証券投資論（07/21） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　証券投資（現代ポートフォリオ理論）をコンパクトに学ぶべく、比較的最近に発刊され薄めの本である

証券投資理論 (Minervaファイナンス講座)

作者:八木恭子,澤木勝茂
ミネルヴァ書房

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を参考に学んでいく。

3.　ポートフォリオ理論
- 3.7.　無リスク資産を含むポートフォリオ

前回：

power-of-awareness.com

3.　ポートフォリオ理論

3.7.　無リスク資産を含むポートフォリオ

　無リスク証券が存在するとして、無リスク資産を組み入れたポートフォリオを考える。このときには平均＝分散モデル

$\begin{aligned} \displaystyle{\min\left\{\displaystyle{\frac{1}{2}}{}^{t}\boldsymbol{\omega}V\boldsymbol{\omega}\right\}}\ \ s.t.\ {}^{t}\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\omega}=E[r],\ {}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\omega}=1 \end{aligned}$

における2つ目の制約条件は除去することになる。
　無リスク証券および $n$ 種類のリスク証券 $i,i=1,2,\cdots,n$ を組入れ候補としてポートフォリオを組成するため、2つ目の制約条件の代わりに

$\begin{aligned} \omega_0=1-{}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\omega} \end{aligned}$

が加わる。
　無リスク証券のリターンを $r_0$ とし、各リスク証券の期待リターンを $\mu_i$ とする。このときポートフォリオ $P$ (ウェイト $\boldsymbol{\omega}={}^{t}(\omega_0,\omega_1,\cdots,\omega_n)$ )のリターン $r_P$ は

$\begin{aligned} r_P&=\omega_{0}r_{0}+\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}r_i \omega_i}=\left(1-\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i}\right)r_0+\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}r_i \omega_i}\\ &=r_0+\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(r_i-r_0)\omega_i} \end{aligned}$

で与えられる。ポートフォリオ・リターンの期待リターンおよび分散はそれぞれ

$\begin{aligned} E[r_P]&=E\left[r_0+\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(r_i-r_0)\omega_i}\right]=r_0+\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(\mu_i-r_0)\omega_i},\\ V[r_P]&=V\left[r_0+\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(r_i-r_0)\omega_i}\right]=V\left[\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(r_i-r_0)\omega_i}\right]=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_i x_j\sigma_{ij}} \end{aligned}$

である。以上を踏まえ、無リスク証券を含めた平均＝分散モデルは

$\begin{aligned} \displaystyle{\min\left\{\displaystyle{\frac{1}{2}}{}^{t}\boldsymbol{\omega}V\boldsymbol{\omega}\right\}}\ \ s.t.\ \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(\mu_i-r_0)\omega_i}=E[r_P]-r_0 \end{aligned}$

で与えられる。

　このモデルを解くことにする。Lagrangeの未定乗数 $\lambda$ を導入すれば

$\begin{aligned} L(\boldsymbol{\omega},\lambda)=\displaystyle{\frac{1}{2}}{}^{t}\boldsymbol{\omega}V\boldsymbol{\omega}+\lambda\{E[r_P]-r_0-{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})\boldsymbol{\omega}\} \end{aligned}$

を得、これを偏微分することで

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol{\omega}}}=0\Leftrightarrow &V\boldsymbol{\omega}=\lambda(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1}),\\ \displaystyle{\frac{\partial L}{\partial\lambda}}=0\Leftrightarrow &{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})\boldsymbol{\omega}=E[r_P]-r_0 \end{aligned}$

を得る。
　この連立方程式を $\lambda,\boldsymbol{x}$ に関して解いていく。解を $\boldsymbol{\omega}^{*}$ として、1つ目の方程式から

$\begin{aligned} \boldsymbol{\omega}^{*}=\lambda V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1}) \end{aligned}$

を得、これを2つ目の式に代入することで

$\begin{aligned} &\lambda{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})=E[r_P]-r_0\\ \Leftrightarrow\ &\lambda=\displaystyle{\frac{E[r_P]-r_0}{{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})}} \end{aligned}$

とまず $\lambda$ が求まる。これを代入することで最適ポートフォリオ

$\begin{aligned} \boldsymbol{\omega}^{*}&=\lambda V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})\\ &=V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})\displaystyle{\frac{E[r_P]-r_0}{{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})}},\\ x_0^{*}=1-{}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\omega}^{*} \end{aligned}$

が得られた。

　またこれを代入することでポートフォリオ $P$ の分散は

$\begin{aligned} V[r_P]&={}^{t}\boldsymbol{x}^{*}V\boldsymbol{x}^{*}\\ &={}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}V\left(\displaystyle{\frac{E[r_P]-r_0}{{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})}}\right)^2V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})\\ &={}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})\left(\displaystyle{\frac{E[r_P]-r_0}{{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})}}\right)^2\\ &=\displaystyle{\frac{(E[r_P]-r_0)^2}{{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})}} \end{aligned}$

である。すなわち $(V[r_P],E[r_P])$ 平面では放物線を描き、 $(\sigma[r_P],E[r_P])$ 平面では $E[r_P]$ 軸上の切片を $r_0$ とした傾き $\pm\sqrt{{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})}$ の半直線を描く。