やりなおしの数学・微分積分篇（68/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

今日のまとめ
10.　ベクトル解析
- 10.5　n次元におけるGaussの発散定理
  - 10.5.2　超曲面の曲面積
  - 10.5.3　n次元におけるGaussの発散定理
11.　陰関数定理と逆写像定理
- 11.2　より一般形の陰関数定理

今日のまとめ

陰関数定理は、点 $(x_0,y_0)$ において $f(x_0,y_0)=0,$ $f_y(x_0,y_0)\neq0$ を満たすとき $\delta,\rho\gt0$ を充分小さく取れば、小長方形 $\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)$ $\times$ $\left(y_0-\rho,y_0+\rho\right)$ の中で $f(x,y)=0$ はグラフ $y=\varphi(x)$ の形に書くことができることを保証する。

それをより一般化した書き方ができる。

10.　ベクトル解析

　本節ではベクトル値写像を扱う。

10.5　n次元におけるGaussの発散定理

10.5.2　超曲面の曲面積

定理　曲面積　 $D\subset\mathbb{R}^{n-1}$ を有界な閉領域でその境界は区分的に滑らかな $(n-2)$ 次元曲面とする。 $\boldsymbol{\gamma}:D\rightarrow\mathbb{R}^n$ を $C^1$ 級写像で、すべての $\boldsymbol{t}\in D$ に対して

$\begin{aligned}\boldsymbol{\gamma}_{t_1}(\boldsymbol{t})=\begin{bmatrix}\gamma_{1t_1}(\boldsymbol{t})\\\gamma_{2t_1}(\boldsymbol{t})\\\vdots\\\gamma_{nt_1}(\boldsymbol{t})\end{bmatrix},\boldsymbol{\gamma}_{t_2}(\boldsymbol{t})=\begin{bmatrix}\gamma_{1t_2}(\boldsymbol{t})\\\gamma_{2t_2}(\boldsymbol{t})\\\vdots\\\gamma_{nt_2}(\boldsymbol{t})\end{bmatrix},\cdots,\boldsymbol{\gamma}_{t_k}(\boldsymbol{t})=\begin{bmatrix}\gamma_{1t_k}(\boldsymbol{t})\\\gamma_{2t_k}(\boldsymbol{t})\\\vdots\\\gamma_{nt_k}(\boldsymbol{t})\end{bmatrix}\end{aligned}$

は一次独立である。このとき $M=\left\{\boldsymbol{\gamma}(\boldsymbol{t})\left|\right.\boldsymbol{t}\in D\right\}$ でパラメータ表示される $(n-1)$ 次元曲面の $(n-1)$ 次元曲面積 $m_{n-1}M)$ は

$\begin{aligned} m_{n-1}\left(M\right)=\displaystyle{\int\cdots\int_{D} m_{n-1}\left(\boldsymbol{\gamma}_{t_{1}}\left(\boldsymbol{t}\right),\cdots,\boldsymbol{\gamma}_{t_{n-1}}\left(\boldsymbol{t}\right)\right)}dt_1\cdots dt_{n-1} \end{aligned}$

で与えられる。

10.5.3　n次元におけるGaussの発散定理

　 $\mathbb{R}^n$ に $\mathrm{Gauss}$ の発散定理を拡張する。

$\mathrm{Gauss}$ の発散定理の拡張　区分的に滑らかな超曲面 $S$ に囲まれた $\mathbb{R}^n$ の有界な閉領域を $\bar{\Omega}$ とし、 $\bar{\Omega}$ の近傍上定められた $C^1$ 級写像

$\begin{aligned} \boldsymbol{V}\left(\boldsymbol{x}\right)=\begin{bmatrix} V_{1}\left(\boldsymbol{x}\right)\\ \vdots\\ V_{n}\left(\boldsymbol{x}\right) \end{bmatrix} \end{aligned}$

に対して次が成立する。

$\begin{aligned} \displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega}\mathrm{div}\ \boldsymbol{V} dx_1\cdots dx_n}=\displaystyle{\int\cdots\int_{S}\left(\boldsymbol{V},\boldsymbol{n}\right)}d\sigma \end{aligned}$

ここで $\boldsymbol{n}$ は $S$ の外向き単位法線法ベクトルである。

11.　陰関数定理と逆写像定理

11.2　より一般形の陰関数定理

　 $m,n\in\mathbb{N}$ を取り、空でない開集合 $\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^{m+n}$ と $n$ 個の関数

$\begin{aligned} f_{1}(x_1,\cdots,x_{m+n})&:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R},\\ \vdots&\\ f_{n}(x_1,\cdots,x_{m+n})&:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R} \end{aligned}$

が与えられたとき、 $n$ 個の条件

$\begin{aligned} f_{1}(x_1,\cdots,x_{m+n})=\cdots=f_{n}(x_1,\cdots,x_{m+n})=0 \end{aligned}$

を満たすような $\mathit{\Omega}$ 内の点 $(x_1,\cdots,x_{m+n})$ はどのような図形になるか。この問いに局所的な解を与えるのが陰関数定理である。

　議論を行うための準備として、以下のように記号を設定する。まず

$\begin{aligned} y_i&=x_{m+i},i=1,2,\cdots,n,\\ \boldsymbol{x}&=(x_1,\cdots,x_m),\\ \boldsymbol{y}&=(y_1,\cdots,y_n),\\ \end{aligned}$

とおく。
　また $\boldsymbol{x}_0=(x_{01},\cdots,x_{om})\in\mathbb{R}^m,r\gt0$ に対して、 $\boldsymbol{x}_0$ を中心とした半径 $r$ の $\mathbb{R}^m$ 内の境界を含まない開球を $B_{\mathbb{R}^m}\left(\boldsymbol{x}_0,r\right)$ とおく。同様の閉球を $\bar{B}_{\mathbb{R}^m}\left(\boldsymbol{x}_0,r\right)$ とおく。

陰関数定理(一般形)　 $\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^{m+n}$ を空でない開集合、 $f_i(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}):$ $\mathit{\Omega}$ $\rightarrow$ $\mathbb{R},$ $i=1,\cdots,n$ を $C^1$ 級関数とする。 $\left(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0\right)\in\mathit{\Omega}$ が

$\begin{aligned} f_i\left(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0\right)=0,i=1,2,\cdots,n \end{aligned}$

を満たし、更に

$\begin{aligned} \mathrm{det}\left(\begin{bmatrix} \displaystyle{\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}\left(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0\right)&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{n}}}\left(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0\right)\\ \vdots&&\vdots\\ \displaystyle{\frac{\partial f_{n}}{\partial y_{1}}}\left(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0\right)&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial f_{n}}{\partial y_{n}}}\left(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0\right) \end{bmatrix}\right) \end{aligned}$

が成り立つならば、以下の条件

	(1)	$\bar{B}_{\mathbb{R}^m}\left(\boldsymbol{x}_0,\delta\right)\times\bar{B}_{\mathbb{R}^n}\left(\boldsymbol{y}_0,\rho\right)\subset\mathit{\Omega}$
	(2)	${}^{\forall}\boldsymbol{x}\in B_{\mathbb{R}^m}\left(\boldsymbol{x}_0,\delta\right)\left({}^{!\forall}\boldsymbol{y}\in B_{\mathbb{R}^n}\left(\boldsymbol{y}_0,\rho\right)\ \mathrm{s.t.}\ f_i\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\right)=0,i=1,2,\cdots,n$
	(3)	(2)を満たすような $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})=$ $(\varphi_1(\boldsymbol{x}),$ $\cdots,$ $\varphi_n(\boldsymbol{x})$ とする。このとき $\begin{aligned}f_1(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\cdots=f_n(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=0\end{aligned}$ を満たすような $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ は $B_{\mathbb{R}^m}\left(\boldsymbol{x}_0,\delta\right)\times B_{\mathbb{R}^n}\left(\boldsymbol{y}_0,\rho\right)$ 内において $\begin{aligned}\begin{cases}y_1&=\varphi_{1}(\boldsymbol{x}),\\\vdots&\\y_n&=\varphi_{n}(\boldsymbol{x})\end{cases}\end{aligned}$ とパラメータ表示するとき、 $\varphi_i(\boldsymbol{x}):B_{\mathbb{R}^m}\left(\boldsymbol{x}_0,\delta\right)\rightarrow\mathbb{R},$ $i=1,2,\cdots,n$ は $C^1$ 級であり、 $\begin{aligned}\begin{bmatrix}\displaystyle{\frac{\partial\varphi_{1}}{\partial x_{1}}}(\boldsymbol{x})&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial\varphi_{1}}{\partial x_{m}}}(\boldsymbol{x})\\\vdots&&\vdots\\\displaystyle{\frac{\partial\varphi_{n}}{\partial x_{1}}}(\boldsymbol{x})&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial\varphi_{n}}{\partial x_{m}}}(\boldsymbol{x})\end{bmatrix}=&-\begin{bmatrix}\displaystyle{\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}) )&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{n}}}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}) )\\\vdots&&\vdots\\\displaystyle{\frac{\partial f_{n}}{\partial y_{1}}}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}) )&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial f_{n}}{\partial y_{n}}}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}) )\end{bmatrix}^{-1}\\&\begin{bmatrix}\displaystyle{\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}) )&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{m}}}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}) )\\\vdots&&\vdots\\\displaystyle{\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}) )&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{m}}}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}) )\end{bmatrix}\end{aligned}$