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証券投資論(07/21)

 証券投資(現代ポートフォリオ理論)をコンパクトに学ぶべく、比較的最近に発刊され薄めの本である

を参考に学んでいく。

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3. ポートフォリオ理論

3.7. 無リスク資産を含むポートフォリオ

 無リスク証券が存在するとして、無リスク資産を組み入れたポートフォリオを考える。このときには平均=分散モデル


\begin{aligned}
\displaystyle{\min\left\{\displaystyle{\frac{1}{2}}{}^{t}\boldsymbol{\omega}V\boldsymbol{\omega}\right\}}\ \ s.t.\ {}^{t}\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\omega}=E[r],\ {}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\omega}=1
\end{aligned}

における2つ目の制約条件は除去することになる。
 無リスク証券およびn種類のリスク証券i,i=1,2,\cdots,nを組入れ候補としてポートフォリオを組成するため、2つ目の制約条件の代わりに


\begin{aligned}
\omega_0=1-{}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\omega}
\end{aligned}

が加わる。
 無リスク証券のリターンをr_0とし、各リスク証券の期待リターンを\mu_iとする。このときポートフォリオP(ウェイト\boldsymbol{\omega}={}^{t}(\omega_0,\omega_1,\cdots,\omega_n))のリターンr_P


\begin{aligned}
r_P&=\omega_{0}r_{0}+\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}r_i \omega_i}=\left(1-\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i}\right)r_0+\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}r_i \omega_i}\\
&=r_0+\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(r_i-r_0)\omega_i}
\end{aligned}

で与えられる。ポートフォリオ・リターンの期待リターンおよび分散はそれぞれ


\begin{aligned}
E[r_P]&=E\left[r_0+\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(r_i-r_0)\omega_i}\right]=r_0+\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(\mu_i-r_0)\omega_i},\\
V[r_P]&=V\left[r_0+\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(r_i-r_0)\omega_i}\right]=V\left[\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(r_i-r_0)\omega_i}\right]=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_i x_j\sigma_{ij}}
\end{aligned}

である。以上を踏まえ、無リスク証券を含めた平均=分散モデルは


\begin{aligned}
\displaystyle{\min\left\{\displaystyle{\frac{1}{2}}{}^{t}\boldsymbol{\omega}V\boldsymbol{\omega}\right\}}\ \ s.t.\ \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(\mu_i-r_0)\omega_i}=E[r_P]-r_0
\end{aligned}

で与えられる。

 このモデルを解くことにする。Lagrangeの未定乗数\lambdaを導入すれば


\begin{aligned}
L(\boldsymbol{\omega},\lambda)=\displaystyle{\frac{1}{2}}{}^{t}\boldsymbol{\omega}V\boldsymbol{\omega}+\lambda\{E[r_P]-r_0-{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})\boldsymbol{\omega}\}
\end{aligned}

を得、これを偏微分することで


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol{\omega}}}=0\Leftrightarrow &V\boldsymbol{\omega}=\lambda(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1}),\\
\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial\lambda}}=0\Leftrightarrow &{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})\boldsymbol{\omega}=E[r_P]-r_0
\end{aligned}

を得る。
 この連立方程式\lambda,\boldsymbol{x}に関して解いていく。解を\boldsymbol{\omega}^{*}として、1つ目の方程式から


\begin{aligned}
\boldsymbol{\omega}^{*}=\lambda V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})
\end{aligned}

を得、これを2つ目の式に代入することで


\begin{aligned}
&\lambda{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})=E[r_P]-r_0\\
\Leftrightarrow\ &\lambda=\displaystyle{\frac{E[r_P]-r_0}{{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})}}
\end{aligned}

とまず\lambdaが求まる。これを代入することで最適ポートフォリオ


\begin{aligned}
\boldsymbol{\omega}^{*}&=\lambda V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})\\
&=V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})\displaystyle{\frac{E[r_P]-r_0}{{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})}},\\
x_0^{*}=1-{}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\omega}^{*}
\end{aligned}

が得られた。

 またこれを代入することでポートフォリオPの分散は


\begin{aligned}
V[r_P]&={}^{t}\boldsymbol{x}^{*}V\boldsymbol{x}^{*}\\
&={}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}V\left(\displaystyle{\frac{E[r_P]-r_0}{{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})}}\right)^2V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})\\
&={}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})\left(\displaystyle{\frac{E[r_P]-r_0}{{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})}}\right)^2\\
&=\displaystyle{\frac{(E[r_P]-r_0)^2}{{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})}}
\end{aligned}

である。すなわち(V[r_P],E[r_P])平面では放物線を描き、(\sigma[r_P],E[r_P])平面ではE[r_P]軸上の切片をr_0とした傾き\pm\sqrt{{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})V^{-1}(\boldsymbol{\mu}-r_0\boldsymbol{1})}の半直線を描く。


無リスク証券を含めた場合の(\sigma[r_P],E[r_P])平面上の

最小分散ポートフォリオ
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