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やりなおしの数学・微分積分篇(56/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • ベクトルにおける接線・接平面を議論する

10. ベクトル解析

 本節ではベクトル値写像を扱う。

10.2 曲線および曲面

 

10.2.1 曲線および曲面

 まずは\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3における曲線および曲面のいくつかの表示方法を議論する。

  • パラメータ(陽関数)表示:媒介変数を用いて表示する
    \begin{aligned}\begin{cases}x&=\cos\theta\\y&=\sin\theta\end{cases},\theta\in[0,2\pi)\end{aligned}
  • 陰関数表示:
    \begin{aligned}x^2+y^2+z^2=1\end{aligned}


以降、いくつかの条件を課す:

  • 曲線ないし曲面Cのパラメータ表示がC^l写像で書けるとき、その微分は常に零ベクトルでない。
  • 曲面Cのパラメータ表示の各媒介変数での微分同士は一次独立である
  • 曲線ないし曲面Cの陰関数表示のナブラは常に零ベクトルでない
10.2.2 接線および接平面

 曲線C\subset\mathbb{R}^n,n=2,3\boldsymbol{\gamma}:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}^nでパラメータ表示されるとする。このとき\boldsymbol{p}_0=\boldsymbol{\gamma}(\tau_0),\tau_0\in(a,b)における\boldsymbol{\gamma}(\tau)微分



\begin{aligned}
\boldsymbol{\gamma}^{\prime}(\tau_0)&=\begin{bmatrix}
\gamma_1^{\prime}(\tau_0)\\
\gamma_2^{\prime}(\tau_0)
\end{bmatrix},\\
\boldsymbol{\gamma}^{\prime}(\tau_0)&=\begin{bmatrix}
\gamma_1^{\prime}(\tau_0)\\
\gamma_2^{\prime}(\tau_0)\\
\gamma_3^{\prime}(\tau_0)
\end{bmatrix}
\end{aligned}


と書ける。
 このため点\boldsymbol{p}_0における接線は、パラメータをsとして



\begin{aligned}
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}_0+s\boldsymbol{\gamma}^{\prime}(\tau_0)
\end{aligned}


と書く*1
 なお接線の方向を表すベクトル\lambda\boldsymbol{\gamma}^{\prime}(\tau),\tau\in\mathbb{R}を曲線(曲面)Cの点\boldsymbol{p}_0における接ベクトルといい、その全体を接ベクトル空間という。

 また曲面が\gamma:D(\subset\mathbb{R}^2)\rightarrow\mathbb{R}^3,f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}によりパラメータ表示ないし陰関数表示されているとする。
 \boldsymbol{p}_0=(x_0,y_0,z_0)\in Sにおける接平面



\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}(\boldsymbol{p}_0)(x-x_0)+
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}(\boldsymbol{p}_0)(y-y_0)+
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial z}}(\boldsymbol{p}_0)(z-z_0)=0
\end{aligned}


もしくは



\begin{aligned}
(\nabla f(\boldsymbol{p}_0),\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}_0)=0
\end{aligned}


で与えられる。ここで\nabla f(\boldsymbol{p}_0)は法ベクトルを与えている。
 次に曲面のパラメータ表示を考える。\boldsymbol{p}_0=\boldsymbol{\gamma}(s_0,t_0)とする。



\begin{aligned}
{}^{\forall}(s,t)\in D(\boldsymbol{\gamma}(s,t)\in S)
\end{aligned}


であるから、{}^{\forall}(s,t)\in D(f(\boldsymbol{\gamma}(s,t)=0) )が成立する。これをs,tそれぞれについて偏微分s=s_0,t=t_0と置き直せば


\begin{aligned}
(\nabla f(\boldsymbol{p}_0),\boldsymbol{\gamma}_s(s_0,t_0) )=(\nabla f(\boldsymbol{p}_0),\boldsymbol{\gamma}_t(s_0,t_0) )=0
\end{aligned}

が成立し、\nabla f(\boldsymbol{p}_0)\boldsymbol{\gamma}_s(s_0,t_0)および\boldsymbol{\gamma}_t(s_0,t_0)に直交する。
 \boldsymbol{\gamma}_s(s,t),\boldsymbol{\gamma}_t(s,t)が一次独立であるという条件から、\nabla f(\boldsymbol{p}_0)と直交ベクトルは\boldsymbol{\gamma}_s(s,t),\boldsymbol{\gamma}_t(s,t)の一次結合で表される。(\nabla f(\boldsymbol{p}_0),\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}_0)=0より接平面上の点\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}_0\nabla f(\boldsymbol{p}_0)と直交するものとして特徴づけられるから、接平面


\begin{aligned}
\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}_0=\lambda\boldsymbol{\gamma}_s(s_0,t_0)+\mu\boldsymbol{\gamma}_t(s_0,t_0),\ (\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2
\end{aligned}

と表すことができる。
 接平面と平行なベクトルをS\boldsymbol{p}_0における接ベクトルといい、その全体を接ベクトル空間という。



接平面の性質 Sを曲面、\boldsymbol{p}_0\in Sとする。このとき以下が成立する。

  • \boldsymbol{p}_0を通るS上の曲線Cを考える。C\boldsymbol{p}_0における接線はS\boldsymbol{p}_0における接平面に含まれる。
  • \boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^3\boldsymbol{p}_0におけるSの接ベクトルとする。このとき\boldsymbol{p}_0を通るS上の曲線C:\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\zeta}(\tau)\tau\in(a,b)で、\boldsymbol{p}_0=\boldsymbol{\zeta}(\tau_0),\tau_0\in(a,b)において\boldsymbol{\zeta}^{\prime}(\tau_0)=\boldsymbol{v}を満たすものが存在する。

(\because S


\begin{aligned}
(\nabla f(\boldsymbol{p}_0),\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}_0)=0
\end{aligned}
でまた

\begin{aligned}
\boldsymbol{\gamma}_s(s,t),\boldsymbol{\gamma}_t(s,t)
\end{aligned}

が一次独立であるという条件を満たすパラメータ\boldsymbol{\gamma}s,t)または関数f(\boldsymbol{x})によりパラメータ表示または陰関数表示されるものとする。

  • \boldsymbol{\zeta}(\tau):(a,b)\rightarrow\mathbb{R}^3S上の曲線で\boldsymbol{p}_0=\boldsymbol{\zeta}(c),c\in(a,b)を満たすものとする。このとき\boldsymbol{\zeta}(\tau)S上にあることから陰関数表示を用いてf(\boldsymbol{\zeta}(\tau))=0を満たす。\tau微分して\tau=cとおくと
    \begin{aligned}(\nabla f(\boldsymbol{p}_0),\boldsymbol{\zeta}^{\prime}(c))=0\end{aligned}
    が成り立つから、\boldsymbol{\zeta}^{\prime}(c)Sの接ベクトルであり題意は示された。
  • \boldsymbol{p}_0=\boldsymbol{\gamma}(s_0,t_0)とおく。\boldsymbol{p}_0におけるSの接ベクトル\boldsymbol{v}\boldsymbol{v}=\lambda\boldsymbol{\gamma}_s(s_0,t_0)+\mu\boldsymbol{\gamma}_t(s_0,t_0),(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2と表すことができる。このとき新たに

    \begin{aligned}\boldsymbol{\zeta}(\tau)=\boldsymbol{\gamma}(s_0+\lambda\tau,t_0+\mu\tau)\end{aligned}

    により定める曲線Cを考えると、それはS上にあり

    \begin{aligned}\boldsymbol{\zeta}(0)&=\boldsymbol{\gamma}(s_0,t_0)=\boldsymbol{p}_0,\\\boldsymbol{\zeta}^{\prime}(0)&=\lambda\boldsymbol{\gamma}_s(s_0,t_0)+\mu\boldsymbol{\gamma}_t(s_0,t_0)=\boldsymbol{v}\end{aligned}

    が成り立つ。ここから\boldsymbol{\zeta}(\tau)が求めるものである。\blacksquare)

*1:\boldsymbol{\gamma}^{\prime}(\tau_0)\neq\boldsymbol{0}と仮定している点に注意。

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