンシャルという。
  • n=2,3とし\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^2を領域、f:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}C^1級実数値関数とする。このとき\mathit{\Omega}内の任意の向き付けられた曲線\vec{C}に対して
    \begin{aligned}\displaystyle{\int_{\vec{C}}(\mathrm{grad\ }f)\cdot d\boldsymbol{x}}=f(\boldsymbol{q}_0)-f(\boldsymbol{p}_0)\end{aligned}
    が成立する。ここで\boldsymbol{p}_0\vec{C}の始点、\boldsymbol{q}_0\vec{C}の終点である。

10. ベクトル解析

 本節ではベクトル値写像を扱う。

10.4 Gaussの発散定理、Stokesの定理

10.4.4 Gaussの発散定理、Stokesの定理の応用

 ベクトル値関数\boldsymbol{V}に対して\boldsymbol{V}=\mathrm{grad\ }fを満たすようなf\boldsymbol{V}ポテンシャルという。
 向きを込めてパラメータ付けされた曲線\vec{C}およびベクトル値関数\boldsymbol{V}に対してその線積分\displaystyle{\int_{\vec{C}} \boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{x}}を用いる。すなわち向き付けを込めて\boldsymbol{\gamma}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^nにより\vec{C}がパラメータ付けされているとき、


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{\vec{C}} \boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{x}}=\displaystyle{\int_a^b \sum_{i=1}^{n}V_i(\boldsymbol{\gamma})\gamma_i^{\prime}ds}=\displaystyle{\int_a^b\left(\boldsymbol{V},\boldsymbol{\frac{\boldsymbol{\gamma}^{\prime}}{|\boldsymbol{\gamma}^{\prime}|}}\right)}dl
\end{aligned}

である。
 まずポテンシャルを持つベクトル値関数の性質を調べる。


ポテンシャルを持つベクトル値関数の性質 n=2,3とし\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^2を領域、f:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}C^1級実数値関数とする。このとき\mathit{\Omega}内の任意の向き付けられた曲線\vec{C}に対して


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{\vec{C}}(\mathrm{grad\ }f)\cdot d\boldsymbol{x}}=f(\boldsymbol{q}_0)-f(\boldsymbol{p}_0)
\end{aligned}

が成立する。ここで\boldsymbol{p}_0\vec{C}の始点、\boldsymbol{q}_0\vec{C}の終点である。

(\because \vec{C}の向きを込め得たパラメータ付けを\boldsymbol{\gamma}:[a,b]\rightarrow\mathit{\Omega},\ \boldsymbol{p}_0=\boldsymbol{\gamma}(a),\boldsymbol{q}_0=\boldsymbol{\gamma}(b)とする。このとき


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{\vec{C}}(\mathrm{grad\ }f)\cdot d\boldsymbol{x}}&=\displaystyle{\int_a^b (\mathrm{grad}\ f)(\boldsymbol{\gamma}),\boldsymbol{\gamma}^{\prime}}d\tau\\
&=\displaystyle{\int_a^b\frac{d}{d\tau}(f(\boldsymbol{\gamma}))}d\tau\\
&=f(\boldsymbol{\gamma}(b))-f(\boldsymbol{\gamma}(a))\\
&=f(\boldsymbol{q}_0)-f(\boldsymbol{p}_0)
\end{aligned}

が成り立つ。 \blacksquare)

 始点と終点が一致するような曲線を閉曲線という。



勾配が0であるような関数の線積分 n=2,3として\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^nを凸領域、\boldsymbol{V}:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}^nC^1級ベクトル値関数で\mathrm{rot\ }\boldsymbol{V}=0を満たすとする。このとき\mathit{\Omega}の閉曲線\vec{C}に対して


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{\vec{C}}\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{x}}=0
\end{aligned}

が成り立つ。

(\because n=2のときは\vec{C}に囲まれる領域に\mathrm{Green}の定理を用いればよい。
 n=3のときを考える。\mathit{\Omega}が凸であることから、与えられた閉曲線\vec{C}に対して、\mathit{\Omega}に含まれる曲面Sで境界を\vec{C}とするようなものが存在する。\vec{C}の単位接ベクトルおよび単位法ベクトルをそれぞれ\boldsymbol{t},\boldsymbol{n}とすれば、\mathrm{Stokes}の定理より


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{\vec{C}}\boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{x}}=\displaystyle{\int_C(\boldsymbol{V},\boldsymbol{t})}dl=\displaystyle{\iint_S(\mathrm{rot\ }\boldsymbol{V},\boldsymbol{n})}d\sigma=0
\end{aligned}

が得られる。 \blacksquare)

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