やりなおしの数学・微分積分篇（56/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ
10.　ベクトル解析
- 10.2　曲線および曲面
  - 10.2.1　曲線および曲面
  - 10.2.2　接線および接平面
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今日のまとめ

ベクトルにおける接線・接平面を議論する

10.　ベクトル解析

　本節ではベクトル値写像を扱う。

10.2　曲線および曲面

10.2.1　曲線および曲面

　まずは $\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3$ における曲線および曲面のいくつかの表示方法を議論する。

パラメータ(陽関数)表示：媒介変数を用いて表示する
$\begin{aligned}\begin{cases}x&=\cos\theta\\y&=\sin\theta\end{cases},\theta\in[0,2\pi)\end{aligned}$
陰関数表示：
$\begin{aligned}x^2+y^2+z^2=1\end{aligned}$

以降、いくつかの条件を課す：

曲線ないし曲面 $C$ のパラメータ表示が $C^l$ 級写像で書けるとき、その微分は常に零ベクトルでない。
曲面 $C$ のパラメータ表示の各媒介変数での微分同士は一次独立である
曲線ないし曲面 $C$ の陰関数表示のナブラは常に零ベクトルでない

10.2.2　接線および接平面

　曲線 $C\subset\mathbb{R}^n,n=2,3$ が $\boldsymbol{\gamma}:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}^n$ でパラメータ表示されるとする。このとき $\boldsymbol{p}_0=\boldsymbol{\gamma}(\tau_0),$ $\tau_0\in(a,b)$ における $\boldsymbol{\gamma}(\tau)$ の微分は

$\begin{aligned} \boldsymbol{\gamma}^{\prime}(\tau_0)&=\begin{bmatrix} \gamma_1^{\prime}(\tau_0)\\ \gamma_2^{\prime}(\tau_0) \end{bmatrix},\\ \boldsymbol{\gamma}^{\prime}(\tau_0)&=\begin{bmatrix} \gamma_1^{\prime}(\tau_0)\\ \gamma_2^{\prime}(\tau_0)\\ \gamma_3^{\prime}(\tau_0) \end{bmatrix} \end{aligned}$

と書ける。
　このため点 $\boldsymbol{p}_0$ における接線は、パラメータを $s$ として

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}_0+s\boldsymbol{\gamma}^{\prime}(\tau_0) \end{aligned}$

と書く*1。
　なお接線の方向を表すベクトル $\lambda\boldsymbol{\gamma}^{\prime}(\tau),\tau\in\mathbb{R}$ を曲線(曲面) $C$ の点 $\boldsymbol{p}_0$ における接ベクトルといい、その全体を接ベクトル空間という。

　また曲面が $\gamma:D(\subset\mathbb{R}^2)\rightarrow\mathbb{R}^3,$ $f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ によりパラメータ表示ないし陰関数表示されているとする。
　 $\boldsymbol{p}_0=(x_0,y_0,z_0)\in S$ における接平面は

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}(\boldsymbol{p}_0)(x-x_0)+ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}(\boldsymbol{p}_0)(y-y_0)+ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial z}}(\boldsymbol{p}_0)(z-z_0)=0 \end{aligned}$

もしくは

$\begin{aligned} (\nabla f(\boldsymbol{p}_0),\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}_0)=0 \end{aligned}$

で与えられる。ここで $\nabla f(\boldsymbol{p}_0)$ は法ベクトルを与えている。
　次に曲面のパラメータ表示を考える。 $\boldsymbol{p}_0=\boldsymbol{\gamma}(s_0,t_0)$ とする。

$\begin{aligned} {}^{\forall}(s,t)\in D(\boldsymbol{\gamma}(s,t)\in S) \end{aligned}$

であるから、 ${}^{\forall}(s,t)\in D(f(\boldsymbol{\gamma}(s,t)=0) )$ が成立する。これを $s,t$ それぞれについて偏微分し $s=s_0,t=t_0$ と置き直せば

$\begin{aligned} (\nabla f(\boldsymbol{p}_0),\boldsymbol{\gamma}_s(s_0,t_0) )=(\nabla f(\boldsymbol{p}_0),\boldsymbol{\gamma}_t(s_0,t_0) )=0 \end{aligned}$

が成立し、 $\nabla f(\boldsymbol{p}_0)$ は $\boldsymbol{\gamma}_s(s_0,t_0)$ および $\boldsymbol{\gamma}_t(s_0,t_0)$ に直交する。
　 $\boldsymbol{\gamma}_s(s,t),\boldsymbol{\gamma}_t(s,t)$ が一次独立であるという条件から、 $\nabla f(\boldsymbol{p}_0)$ と直交ベクトルは $\boldsymbol{\gamma}_s(s,t),$ $\boldsymbol{\gamma}_t(s,t)$ の一次結合で表される。 $(\nabla f(\boldsymbol{p}_0),\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}_0)=0$ より接平面上の点 $\boldsymbol{x}$ は $\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}_0$ が $\nabla f(\boldsymbol{p}_0)$ と直交するものとして特徴づけられるから、接平面は

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}_0=\lambda\boldsymbol{\gamma}_s(s_0,t_0)+\mu\boldsymbol{\gamma}_t(s_0,t_0),\ (\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2 \end{aligned}$

と表すことができる。
　接平面と平行なベクトルを $S$ の $\boldsymbol{p}_0$ における接ベクトルといい、その全体を接ベクトル空間という。

接平面の性質　 $S$ を曲面、 $\boldsymbol{p}_0\in S$ とする。このとき以下が成立する。

$\boldsymbol{p}_0$ を通る $S$ 上の曲線 $C$ を考える。 $C$ の $\boldsymbol{p}_0$ における接線は $S$ の $\boldsymbol{p}_0$ における接平面に含まれる。
$\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^3$ を $\boldsymbol{p}_0$ における $S$ の接ベクトルとする。このとき $\boldsymbol{p}_0$ を通る $S$ 上の曲線 $C:\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\zeta}(\tau)$ $\tau\in(a,b)$ で、 $\boldsymbol{p}_0=\boldsymbol{\zeta}(\tau_0),\tau_0\in(a,b)$ において $\boldsymbol{\zeta}^{\prime}(\tau_0)=\boldsymbol{v}$ を満たすものが存在する。

( $\because$ 　 $S$ は

$\begin{aligned} (\nabla f(\boldsymbol{p}_0),\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}_0)=0 \end{aligned}$

でまた

$\begin{aligned} \boldsymbol{\gamma}_s(s,t),\boldsymbol{\gamma}_t(s,t) \end{aligned}$

が一次独立であるという条件を満たすパラメータ $\boldsymbol{\gamma}s,t)$ または関数 $f(\boldsymbol{x})$ によりパラメータ表示または陰関数表示されるものとする。

$\boldsymbol{\zeta}(\tau):(a,b)\rightarrow\mathbb{R}^3$ を $S$ 上の曲線で $\boldsymbol{p}_0=\boldsymbol{\zeta}(c),c\in(a,b)$ を満たすものとする。このとき $\boldsymbol{\zeta}(\tau)$ が $S$ 上にあることから陰関数表示を用いて $f(\boldsymbol{\zeta}(\tau))=0$ を満たす。 $\tau$ で微分して $\tau=c$ とおくと
$\begin{aligned}(\nabla f(\boldsymbol{p}_0),\boldsymbol{\zeta}^{\prime}(c))=0\end{aligned}$
が成り立つから、 $\boldsymbol{\zeta}^{\prime}(c)$ は $S$ の接ベクトルであり題意は示された。

$\boldsymbol{p}_0=\boldsymbol{\gamma}(s_0,t_0)$ とおく。 $\boldsymbol{p}_0$ における $S$ の接ベクトル $\boldsymbol{v}$ は $\boldsymbol{v}=$ $\lambda\boldsymbol{\gamma}_s(s_0,t_0)$ $+\mu\boldsymbol{\gamma}_t(s_0,t_0),$ $(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2$ と表すことができる。このとき新たに
$\begin{aligned}\boldsymbol{\zeta}(\tau)=\boldsymbol{\gamma}(s_0+\lambda\tau,t_0+\mu\tau)\end{aligned}$
により定める曲線 $C$ を考えると、それは $S$ 上にあり
$\begin{aligned}\boldsymbol{\zeta}(0)&=\boldsymbol{\gamma}(s_0,t_0)=\boldsymbol{p}_0,\\\boldsymbol{\zeta}^{\prime}(0)&=\lambda\boldsymbol{\gamma}_s(s_0,t_0)+\mu\boldsymbol{\gamma}_t(s_0,t_0)=\boldsymbol{v}\end{aligned}$
が成り立つ。ここから $\boldsymbol{\zeta}(\tau)$ が求めるものである。 $\blacksquare$ )