今日のまとめ
- ベクトルにおける接線・接平面を議論する
10. ベクトル解析
本節ではベクトル値写像を扱う。
10.2 曲線および曲面
10.2.1 曲線および曲面
まずはにおける曲線および曲面のいくつかの表示方法を議論する。
- パラメータ(陽関数)表示:媒介変数を用いて表示する
- 陰関数表示:
以降、いくつかの条件を課す:
10.2.2 接線および接平面
曲線が
でパラメータ表示されるとする。このとき
における
の微分は
と書ける。
このため点における接線は、パラメータを
として
と書く*1。
なお接線の方向を表すベクトルを曲線(曲面)
の点
における接ベクトルといい、その全体を接ベクトル空間という。
また曲面がによりパラメータ表示ないし陰関数表示されているとする。
における接平面は
もしくは
で与えられる。ここでは法ベクトルを与えている。
次に曲面のパラメータ表示を考える。とする。
であるから、が成立する。これを
それぞれについて偏微分し
と置き直せば
が成立し、は
および
に直交する。
が一次独立であるという条件から、
と直交ベクトルは
の一次結合で表される。
より接平面上の点
は
が
と直交するものとして特徴づけられるから、接平面は
と表すことができる。
接平面と平行なベクトルをの
における接ベクトルといい、その全体を接ベクトル空間という。
接平面の性質
を通る
上の曲線
を考える。
の
における接線は
の
における接平面に含まれる。
を
における
の接ベクトルとする。このとき
を通る
上の曲線
で、
において
を満たすものが存在する。
が一次独立であるという条件を満たすパラメータまたは関数
によりパラメータ表示または陰関数表示されるものとする。
を
上の曲線で
を満たすものとする。このとき
が
上にあることから陰関数表示を用いて
を満たす。
で微分して
とおくと
が成り立つから、は
の接ベクトルであり題意は示された。
とおく。
における
の接ベクトル
は
と表すことができる。このとき新たに
により定める曲線を考えると、それは
上にあり
が成り立つ。ここからが求めるものである。
)
*1:と仮定している点に注意。