以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。
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今日のまとめ
は点
において微分可能とし、
はそれぞれ
の関数
で
は
において微分可能だとする。
とする。このとき
は
の関数として
において微分可能で
7. 多変数関数の微分
2つ以上の変数を持つ関数(多変数関数)の微分およびその応用を取り扱う。まずは2変数関数を中心に扱い、その後に一般の
変数関数の場合を扱う。
7.5 合成関数の微分
合成関数の微分 ![z=f(x,y)](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=z%3Df%28x%2Cy%29)
は点
![\boldsymbol{x}_0=(x_0,y_0)](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5Cboldsymbol%7Bx%7D_0%3D%28x_0%2Cy_0%29)
において
微分可能とし、
![x,y](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=x%2Cy)
はそれぞれ
![t](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=t)
の関数
![x=\varphi(t),y=\psi(t)](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=x%3D%5Cvarphi%28t%29%2Cy%3D%5Cpsi%28t%29)
で
![\varphi(t),\psi(t)](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5Cvarphi%28t%29%2C%5Cpsi%28t%29)
は
![t=t_0](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=t%3Dt_0)
において
微分可能だとする。
![\boldsymbol{x}_0=(\varphi(t_0),\psi(t_0)](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5Cboldsymbol%7Bx%7D_0%3D%28%5Cvarphi%28t_0%29%2C%5Cpsi%28t_0%29)
とする。このとき
![f(\varphi(t),\psi(t))](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=f%28%5Cvarphi%28t%29%2C%5Cpsi%28t%29%29)
は
![t](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=t)
の関数として
![t=t_0](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=t%3Dt_0)
において
微分可能で
すなわち
である。
(
![z=f(x,y)](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=z%3Df%28x%2Cy%29)
は点
![(x_0,y_0)](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%28x_0%2Cy_0%29)
において
微分可能だから
が成り立つ。ここで
で、
が成り立つ。
と定めれば、上式は
でも成立する。
上式において
とおくと
が成り立つ。ここで
である。したがって
のとき上式の右辺は
に収束する。
)
合成関数の微分(座標変換) ![z=f(x,y)](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=z%3Df%28x%2Cy%29)
は点
![\boldsymbol{x}_0=(x_0,y_0)](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5Cboldsymbol%7Bx%7D_0%3D%28x_0%2Cy_0%29)
において
微分可能とし、
![x,y](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=x%2Cy)
はそれぞれ
![u,v](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=u%2Cv)
の関数
![x=\varphi(u,v),y=\psi(u,v)](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=x%3D%5Cvarphi%28u%2Cv%29%2Cy%3D%5Cpsi%28u%2Cv%29)
で
![\varphi(u,v),\psi(u,v)](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5Cvarphi%28u%2Cv%29%2C%5Cpsi%28u%2Cv%29)
は
![(u,v)=(u_0,v_0)](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%28u%2Cv%29%3D%28u_0%2Cv_0%29)
において
![u,v](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=u%2Cv)
に関して
偏微分可能だとする。
![x_0=(\varphi(u_0,v_0),y_0=\psi(u_0,v_0)](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=x_0%3D%28%5Cvarphi%28u_0%2Cv_0%29%2Cy_0%3D%5Cpsi%28u_0%2Cv_0%29)
とする。このとき
![u,v](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=u%2Cv)
の関数
![f(\varphi(u,v),\psi(u,v) )](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=f%28%5Cvarphi%28u%2Cv%29%2C%5Cpsi%28u%2Cv%29%20%29)
は
![t](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=t)
の関数として
![u_0,v_0](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=u_0%2Cv_0)
において
偏微分可能で
すなわち
である。
(
![v=v_0](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=v%3Dv_0)
と固定したとき、前述した定理から
![u](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=u)
の関数
![f(\varphi(u,v_0),\psi(u,v_0))](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=f%28%5Cvarphi%28u%2Cv_0%29%2C%5Cpsi%28u%2Cv_0%29%29)
は
![u=u_0](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=u%3Du_0)
において
微分可能で
が成り立つ。同様に
と固定することでもう一方の式を得る。
)
具体的な例としてデカルト座標と極座標を対応させる。
は連続で2回微分可能だとし、
はそれぞれ
の関数で
だとする。このとき
である。したがって
が成立することが分かる。