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長期投資の理論と実践（04/X）

金融・ファイナンス

　投資理論を以下の書籍

長期投資の理論と実践: パーソナル・ファイナンスと資産運用

長期投資の理論と実践: パーソナル・ファイナンスと資産運用

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をベースに学ぶこととする。

前回

power-of-awareness.com

4.　平均・分散分析とCAPM

　効用関数とリターンの従う確率分布に制約を加えるならば、期待効用を高めるポートフォリオはリターンの期待値と分散のみによって決定できる。

4.1　平均・分散分析

　投資家がリターンに関して期待リターンおよび分散(またはリスク)のみに興味を持ち、同じ分散ならばより大きな期待リターンを、同じ期待リターンならばより小さい分散を選好するとき、投資家は平均・分散選好という。投資家のリスク・リターンに対する姿勢が平均・分散選好で表されるならば、効用関数の情報を明示的に扱う必要がなくなる。また平均・分散選好をもつ投資家であれば、リターンが正規分布に従うか否かにかかわらず、確率分布の期待値と分散の関係のみでポートフォリオを議論できる。こうしたポートフォリオの分析方法を平均・分散分析*1という。

4.1.1　分散が所与である場合の期待リターン最適化

　ここでは後段の議論に役立てるべく、通常の期待リターンを所与として分散を最小化させる方式ではなく、分散を所与として、期待リターンを最大化させることで効率的ポートフォリオを得る問題を考える。
　まずは複数(n種類)のリスク資産が存在し、無リスク資産は存在しないと仮定する。リスク資産のリターンを表す確率ベクトルを\tilde{\boldsymbol{r}}とし、その期待リターンを\boldsymbol{\mu}=\mathbb{E}[\tilde{\boldsymbol{r}}]、分散共分散行列を\boldsymbol{\Omega}とおく(さらに分散共分散行列が正則だとする。)。各資産への投資ウェイトを成分とする投資ウェイトベクトルを\boldsymbol{\omega}とおくと、ポートフォリオのリターンr_Pは

\begin{aligned} r_P={}^{t}\boldsymbol{\omega}\tilde{\boldsymbol{r}} \end{aligned}

で与えられる。そのため、ポートフォリオの期待リターンおよび分散は

\begin{aligned} E[r_P]&=E[{}^{t}\boldsymbol{\omega}\tilde{\boldsymbol{r}}]={}^{t}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\mu},\\ V[r_P]&=V[{}^{t}\boldsymbol{\omega}\tilde{\boldsymbol{r}}]=E[{}^{t}\boldsymbol{\omega}(\tilde{\boldsymbol{r}}-\boldsymbol{\mu}){}^{t}(\tilde{\boldsymbol{r}}-\boldsymbol{\mu})\boldsymbol{\omega}]\\ &={}^{t}\boldsymbol{\omega}E[(\tilde{\boldsymbol{r}}-\boldsymbol{\mu}){}^{t}(\tilde{\boldsymbol{r}}-\boldsymbol{\mu})]\boldsymbol{\omega}\\ &={}^{t}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\omega} \end{aligned}

で計算できる。
　これを踏まえると、解くべき最適化問題は

\begin{aligned} \displaystyle{\max_{\boldsymbol{\omega}}{}^{t}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\mu}}\ s.t.&\ {}^{t}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\omega}=\sigma_P^2,\\&{}^{t}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{1}=1 \end{aligned}

で定式化できる。
　この解を\boldsymbol{\omega}^{*}とおいて、\mathrm{Lagrange}の未定乗数法を用いて具体的に解いていく。\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}として

\begin{aligned} L={}^{t}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\mu}+\lambda_1({}^{t}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\omega}-\sigma_P^2)+\lambda_2({}^{t}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{1}-1) \end{aligned}

を考え、その1階条件より、

\begin{aligned} \left.\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}}}\right|_{\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}^{*}}&=\boldsymbol{\mu}+2\lambda_1\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\omega}^{*}+\lambda_2\boldsymbol{1}=\boldsymbol{0}\\ \Leftrightarrow\ &\boldsymbol{\omega}^{*}=\displaystyle{\frac{1}{2\lambda_1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-\lambda_2\boldsymbol{1})} \end{aligned}

を得る。これを1つ目の制約条件に代入することで

\begin{aligned} &{}^{t}\left(\displaystyle{\frac{1}{2\lambda_1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-\lambda_2\boldsymbol{1})}\right)\boldsymbol{\Omega}\left(\displaystyle{\frac{1}{2\lambda_1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-\lambda_2\boldsymbol{1})}\right)=\sigma_P^2\\ \Leftrightarrow\ & \displaystyle{\frac{1}{4\lambda_1^2}{}^{t}(\boldsymbol{\mu}-\lambda_2\boldsymbol{1})\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\Omega}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-\lambda_2\boldsymbol{1})}=\sigma_P^2\\ \Leftrightarrow\ & {}^{t}(\boldsymbol{\mu}-\lambda_2\boldsymbol{1})\boldsymbol{\Omega}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-\lambda_2\boldsymbol{1})=4\lambda_1^2\sigma_P^2\\ \Leftrightarrow\ & {}^{t}\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{\mu}-\lambda_2{}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{\mu}-\lambda_2 {}^{t}\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{1}-\lambda_2^2{}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{1} =4\lambda_1^2\sigma_P^2 \end{aligned}

を得、A={}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{\mu},B={}^{t}\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{\mu},C={}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{1}とおけば、B,C\gt0であり

\begin{aligned} B-2A\lambda_2+C\lambda_2^2=4\lambda_1^2\sigma_P^2 \end{aligned}

を得る。\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}^{*}を2つ目の制約条件に代入することで

\begin{aligned} &{}^{t}\left(\displaystyle{\frac{1}{2\lambda_1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-\lambda_2\boldsymbol{1})}\right)\boldsymbol{1}=1\\ \Leftrightarrow\ &{}^{t}\left(\boldsymbol{\Omega}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-\lambda_2\boldsymbol{1})\right)\boldsymbol{1}=2\lambda_1\\ \Leftrightarrow\ &\left({}^{t}\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\Omega}^{-1}-\lambda_2{}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\right)\boldsymbol{1}=2\lambda_1\\ \Leftrightarrow\ &A-\lambda_2C=2\lambda_1\\ \Leftrightarrow\ &\lambda_2=\displaystyle{\frac{A-2\lambda_1}{C}} \end{aligned}

を得る。これを代入することで

\begin{aligned} &B-2A\lambda_2+C\lambda_2^2=4\lambda_1^2\sigma_P^2\\ \Leftrightarrow\ & C\left(\displaystyle{\frac{A-2\lambda_1}{C}}\right)^2-2A\cdot\displaystyle{\frac{A-2\lambda_1}{C}}+B=4\lambda_1^2\sigma_P^2\\ \Leftrightarrow\ & (A-2\lambda_1)^2-2A\cdot(A-2\lambda_1)+BC=4C\sigma_P^2\lambda_1^2\\ \Leftrightarrow\ & \{(A-2\lambda_1)-A\}^2+BC-A^2=4C\sigma_P^2\lambda_1^2\\ \Leftrightarrow\ & 4\lambda_1^2+BC-A^2=4C\sigma_P^2\lambda_1^2\\ \Leftrightarrow\ & 4(C\sigma_P^2-1)\lambda_1^2=BC-A^2\\ \Leftrightarrow\ & \lambda_1^2=\displaystyle{\frac{BC-A^2}{4(C\sigma_P^2-1)}}\\ \Leftrightarrow\ & \lambda_1=\pm\sqrt{\displaystyle{\frac{BC-A^2}{4(C\sigma_P^2-1)}}} \end{aligned}

を得る。
　\lambda_2を代入することで

\begin{aligned} \boldsymbol{\omega}^{*}&=\displaystyle{\frac{1}{2\lambda_1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-\lambda_2\boldsymbol{1})}\\ &=\displaystyle{\frac{1}{2\lambda_1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\left(\boldsymbol{\mu}-\displaystyle{\frac{A-2\lambda_1}{C}}\boldsymbol{1}\right)}\\ &=\displaystyle{\frac{1}{2\lambda_1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{\mu}+\displaystyle{\frac{1}{C}}\left(1-\displaystyle{\frac{A}{2\lambda_1}}\right)\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{1}} \end{aligned}

を得る。ここから最適期待リターン\boldsymbol{\mu}_P^{*}は

\begin{aligned} \mu_P^{*}&={}^{t}\boldsymbol{\omega}^{*}\boldsymbol{\mu}=\displaystyle{\frac{1}{2\lambda_1}{}^{t}\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{\mu}+\displaystyle{\frac{1}{C}}\left(1-\displaystyle{\frac{A}{2\lambda_1}}\right){}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{\mu}}\\ &=\displaystyle{\frac{1}{2\lambda_1}B+\frac{1}{C}\left(1-\frac{A}{2\lambda_1}\right)A}\\ &=\displaystyle{\frac{BC-A^2}{2\lambda_1 C}+\frac{A}{C}} \end{aligned}

である。C,BC-A^2\gt0であるから、\lambda_1は正の方がより大きい期待リターンを与える。したがって

\begin{aligned} \lambda_1=\sqrt{\displaystyle{\frac{BC-A^2}{4(C\sigma_P^2-1)}}} \end{aligned}

として、

\begin{aligned} \mu_P^{*}&=\displaystyle{\frac{BC-A^2}{2\lambda_1 C}+\frac{A}{C}}\\ &=\displaystyle{\frac{\sqrt{(C\sigma_P^2-1)(BC-A^2)}}{C}+\frac{A}{C}}\\ \end{aligned}

を得る。
　これらを代入することで

\begin{aligned} \boldsymbol{\omega}^{*}=\displaystyle{\sqrt{\displaystyle{\frac{C\sigma_P^2-1}{BC-A^2}}}\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{\mu}+\displaystyle{\frac{1}{C}}\left(1-A\sqrt{\displaystyle{\frac{C\sigma_P^2-1}{BC-A^2}}}\right)\boldsymbol{\Omega}^{-1}\boldsymbol{1}} \end{aligned}

を得る*2。

今回のまとめ

  • 投資家が平均・分散選好( 投資家がリターンに関して期待リターンおよび分散(またはリスク)のみに興味を持ち、同じ分散ならばより大きな期待リターンを、同じ期待リターンならばより小さい分散を選好すること)であるならば、確率分布の期待値と分散の関係のみでポートフォリオを議論できる。

次回

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*1:平均・分散アプローチなどさまざまな呼称がある。

*2:効率的フロンティアの議論などは既に別稿で行なったので省略する。

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