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やりなおしの数学・微分積分篇(68/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 陰関数定理は、点(x_0,y_0)においてf(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)\neq0を満たすとき\delta,\rho\gt0を充分小さく取れば、小長方形\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)\times\left(y_0-\rho,y_0+\rho\right)の中でf(x,y)=0はグラフy=\varphi(x)の形に書くことができることを保証する。
  • それをより一般化した書き方ができる。

10. ベクトル解析

 本節ではベクトル値写像を扱う。

10.5 n次元におけるGaussの発散定理

10.5.2 超曲面の曲面積


定理 曲面積 D\subset\mathbb{R}^{n-1}有界な閉領域でその境界は区分的に滑らかな(n-2)次元曲面とする。\boldsymbol{\gamma}:D\rightarrow\mathbb{R}^nC^1写像で、すべての\boldsymbol{t}\in Dに対して
\begin{aligned}\boldsymbol{\gamma}_{t_1}(\boldsymbol{t})=\begin{bmatrix}\gamma_{1t_1}(\boldsymbol{t})\\\gamma_{2t_1}(\boldsymbol{t})\\\vdots\\\gamma_{nt_1}(\boldsymbol{t})\end{bmatrix},\boldsymbol{\gamma}_{t_2}(\boldsymbol{t})=\begin{bmatrix}\gamma_{1t_2}(\boldsymbol{t})\\\gamma_{2t_2}(\boldsymbol{t})\\\vdots\\\gamma_{nt_2}(\boldsymbol{t})\end{bmatrix},\cdots,\boldsymbol{\gamma}_{t_k}(\boldsymbol{t})=\begin{bmatrix}\gamma_{1t_k}(\boldsymbol{t})\\\gamma_{2t_k}(\boldsymbol{t})\\\vdots\\\gamma_{nt_k}(\boldsymbol{t})\end{bmatrix}\end{aligned}
は一次独立である。このときM=\left\{\boldsymbol{\gamma}(\boldsymbol{t})\left|\right.\boldsymbol{t}\in D\right\}でパラメータ表示される(n-1)次元曲面の(n-1)次元曲面積m_{n-1}M)


\begin{aligned}
m_{n-1}\left(M\right)=\displaystyle{\int\cdots\int_{D} m_{n-1}\left(\boldsymbol{\gamma}_{t_{1}}\left(\boldsymbol{t}\right),\cdots,\boldsymbol{\gamma}_{t_{n-1}}\left(\boldsymbol{t}\right)\right)}dt_1\cdots dt_{n-1}
\end{aligned}

で与えられる。

10.5.3 n次元におけるGaussの発散定理

 \mathbb{R}^n\mathrm{Gauss}の発散定理を拡張する。


\mathrm{Gauss}の発散定理の拡張 区分的に滑らかな超曲面Sに囲まれた\mathbb{R}^n有界な閉領域を\bar{\Omega}とし、\bar{\Omega}の近傍上定められたC^1写像


\begin{aligned}
\boldsymbol{V}\left(\boldsymbol{x}\right)=\begin{bmatrix}
V_{1}\left(\boldsymbol{x}\right)\\
\vdots\\
V_{n}\left(\boldsymbol{x}\right)
\end{bmatrix}
\end{aligned}

に対して次が成立する。


\begin{aligned}
\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega}\mathrm{div}\ \boldsymbol{V} dx_1\cdots dx_n}=\displaystyle{\int\cdots\int_{S}\left(\boldsymbol{V},\boldsymbol{n}\right)}d\sigma
\end{aligned}

ここで\boldsymbol{n}Sの外向き単位法線法ベクトルである。

11. 陰関数定理と逆写像定理

11.2 より一般形の陰関数定理

 m,n\in\mathbb{N}を取り、空でない開集合\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^{m+n}n個の関数


\begin{aligned}
f_{1}(x_1,\cdots,x_{m+n})&:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R},\\
\vdots&\\
f_{n}(x_1,\cdots,x_{m+n})&:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}
\end{aligned}

が与えられたとき、n個の条件


\begin{aligned}
f_{1}(x_1,\cdots,x_{m+n})=\cdots=f_{n}(x_1,\cdots,x_{m+n})=0
\end{aligned}

を満たすような\mathit{\Omega}内の点(x_1,\cdots,x_{m+n})はどのような図形になるか。この問いに局所的な解を与えるのが陰関数定理である。

 議論を行うための準備として、以下のように記号を設定する。まず


\begin{aligned}
y_i&=x_{m+i},i=1,2,\cdots,n,\\
\boldsymbol{x}&=(x_1,\cdots,x_m),\\
\boldsymbol{y}&=(y_1,\cdots,y_n),\\
\end{aligned}

とおく。
 また\boldsymbol{x}_0=(x_{01},\cdots,x_{om})\in\mathbb{R}^m,r\gt0に対して、\boldsymbol{x}_0を中心とした半径r\mathbb{R}^m内の境界を含まない開球をB_{\mathbb{R}^m}\left(\boldsymbol{x}_0,r\right)とおく。同様の閉球を\bar{B}_{\mathbb{R}^m}\left(\boldsymbol{x}_0,r\right)とおく。




陰関数定理(一般形) \mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^{m+n}を空でない開集合、f_i(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}):\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R},i=1,\cdots,nC^1級関数とする。\left(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0\right)\in\mathit{\Omega}


\begin{aligned}
f_i\left(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0\right)=0,i=1,2,\cdots,n
\end{aligned}

を満たし、更に


\begin{aligned}
\mathrm{det}\left(\begin{bmatrix}
\displaystyle{\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}\left(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0\right)&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{n}}}\left(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0\right)\\
\vdots&&\vdots\\
\displaystyle{\frac{\partial f_{n}}{\partial y_{1}}}\left(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0\right)&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial f_{n}}{\partial y_{n}}}\left(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0\right)
\end{bmatrix}\right)
\end{aligned}

が成り立つならば、以下の条件

  (1) \bar{B}_{\mathbb{R}^m}\left(\boldsymbol{x}_0,\delta\right)\times\bar{B}_{\mathbb{R}^n}\left(\boldsymbol{y}_0,\rho\right)\subset\mathit{\Omega}
  (2) {}^{\forall}\boldsymbol{x}\in B_{\mathbb{R}^m}\left(\boldsymbol{x}_0,\delta\right)\left({}^{!\forall}\boldsymbol{y}\in B_{\mathbb{R}^n}\left(\boldsymbol{y}_0,\rho\right)\ \mathrm{s.t.}\ f_i\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\right)=0,i=1,2,\cdots,n
  (3) (2)を満たすような\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})=(\varphi_1(\boldsymbol{x}),\cdots,\varphi_n(\boldsymbol{x})とする。このとき
\begin{aligned}f_1(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\cdots=f_n(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=0\end{aligned}
を満たすような(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})B_{\mathbb{R}^m}\left(\boldsymbol{x}_0,\delta\right)\times B_{\mathbb{R}^n}\left(\boldsymbol{y}_0,\rho\right)内において
\begin{aligned}\begin{cases}y_1&=\varphi_{1}(\boldsymbol{x}),\\\vdots&\\y_n&=\varphi_{n}(\boldsymbol{x})\end{cases}\end{aligned}
とパラメータ表示するとき、\varphi_i(\boldsymbol{x}):B_{\mathbb{R}^m}\left(\boldsymbol{x}_0,\delta\right)\rightarrow\mathbb{R},i=1,2,\cdots,nC^1級であり、
\begin{aligned}\begin{bmatrix}\displaystyle{\frac{\partial\varphi_{1}}{\partial x_{1}}}(\boldsymbol{x})&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial\varphi_{1}}{\partial x_{m}}}(\boldsymbol{x})\\\vdots&&\vdots\\\displaystyle{\frac{\partial\varphi_{n}}{\partial x_{1}}}(\boldsymbol{x})&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial\varphi_{n}}{\partial x_{m}}}(\boldsymbol{x})\end{bmatrix}=&-\begin{bmatrix}\displaystyle{\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}) )&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{n}}}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}) )\\\vdots&&\vdots\\\displaystyle{\frac{\partial f_{n}}{\partial y_{1}}}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}) )&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial f_{n}}{\partial y_{n}}}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}) )\end{bmatrix}^{-1}\\&\begin{bmatrix}\displaystyle{\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}) )&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{m}}}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}) )\\\vdots&&\vdots\\\displaystyle{\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}) )&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{m}}}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}) )\end{bmatrix}\end{aligned}

を満たすような\delta,\rho\gt0が存在する。

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