長期投資の理論と実践（04/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　投資理論を以下の書籍

長期投資の理論と実践: パーソナル・ファイナンスと資産運用

作者:安達智彦,池田昌幸
東京大学出版会

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をベースに学ぶこととする。

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前回
4.　平均・分散分析とCAPM
- 4.1　平均・分散分析
  - 4.1.1　分散が所与である場合の期待リターン最適化
今回のまとめ
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4.　平均・分散分析とCAPM

　効用関数とリターンの従う確率分布に制約を加えるならば、期待効用を高めるポートフォリオはリターンの期待値と分散のみによって決定できる。

4.1　平均・分散分析

　投資家がリターンに関して期待リターンおよび分散(またはリスク)のみに興味を持ち、同じ分散ならばより大きな期待リターンを、同じ期待リターンならばより小さい分散を選好するとき、投資家は平均・分散選好という。投資家のリスク・リターンに対する姿勢が平均・分散選好で表されるならば、効用関数の情報を明示的に扱う必要がなくなる。また平均・分散選好をもつ投資家であれば、リターンが正規分布に従うか否かにかかわらず、確率分布の期待値と分散の関係のみでポートフォリオを議論できる。こうしたポートフォリオの分析方法を平均・分散分析*1という。

4.1.1　分散が所与である場合の期待リターン最適化

　ここでは後段の議論に役立てるべく、通常の期待リターンを所与として分散を最小化させる方式ではなく、分散を所与として、期待リターンを最大化させることで効率的ポートフォリオを得る問題を考える。
　まずは複数( $n$ 種類)のリスク資産が存在し、無リスク資産は存在しないと仮定する。リスク資産のリターンを表す確率ベクトルを $\tilde{\boldsymbol{r}}$ とし、その期待リターンを $\boldsymbol{\mu}=\mathbb{E}[\tilde{\boldsymbol{r}}]$ 、分散共分散行列を $\boldsymbol{\Omega}$ とおく(さらに分散共分散行列が正則だとする。)。各資産への投資ウェイトを成分とする投資ウェイトベクトルを $\boldsymbol{\omega}$ とおくと、ポートフォリオのリターン $r_P$ は

$\begin{aligned} r_P={}^{t}\boldsymbol{\omega}\tilde{\boldsymbol{r}} \end{aligned}$

で与えられる。そのため、ポートフォリオの期待リターンおよび分散は

$\begin{aligned} E[r_P]&=E[{}^{t}\boldsymbol{\omega}\tilde{\boldsymbol{r}}]={}^{t}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\mu},\\ V[r_P]&=V[{}^{t}\boldsymbol{\omega}\tilde{\boldsymbol{r}}]=E[{}^{t}\boldsymbol{\omega}(\tilde{\boldsymbol{r}}-\boldsymbol{\mu}){}^{t}(\tilde{\boldsymbol{r}}-\boldsymbol{\mu})\boldsymbol{\omega}]\\ &={}^{t}\boldsymbol{\omega}E[(\tilde{\boldsymbol{r}}-\boldsymbol{\mu}){}^{t}(\tilde{\boldsymbol{r}}-\boldsymbol{\mu})]\boldsymbol{\omega}\\ &={}^{t}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\omega} \end{aligned}$

で計算できる。
　これを踏まえると、解くべき最適化問題は

$\begin{aligned} \displaystyle{\max_{\boldsymbol{\omega}}{}^{t}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\mu}}\ s.t.&\ {}^{t}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\omega}=\sigma_P^2,\\&{}^{t}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{1}=1 \end{aligned}$

で定式化できる。
　この解を $\boldsymbol{\omega}^{*}$ とおいて、 $\mathrm{Lagrange}$ の未定乗数法を用いて具体的に解いていく。 $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}$ として

$\begin{aligned} L={}^{t}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\mu}+\lambda_1({}^{t}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\omega}-\sigma_P^2)+\lambda_2({}^{t}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{1}-1) \end{aligned}$

を考え、その1階条件より、

$\begin{aligned} \left.\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}}}\right|_{\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}^{*}}&=\boldsymbol{\mu}+2\lambda_1\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\omega}^{*}+\lambda_2\boldsymbol{1}=\boldsymbol{0}\\ \Leftrightarrow\ &\boldsymbol{\omega}^{*}=\displaystyle{\frac{1}{2\lambda_1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-\lambda_2\boldsymbol{1})} \end{aligned}$

を得る。これを1つ目の制約条件に代入することで

$\begin{aligned} &{}^{t}\left(\displaystyle{\frac{1}{2\lambda_1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-\lambda_2\boldsymbol{1})}\right)\boldsymbol{\Omega}\left(\displaystyle{\frac{1}{2\lambda_1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-\lambda_2\boldsymbol{1})}\right)=\sigma_P^2\\ \Leftrightarrow\ & \displaystyle{\frac{1}{4\lambda_1^2}{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-\lambda_2\boldsymbol{1})\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\Omega}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-\lambda_2\boldsymbol{1})}=\sigma_P^2\\ \Leftrightarrow\ & {}^{t}(\boldsymbol{\mu}-\lambda_2\boldsymbol{1})\boldsymbol{\Omega}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-\lambda_2\boldsymbol{1})=4\lambda_1^2\sigma_P^2\\ \Leftrightarrow\ & {}^{t}\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{\mu}-\lambda_2{}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{\mu}-\lambda_2 {}^{t}\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{1}-\lambda_2^2{}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{1} =4\lambda_1^2\sigma_P^2 \end{aligned}$

を得、 $A={}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{\mu},B={}^{t}\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{\mu},$ $C={}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{1}$ とおけば、 $B,C\gt0$ であり

$\begin{aligned} B-2A\lambda_2+C\lambda_2^2=4\lambda_1^2\sigma_P^2 \end{aligned}$

を得る。 $\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}^{*}$ を2つ目の制約条件に代入することで

$\begin{aligned} &{}^{t}\left(\displaystyle{\frac{1}{2\lambda_1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-\lambda_2\boldsymbol{1})}\right)\boldsymbol{1}=1\\ \Leftrightarrow\ &{}^{t}\left(\boldsymbol{\Omega}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-\lambda_2\boldsymbol{1})\right)\boldsymbol{1}=2\lambda_1\\ \Leftrightarrow\ &\left({}^{t}\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\Omega}^{-1}-\lambda_2{}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\right)\boldsymbol{1}=2\lambda_1\\ \Leftrightarrow\ &A-\lambda_2C=2\lambda_1\\ \Leftrightarrow\ &\lambda_2=\displaystyle{\frac{A-2\lambda_1}{C}} \end{aligned}$

を得る。これを代入することで

$\begin{aligned} &B-2A\lambda_2+C\lambda_2^2=4\lambda_1^2\sigma_P^2\\ \Leftrightarrow\ & C\left(\displaystyle{\frac{A-2\lambda_1}{C}}\right)^2-2A\cdot\displaystyle{\frac{A-2\lambda_1}{C}}+B=4\lambda_1^2\sigma_P^2\\ \Leftrightarrow\ & (A-2\lambda_1)^2-2A\cdot(A-2\lambda_1)+BC=4C\sigma_P^2\lambda_1^2\\ \Leftrightarrow\ & \{(A-2\lambda_1)-A\}^2+BC-A^2=4C\sigma_P^2\lambda_1^2\\ \Leftrightarrow\ & 4\lambda_1^2+BC-A^2=4C\sigma_P^2\lambda_1^2\\ \Leftrightarrow\ & 4(C\sigma_P^2-1)\lambda_1^2=BC-A^2\\ \Leftrightarrow\ & \lambda_1^2=\displaystyle{\frac{BC-A^2}{4(C\sigma_P^2-1)}}\\ \Leftrightarrow\ & \lambda_1=\pm\sqrt{\displaystyle{\frac{BC-A^2}{4(C\sigma_P^2-1)}}} \end{aligned}$

を得る。
　 $\lambda_2$ を代入することで

$\begin{aligned} \boldsymbol{\omega}^{*}&=\displaystyle{\frac{1}{2\lambda_1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-\lambda_2\boldsymbol{1})}\\ &=\displaystyle{\frac{1}{2\lambda_1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\left(\boldsymbol{\mu}-\displaystyle{\frac{A-2\lambda_1}{C}}\boldsymbol{1}\right)}\\ &=\displaystyle{\frac{1}{2\lambda_1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{\mu}+\displaystyle{\frac{1}{C}}\left(1-\displaystyle{\frac{A}{2\lambda_1}}\right)\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{1}} \end{aligned}$

を得る。ここから最適期待リターン $\boldsymbol{\mu}_P^{*}$ は

$\begin{aligned} \mu_P^{*}&={}^{t}\boldsymbol{\omega}^{*}\boldsymbol{\mu}=\displaystyle{\frac{1}{2\lambda_1}{}^{t}\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{\mu}+\displaystyle{\frac{1}{C}}\left(1-\displaystyle{\frac{A}{2\lambda_1}}\right){}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{\mu}}\\ &=\displaystyle{\frac{1}{2\lambda_1}B+\frac{1}{C}\left(1-\frac{A}{2\lambda_1}\right)A}\\ &=\displaystyle{\frac{BC-A^2}{2\lambda_1 C}+\frac{A}{C}} \end{aligned}$

である。 $C,BC-A^2\gt0$ であるから、 $\lambda_1$ は正の方がより大きい期待リターンを与える。したがって

$\begin{aligned} \lambda_1=\sqrt{\displaystyle{\frac{BC-A^2}{4(C\sigma_P^2-1)}}} \end{aligned}$

として、

$\begin{aligned} \mu_P^{*}&=\displaystyle{\frac{BC-A^2}{2\lambda_1 C}+\frac{A}{C}}\\ &=\displaystyle{\frac{\sqrt{(C\sigma_P^2-1)(BC-A^2)}}{C}+\frac{A}{C}}\\ \end{aligned}$

を得る。
　これらを代入することで

$\begin{aligned} \boldsymbol{\omega}^{*}=\displaystyle{\sqrt{\displaystyle{\frac{C\sigma_P^2-1}{BC-A^2}}}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{\mu}+\displaystyle{\frac{1}{C}}\left(1-A\sqrt{\displaystyle{\frac{C\sigma_P^2-1}{BC-A^2}}}\right)\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{1}} \end{aligned}$