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一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。目下、データ分析・語学に力点を置いています。今月(2022年10月)からは多忙につき、日々の投稿数を減らします。

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やりなおしの数学・微分積分篇(66/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • \mathrm{Brouwer}不動点定理:連続写像\boldsymbol{f}:B\rightarrow Bには

    \begin{aligned}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)=\boldsymbol{x}_0\end{aligned}

    を満たすような点\boldsymbol{x}_0\in Bが存在する。
  • \mathbb{R}^n内のn-1個のベクトル\boldsymbol{a}_1=\begin{bmatrix}a_{1,1}\\\vdots\\a_{n,1}\end{bmatrix},\cdots\boldsymbol{a}_{n-1}=\begin{bmatrix}a_{1,n-1}\\\vdots\\a_{n,n-1}\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^nによって張られる(n-1)次元平行多面体

    \begin{aligned}\left\{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n-1}t_i\boldsymbol{a}_i\left|\right.t_1,\cdots,t_{n-1}\in[0,1]}\right\}\end{aligned}

    (n-1)次元体積m_{n-1}(\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_{n-1})について、

    \begin{aligned}m_{n-1}(\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_{n-1})=\displaystyle{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(\det\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots&a_{1,n-1}\\\vdots&&\vdots\\a_{i-1,1}&\cdots&a_{i-1,n-1}\\a_{i+1,1}&\cdots&a_{i+1,n-1}\\\vdots&&\vdots\\a_{n,1}&\cdots&a_{n,n-1}\end{bmatrix}\right)^2}}\end{aligned}

    が成り立つ。

10. ベクトル解析

 本節ではベクトル値写像を扱う。

10.4 Gaussの発散定理、Stokesの定理

10.4.6 Brouwerの不動点定理


\mathrm{Brouwer}不動点定理 連続写像\boldsymbol{f}:B\rightarrow Bには


\begin{aligned}
\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)=\boldsymbol{x}_0
\end{aligned}

を満たすような点\boldsymbol{x}_0\in Bが存在する。このような点\boldsymbol{x}_0\in B不動点という。

(\because 連続写像\boldsymbol{f}:B\rightarrow B不動点を持たない、すなわち

\begin{aligned}
{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in B\left(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\neq\boldsymbol{x}\right)
\end{aligned}

と仮定する。\boldsymbol{x}\in Bに対して\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})\in \partial B


\begin{aligned}
\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})+t(\boldsymbol{})\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\right)
\end{aligned}

で定義する。ここで


\begin{aligned}
t(\boldsymbol{x})=\displaystyle{\frac{-(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}),\boldsymbol{x}-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) )+\sqrt{(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}),\boldsymbol{x}-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) )^2+\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\right|^2\left(1-\left|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\right|^2\right)^2}}{\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\right|^2}}
\end{aligned}

である。これは、点\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})から\boldsymbol{x}方向に直線を引いたときに境界\partial Bと交わった点を\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})とすることを意味する。
 このとき\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})は連続であり、


\begin{aligned}
&{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in \partial B\left(\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}\right),\\
&{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in  B\left(\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})\in\partial B\right)
\end{aligned}

を満たしている。特にすべての\boldsymbol{x}\in Bに対して\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})\neq\boldsymbol{0}が成り立つ。これは前回示した零点の存在に矛盾する。したがって\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})不動点を持つ。 \blacksquare)

 \mathrm{Brouwer}不動点定理は任意のn次元でも成立する。

10.5 n次元におけるGaussの発散定理

10.5.1 n次元におけるk次元曲面

 k,n\in\mathit{\mathbb{N}},k\lt nとし、D\subset\mathrm{R}^kを領域とする。C^l\mathbb{R}^n値関数


\begin{aligned}
\boldsymbol{\gamma}:D\rightarrow\mathbb{R}^n;\boldsymbol{t}=\begin{bmatrix}t_1\\t_2\\\vdots\\t_k\end{bmatrix}\mapsto\boldsymbol{\gamma}(\boldsymbol{t})=\begin{bmatrix}\gamma_1(\boldsymbol{t})\\\gamma_2(\boldsymbol{t})\\\vdots\\\\\gamma_n(\boldsymbol{t})\end{bmatrix}
\end{aligned}

が以下の性質を持つものとする。

  • \boldsymbol{t}\in Dに対して
    \begin{aligned}\boldsymbol{\gamma}_{t_1}(\boldsymbol{t})=\begin{bmatrix}\gamma_{1t_1}(\boldsymbol{t})\\\gamma_{2t_1}(\boldsymbol{t})\\\vdots\\\gamma_{nt_1}(\boldsymbol{t})\end{bmatrix},\boldsymbol{\gamma}_{t_2}(\boldsymbol{t})=\begin{bmatrix}\gamma_{1t_2}(\boldsymbol{t})\\\gamma_{2t_2}(\boldsymbol{t})\\\vdots\\\gamma_{nt_2}(\boldsymbol{t})\end{bmatrix},\cdots,\boldsymbol{\gamma}_{t_k}(\boldsymbol{t})=\begin{bmatrix}\gamma_{1t_k}(\boldsymbol{t})\\\gamma_{2t_k}(\boldsymbol{t})\\\vdots\\\gamma_{nt_k}(\boldsymbol{t})\end{bmatrix}\end{aligned}
    は一次独立である。


このときM=\left\{\boldsymbol{\gamma}(\boldsymbol{t})\left|\right.\boldsymbol{t}\in D\right\}により表される図形を\mathit{\mathbb{R}}^n内のC^lk次元曲面と呼ぶ。なおk=n-1のとき、\mathit{\mathbb{R}}^nにおける超平面という。

10.5.2 超曲面の曲面積

 \mathit{\mathbb{R}}^n内のk次元曲面の曲面積を定義する。\mathbb{R}^n内のn-1個のベクトル\boldsymbol{a}_1=\begin{bmatrix}a_{1,1}\\\vdots\\a_{n,1}\end{bmatrix},\cdots\boldsymbol{a}_{n-1}=\begin{bmatrix}a_{1,n-1}\\\vdots\\a_{n,n-1}\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^nによって張られる(n-1)次元平行多面体


\begin{aligned}
\left\{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n-1}t_i\boldsymbol{a}_i\left|\right.t_1,\cdots,t_{n-1}\in[0,1]}\right\}
\end{aligned}

(n-1)次元体積をm_{n-1}(\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_{n-1})とおく。このとき以下が成り立つ。


(n-1)次元平行多面体の(n-1)次元体積 \mathbb{R}^n内のn-1個のベクトル\boldsymbol{a}_1=\begin{bmatrix}a_{1,1}\\\vdots\\a_{n,1}\end{bmatrix},\cdots\boldsymbol{a}_{n-1}=\begin{bmatrix}a_{1,n-1}\\\vdots\\a_{n,n-1}\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^nによって張られる(n-1)次元平行多面体


\begin{aligned}
\left\{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n-1}t_i\boldsymbol{a}_i\left|\right.t_1,\cdots,t_{n-1}\in[0,1]}\right\}
\end{aligned}

(n-1)次元体積m_{n-1}(\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_{n-1})について、


\begin{aligned}
m_{n-1}(\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_{n-1})=\displaystyle{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(\det\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots&a_{1,n-1}\\\vdots&&\vdots\\a_{i-1,1}&\cdots&a_{i-1,n-1}\\a_{i+1,1}&\cdots&a_{i+1,n-1}\\\vdots&&\vdots\\a_{n,1}&\cdots&a_{n,n-1}\end{bmatrix}\right)^2}}
\end{aligned}

が成り立つ。

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