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証券投資論(08/21)

 証券投資(現代ポートフォリオ理論)をコンパクトに学ぶべく、比較的最近に発刊され薄めの本である

を参考に学んでいく。

  • 前回:

power-of-awareness.com

3. ポートフォリオ理論

3.7. 無リスク資産を含むポートフォリオ

 無リスク証券が存在するとして、無リスク資産を組み入れたポートフォリオを考える。このときの最適ポートフォリオとして


\begin{aligned}
\boldsymbol{\omega}^{*}&=\lambda V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})\\
&=V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})\displaystyle{\frac{E[r_P]-r_0}{{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})}},\\
x_0^{*}&=1-{}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\omega}^{*}
\end{aligned}

が得られる。
 これを代入することでポートフォリオPの分散は


\begin{aligned}
V[r_P]&={}^{t}\boldsymbol{x}^{*}V\boldsymbol{x}^{*}\\
&={}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}V\left(\displaystyle{\frac{E[r_P]-r_0}{{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})}}\right)^2V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})\\
&={}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})\left(\displaystyle{\frac{E[r_P]-r_0}{{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})}}\right)^2\\
&=\displaystyle{\frac{(E[r_P]-r_0)^2}{{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})}}
\end{aligned}

である。すなわち(V[r_P],E[r_P])平面では放物線を描き、(\sigma[r_P],E[r_P])平面ではE[r_P]軸上の切片をr_0とした傾き\pm\sqrt{{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})}の半直線を描く。


無リスク証券を含めた場合の(\sigma[r_P],E[r_P])平面上の

最小分散ポートフォリオ
f:id:suguru_125:20220214025351p:plain

 すなわち


\begin{aligned}
E[r_P]-r_0=\begin{cases}
&\sqrt{{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})}\sqrt{V[r_P]},&E[r_P]\geq r_0,\\
&-\sqrt{{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})}\sqrt{V[r_P]},&E[r_P]\lt r_0
\end{cases}
\end{aligned}

である。
 リスク証券からのみ構成されるポートフォリオと同様に効率的ポートフォリオは点(0,r_0)を切片とした傾き\pm\sqrt{{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})}を持つ半直線からなる。

 無リスク証券を含む効率的ポートフォリオおよびリスク証券のみからなる効率的ポートフォリオとを組み合わせたときにどのような議論が成り立つか。
 リスク証券のみからなる効率的ポートフォリオは双曲線であり、特に


\begin{aligned}
r_0=\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}}}
\end{aligned}

である場合、


\begin{aligned}
{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})&={}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-2{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu} r_0+{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}r_0^2\\
&={}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-2{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}\left(\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\right)+{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}\left(\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\right)^2\\
&=\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-\left({}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}\right)^2}{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}}\gt0
\end{aligned}

となり、半直線E[r_P]=\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\pm\displaystyle{\sqrt{\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-\left({}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}\right)^2}{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}}}}\sqrt{V[r_P]}はリスク証券のみからなる効率的ポートフォリオの漸近線になる。
 このとき最適ポートフォリオ\boldsymbol{x}^{*}


\begin{aligned}
{}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{x}^{*}&={}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})
\displaystyle{\frac{E[r_P]-r_0}{{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})}}\\

&=\left({}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\cdot{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}\right)\left(\displaystyle{\frac{E[r_P]-r_0}{{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})}}\right)\\
&=0
\end{aligned}

となるから、x_0^{*}=1となり、最適ポートフォリオは無リスク証券への集中投資である。
 リスク証券への投資比率の合計は0であるから、これは自己資産0ポートフォリオを形成するという意味で最低ポートフォリオ保有することを意味する。
 以上の考察をまとめる:


無リスク証券を含むポートフォリオ 無リスク証券およびリスク証券からなるポートフォリオにおいて\sqrt{{V}[r_P]},E[r_P]平面上の効率的フロンティアはE[r_P]=r_0を切片とする2本の半直線として得られる。
 A={}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}, C={}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}としたとき、r_0\neq\displaystyle{\frac{A}{C}}ならば接点ポートフォリオおよび無リスク証券から成るポートフォリオはまた効率的ポートフォリオになる。
 r_0=\displaystyle{\frac{A}{C}}ならば、無リスク証券および裁定ポートフォリオ\boldsymbol{x}_0^{*}={}^{t}(x_{0,1}^{*},\cdots,x_{0,n}^{*})\ s.t.\ \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}x_{0,i}^{*}}=0とを組み合わせたポートフォリオは効率的フロンティア上に生成可能だが、無リスク証券および接点ポートフォリオとの組み合わせではその効率的フロンティア上のポートフォリオを組成できない。

 この命題から、接点ポートフォリオが存在する場合、任意の効率的ポートフォリオは接点ポートフォリオおよび無リスク証券の一次結合で表現できるから、効率的ポートフォリオおよび接点ポートフォリオは完全相関の関係にある。


接点ポートフォリオおよび無リスク証券からなる効率的ポートフォリオのリスク・リターン 無リスク証券があるとき、任意の効率的ポートフォリオPとし、無リスク証券のリターンをr_0と効率的ポートフォリオPのリターンとの間には、リスク証券jのリターンをr_jとすれば

\begin{aligned}
E[r_j]&=r_0+\beta_j^{P}\left(E[r_P]-r_0\right),\\
\beta_j^{P}&=\displaystyle{\frac{\mathrm{Cov}[r_j,r_P]}{V[r_P]}}
\end{aligned}

を満たす。

(\because リスク証券jからなるポートフォリオ\boldsymbol{x}^{j}={}^{t}(0,\cdots,1^{j},\cdots,0)(1^{j}は左記ベクトルの第j成分が1であることを意味する。)とし、\boldsymbol{x}_{T}を接点ポートフォリオとしたとき

\begin{aligned}
\mathrm{Cov}[r_j,r_P]={}^{t}\boldsymbol{x}^{j}V\boldsymbol{x}_T
\end{aligned}

である。このとき


\begin{aligned}
\mathrm{Cov}[r_j,r_P]&=(1-\theta)\mathrm{Cov}[r_j,r_T],\\
\theta&=\displaystyle{\frac{E[r_T]-E[r_P]}{E[r_T]-r_0}}
\end{aligned}

を踏まえると、あるポートフォリオPの各リスク証券との共分散ベクトルを\sigma_{\cdot j}[r_P]=V\boldsymbol{x}_Pとすれば


\begin{aligned}
\sigma_{\cdot j}[r_P]=(1-\theta)\sigma_{\cdot j}[r_T]
\end{aligned}

である。接点ポートフォリオ


\begin{aligned}
\boldsymbol{x}_{T}=\displaystyle{\frac{1}{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-r_0{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}}}V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})
\end{aligned}

であるから、これを代入して


\begin{aligned}
\sigma_{\cdot j}[r_P]=(1-\theta)V\boldsymbol{x}_T=\displaystyle{\frac{1-\theta}{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-r_0{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}}}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})
\end{aligned}

を得る。これを\boldsymbol{\mu}について解くことで


\begin{aligned}
(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})=\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-r_0{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}}{1-\theta}}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})
\end{aligned}

を得る。
 一方で効率的ポートフォリオPのリターンの分散は、


\begin{aligned}
V[r_T]&={}^{t}\boldsymbol{x}_TV\boldsymbol{x}_T\\
&=\displaystyle{\frac{E[r_T]-r_0}{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}r_0}}
\end{aligned}

を踏まえれば、


\begin{aligned}
V[r_P]&=(1-\theta)^2V[r_T]\\
&=(1-\theta)^2\displaystyle{\frac{E[r_T]-r_0}{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}r_0}}
\end{aligned}

である。\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}r_0=(1-\theta)^2\displaystyle{\frac{E[r_T]-r_0}{V[r_P]}}を代入して


\begin{aligned}
\boldsymbol{\mu}_-r_0\boldsymbol{1}&=\displaystyle{\frac{(1-\theta)(E[r_T]-r_0)}{V[r_P]}}\sigma_{\cdot j}[r_P]\\
&=\displaystyle{\frac{\sigma_{\cdot j}[r_{P}]}{V[r_P]}}(E[r_P]-r_0)
\end{aligned}

を得る。\displaystyle{\frac{\sigma_{\cdot j}[r_{P}]}{V[r_P]}}の第j番目の要素は\displaystyle{\frac{\mathrm{Cov}[r_j,r_P]}{V[r_P]}}に等しいから、示すべき式を得る。 \blacksquare)

 この命題は、資本資産評価モデル(CAPM)が平均=分散モデルに依拠していることを示唆している。

3.8 平均=分散モデルの問題点

 平均=分散モデルはリスク尺度として分散(標準偏差)を採用しており、効用関数が2次関数であるかリターンが正規分布に従うならば、平均=分散モデルは期待効用最大化と整合的になる。しかしこうした仮定はかなり強い者であり、批判もある。

  • 証券の数が増大すると分散共分散行列の逆行列を計算し難くなる。
  • 平均=分散モデルは、効用関数を2次関数と仮定するかリターンが正規分布に従うという強い仮定を置かない限り、期待効用最大化と整合性が取れない。
  • 平均=分散モデルでのリスク尺度である標準偏差は期待リターンを上回るリターンもリスクと見なしてしまい、不自然である。
  • 平均=分散モデルは3次以上の高次モーメントを反映しない。
  • 次回:

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