やりなおしの数学・微分積分篇（28/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

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7.　多変数関数の微分
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$z=f(x,y)$ は点 $\boldsymbol{x}_0=(x_0,y_0)$ において微分可能とし、 $x,y$ はそれぞれ $t$ の関数 $x=\varphi(t),y=\psi(t)$ で $\varphi(t),\psi(t)$ は $t=t_0$ において微分可能だとする。 $\boldsymbol{x}_0=(\varphi(t_0),\psi(t_0)$ とする。このとき $f(\varphi(t),\psi(t))$ は $t$ の関数として $t=t_0$ において微分可能で
$\begin{aligned}\displaystyle{\frac{d}{dt}f(\varphi(t_0),\psi(t_0))}=f_{x}(x_0)\varphi^{\prime}(t_0)+f_y(x_0,y_0)\psi^{\prime}(t_0)\end{aligned}$

7.　多変数関数の微分

　2つ以上の変数を持つ関数（多変数関数）の微分およびその応用を取り扱う。まずは2変数関数を中心に扱い、その後に一般の $n(\geq2)$ 変数関数の場合を扱う。

7.5　合成関数の微分

合成関数の微分　 $z=f(x,y)$ は点 $\boldsymbol{x}_0=(x_0,y_0)$ において微分可能とし、 $x,y$ はそれぞれ $t$ の関数 $x=\varphi(t),y=\psi(t)$ で $\varphi(t),\psi(t)$ は $t=t_0$ において微分可能だとする。 $\boldsymbol{x}_0=(\varphi(t_0),\psi(t_0)$ とする。このとき $f(\varphi(t),\psi(t))$ は $t$ の関数として $t=t_0$ において微分可能で

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{d}{dt}f(\varphi(t_0),\psi(t_0))}=f_{x}(x_0)\varphi^{\prime}(t_0)+f_y(x_0,y_0)\psi^{\prime}(t_0) \end{aligned}$

すなわち

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{df}{dt}}=\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}\displaystyle{\frac{dx}{dt}}+\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}\displaystyle{\frac{dy}{dt}} \end{aligned}$

である。

( $\because$ 　 $z=f(x,y)$ は点 $(x_0,y_0)$ において微分可能だから

$\begin{aligned} f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)k+\varepsilon(h,k)\rho \end{aligned}$

が成り立つ。ここで $\rho=\sqrt{h^2+k^2}$ で、

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{(h,k)\rightarrow(0,0)}\varepsilon(h,k)}=0 \end{aligned}$

が成り立つ。 $\varepsilon(0,0)=0$ と定めれば、上式は $(h,k)=(0,0)$ でも成立する。
　上式において $h=\varphi(t_0+\Delta t)-\varphi(t_0),k=\psi(t_0+\Delta t)-\psi(t_0)$ とおくと

$\begin{aligned} &\displaystyle{\frac{1}{\Delta t}}\left\{f(\varphi(t_0+\Delta t),\psi(t_0+\Delta t) )-f(\varphi(t_0),\psi(t_0) )\right\}\\ =&\displaystyle{\frac{1}{\Delta t}}\left\{f_x(x_0,y_0)(\varphi(t_0+\Delta t)-\varphi(t_0) )+f_y(x_0,y_0)(\psi(t_0+\Delta t)-\psi(t_0) )\right\}+\eta(\Delta t)\\ =&f_x(x_0,y_0)\displaystyle{\frac{\varphi(t_0+\Delta t)-\varphi(t)}{\Delta t}}+f_y(x_0,y_0)\displaystyle{\frac{\psi(t_0+\Delta t)-\psi(t)}{\Delta t}}+\eta(\Delta t) \end{aligned}$

が成り立つ。ここで

$\begin{aligned} \left|\eta(\Delta t)\right|&=\displaystyle{\frac{|\varepsilon(h,k)|}{|\Delta t|}}\sqrt{(\varphi(t_0+\Delta t)-\varphi(t_0))^2+(\psi(t_0+\Delta t)-\psi(t_0))^2}\\ &=|\varepsilon(h,k)|\displaystyle{\sqrt{\left(\displaystyle{\frac{\varphi(t_0+\Delta t)-\varphi(t_0)}{\Delta t}}\right)^2+\left(\displaystyle{\frac{\psi(t_0+\Delta t)-\psi(t_0)}{\Delta t}}\right)^2}}\\ &\rightarrow 0(\Delta t\rightarrow0) \end{aligned}$

である。したがって $\Delta t\rightarrow0$ のとき上式の右辺は

$\begin{aligned} f_x(x_0,y_0)\varphi^{\prime}(t_0)+f_y(x_0,y_0)\psi^{\prime}(t_0) \end{aligned}$

に収束する。　 $\blacksquare$ )

合成関数の微分（座標変換）　 $z=f(x,y)$ は点 $\boldsymbol{x}_0=(x_0,y_0)$ において微分可能とし、 $x,y$ はそれぞれ $u,v$ の関数 $x=\varphi(u,v),y=\psi(u,v)$ で $\varphi(u,v),\psi(u,v)$ は $(u,v)=(u_0,v_0)$ において $u,v$ に関して偏微分可能だとする。 $x_0=(\varphi(u_0,v_0),y_0=\psi(u_0,v_0)$ とする。このとき $u,v$ の関数 $f(\varphi(u,v),\psi(u,v) )$ は $t$ の関数として $u_0,v_0$ において偏微分可能で

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial}{\partial u}f(\varphi(u_0,v_0),\psi(u_0,v_0) )}&=f_{x}(x_0,y_0)\displaystyle{\frac{\partial \varphi}{\partial u}}(u_0,v_0)+f_y(x_0,y_0)\displaystyle{\frac{\partial \psi}{\partial u}}(u_0,v_0),\\ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial v}f(\varphi(u_0,v_0),\psi(u_0,v_0) )}&=f_{x}(x_0,y_0)\displaystyle{\frac{\partial \varphi}{\partial v}}(u_0,v_0)+f_y(x_0,y_0)\displaystyle{\frac{\partial \psi}{\partial v}}(u_0,v_0) \end{aligned}$

すなわち

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial u}}&=\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}\displaystyle{\frac{\partial x}{\partial u}}+\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial u}}\\ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial v}}&=\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}\displaystyle{\frac{\partial x}{\partial v}}+\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial v}} \end{aligned}$

である。

( $\because$ 　 $v=v_0$ と固定したとき、前述した定理から $u$ の関数 $f(\varphi(u,v_0),\psi(u,v_0))$ は $u=u_0$ において微分可能で

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial}{\partial u}f(\varphi(u_0,v_0),\psi(u_0,v_0) )}=f_x(x_0,y_0)\displaystyle{\frac{\partial \varphi}{\partial u}(u_0,v_0)}+f_y(x_0,y_0)\displaystyle{\frac{\partial \psi}{\partial u}(u_0,v_0)} \end{aligned}$

が成り立つ。同様に $u=u_0$ と固定することでもう一方の式を得る。　 $\blacksquare$ )

　具体的な例としてデカルト座標と極座標を対応させる。 $z=f(x,y)$ は連続で2回微分可能だとし、 $x,y$ はそれぞれ $(r,\theta)$ の関数で $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ だとする。このとき

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial z}{\partial r}}&=z_x x_r+z_y y_r=z_x\cos\theta+z_y\sin\theta,\\ \displaystyle{\frac{\partial z}{\partial\theta}}&=z_x x_{\theta}+z_y y_{\theta}=z_x(-r\sin\theta)+z_y(r\cos\theta),\\ \displaystyle{\frac{\partial^2 z}{\partial r^2}}&=(z_{xx}x_r+z_{xy}y_r)\cos\theta+(z_{yx}x_r+z_{yy}y_r)\sin\theta\\ &=z_{xx}\cos^2\theta+2z_{xy}\cos\theta\sin\theta+z_{yy}\sin^2\theta,\\ \displaystyle{\frac{\partial^2 z}{\partial r\partial\theta}}=&\displaystyle{\frac{\partial^2 z}{\partial\theta\partial r}}=z_{xx}(-r\cos\theta\sin\theta)+z_{xy}r(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\\ &+z_{yy}r\cos\theta\sin\theta-z_x \sin\theta+z_y\cos\theta,\\ \displaystyle{\frac{\partial^2 z}{\partial\theta^2}}=&z_{xx}r^2\sin^2\theta-2z_{xy}r^2\cos\theta\sin\theta+z_{yy}r^2\cos^2\theta\\ &-z_x r\cos\theta-z_y r\sin\theta \end{aligned}$

である。したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}}+\displaystyle{\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}}=\displaystyle{\frac{\partial^2 z}{\partial r^2}}+\displaystyle{\frac{1}{r}\frac{\partial z}{\partial r}}+\displaystyle{\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 z}{\partial\theta^2}} \end{aligned}$

が成立することが分かる。

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