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やりなおしの数学・微分積分篇(28/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

www.rokakuho.co.jp

今日のまとめ

  • z=f(x,y)は点\boldsymbol{x}_0=(x_0,y_0)において微分可能とし、x,yはそれぞれtの関数x=\varphi(t),y=\psi(t)\varphi(t),\psi(t)t=t_0において微分可能だとする。\boldsymbol{x}_0=(\varphi(t_0),\psi(t_0)とする。このときf(\varphi(t),\psi(t))tの関数としてt=t_0において微分可能で
    \begin{aligned}\displaystyle{\frac{d}{dt}f(\varphi(t_0),\psi(t_0))}=f_{x}(x_0)\varphi^{\prime}(t_0)+f_y(x_0,y_0)\psi^{\prime}(t_0)\end{aligned}

7. 多変数関数の微分

 2つ以上の変数を持つ関数(多変数関数)の微分およびその応用を取り扱う。まずは2変数関数を中心に扱い、その後に一般のn(\geq2)変数関数の場合を扱う。

7.5 合成関数の微分


合成関数の微分 z=f(x,y)は点\boldsymbol{x}_0=(x_0,y_0)において微分可能とし、x,yはそれぞれtの関数x=\varphi(t),y=\psi(t)\varphi(t),\psi(t)t=t_0において微分可能だとする。\boldsymbol{x}_0=(\varphi(t_0),\psi(t_0)とする。このときf(\varphi(t),\psi(t))tの関数としてt=t_0において微分可能で

\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{d}{dt}f(\varphi(t_0),\psi(t_0))}=f_{x}(x_0)\varphi^{\prime}(t_0)+f_y(x_0,y_0)\psi^{\prime}(t_0)
\end{aligned}

すなわち


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{df}{dt}}=\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}\displaystyle{\frac{dx}{dt}}+\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}\displaystyle{\frac{dy}{dt}}
\end{aligned}
である。
(\because z=f(x,y)は点(x_0,y_0)において微分可能だから

\begin{aligned}
f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)k+\varepsilon(h,k)\rho
\end{aligned}

が成り立つ。ここで\rho=\sqrt{h^2+k^2}で、


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{(h,k)\rightarrow(0,0)}\varepsilon(h,k)}=0
\end{aligned}

が成り立つ。\varepsilon(0,0)=0と定めれば、上式は(h,k)=(0,0)でも成立する。
 上式においてh=\varphi(t_0+\Delta t)-\varphi(t_0),k=\psi(t_0+\Delta t)-\psi(t_0)とおくと


\begin{aligned}
&\displaystyle{\frac{1}{\Delta t}}\left\{f(\varphi(t_0+\Delta t),\psi(t_0+\Delta t) )-f(\varphi(t_0),\psi(t_0) )\right\}\\
=&\displaystyle{\frac{1}{\Delta t}}\left\{f_x(x_0,y_0)(\varphi(t_0+\Delta t)-\varphi(t_0) )+f_y(x_0,y_0)(\psi(t_0+\Delta t)-\psi(t_0) )\right\}+\eta(\Delta t)\\
=&f_x(x_0,y_0)\displaystyle{\frac{\varphi(t_0+\Delta t)-\varphi(t)}{\Delta t}}+f_y(x_0,y_0)\displaystyle{\frac{\psi(t_0+\Delta t)-\psi(t)}{\Delta t}}+\eta(\Delta t)
\end{aligned}

が成り立つ。ここで


\begin{aligned}
\left|\eta(\Delta t)\right|&=\displaystyle{\frac{|\varepsilon(h,k)|}{|\Delta t|}}\sqrt{(\varphi(t_0+\Delta t)-\varphi(t_0))^2+(\psi(t_0+\Delta t)-\psi(t_0))^2}\\
&=|\varepsilon(h,k)|\displaystyle{\sqrt{\left(\displaystyle{\frac{\varphi(t_0+\Delta t)-\varphi(t_0)}{\Delta t}}\right)^2+\left(\displaystyle{\frac{\psi(t_0+\Delta t)-\psi(t_0)}{\Delta t}}\right)^2}}\\
&\rightarrow 0(\Delta t\rightarrow0)
\end{aligned}

である。したがって\Delta t\rightarrow0のとき上式の右辺は


\begin{aligned}
f_x(x_0,y_0)\varphi^{\prime}(t_0)+f_y(x_0,y_0)\psi^{\prime}(t_0)
\end{aligned}

に収束する。 \blacksquare)


合成関数の微分(座標変換) z=f(x,y)は点\boldsymbol{x}_0=(x_0,y_0)において微分可能とし、x,yはそれぞれu,vの関数x=\varphi(u,v),y=\psi(u,v)\varphi(u,v),\psi(u,v)(u,v)=(u_0,v_0)においてu,vに関して偏微分可能だとする。x_0=(\varphi(u_0,v_0),y_0=\psi(u_0,v_0)とする。このときu,vの関数f(\varphi(u,v),\psi(u,v) )tの関数としてu_0,v_0において偏微分可能で

\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{\partial}{\partial u}f(\varphi(u_0,v_0),\psi(u_0,v_0) )}&=f_{x}(x_0,y_0)\displaystyle{\frac{\partial \varphi}{\partial u}}(u_0,v_0)+f_y(x_0,y_0)\displaystyle{\frac{\partial \psi}{\partial u}}(u_0,v_0),\\
\displaystyle{\frac{\partial}{\partial v}f(\varphi(u_0,v_0),\psi(u_0,v_0) )}&=f_{x}(x_0,y_0)\displaystyle{\frac{\partial \varphi}{\partial v}}(u_0,v_0)+f_y(x_0,y_0)\displaystyle{\frac{\partial \psi}{\partial v}}(u_0,v_0)
\end{aligned}

すなわち


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial u}}&=\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}\displaystyle{\frac{\partial x}{\partial u}}+\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial u}}\\
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial v}}&=\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}\displaystyle{\frac{\partial x}{\partial v}}+\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial v}}
\end{aligned}
である。
(\because v=v_0と固定したとき、前述した定理からuの関数f(\varphi(u,v_0),\psi(u,v_0))u=u_0において微分可能で

\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{\partial}{\partial u}f(\varphi(u_0,v_0),\psi(u_0,v_0) )}=f_x(x_0,y_0)\displaystyle{\frac{\partial \varphi}{\partial u}(u_0,v_0)}+f_y(x_0,y_0)\displaystyle{\frac{\partial \psi}{\partial u}(u_0,v_0)}
\end{aligned}

が成り立つ。同様にu=u_0と固定することでもう一方の式を得る。 \blacksquare)

 具体的な例としてデカルト座標極座標を対応させる。z=f(x,y)は連続で2回微分可能だとし、x,yはそれぞれ(r,\theta)の関数でx=r\cos\theta,y=r\sin\thetaだとする。このとき


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{\partial z}{\partial r}}&=z_x x_r+z_y y_r=z_x\cos\theta+z_y\sin\theta,\\
\displaystyle{\frac{\partial z}{\partial\theta}}&=z_x x_{\theta}+z_y y_{\theta}=z_x(-r\sin\theta)+z_y(r\cos\theta),\\
\displaystyle{\frac{\partial^2 z}{\partial r^2}}&=(z_{xx}x_r+z_{xy}y_r)\cos\theta+(z_{yx}x_r+z_{yy}y_r)\sin\theta\\
&=z_{xx}\cos^2\theta+2z_{xy}\cos\theta\sin\theta+z_{yy}\sin^2\theta,\\
\displaystyle{\frac{\partial^2 z}{\partial r\partial\theta}}=&\displaystyle{\frac{\partial^2 z}{\partial\theta\partial r}}=z_{xx}(-r\cos\theta\sin\theta)+z_{xy}r(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\\
&+z_{yy}r\cos\theta\sin\theta-z_x \sin\theta+z_y\cos\theta,\\
\displaystyle{\frac{\partial^2 z}{\partial\theta^2}}=&z_{xx}r^2\sin^2\theta-2z_{xy}r^2\cos\theta\sin\theta+z_{yy}r^2\cos^2\theta\\
&-z_x r\cos\theta-z_y r\sin\theta
\end{aligned}

である。したがって


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}}+\displaystyle{\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}}=\displaystyle{\frac{\partial^2 z}{\partial r^2}}+\displaystyle{\frac{1}{r}\frac{\partial z}{\partial r}}+\displaystyle{\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 z}{\partial\theta^2}}
\end{aligned}

が成立することが分かる。

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