以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。
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今日のまとめ
は点
において微分可能とし、
はそれぞれ
の関数
で
は
において微分可能だとする。
とする。このとき
は
の関数として
において微分可能で
7. 多変数関数の微分
2つ以上の変数を持つ関数(多変数関数)の微分およびその応用を取り扱う。まずは2変数関数を中心に扱い、その後に一般の
変数関数の場合を扱う。
7.5 合成関数の微分
合成関数の微分 
は点

において
微分可能とし、

はそれぞれ

の関数

で

は

において
微分可能だとする。

とする。このとき

は

の関数として

において
微分可能で
すなわち
である。
(

は点

において
微分可能だから
が成り立つ。ここで
で、
が成り立つ。
と定めれば、上式は
でも成立する。
上式において
とおくと
が成り立つ。ここで
である。したがって
のとき上式の右辺は
に収束する。
)
合成関数の微分(座標変換) 
は点

において
微分可能とし、

はそれぞれ

の関数

で

は

において

に関して
偏微分可能だとする。

とする。このとき

の関数

は

の関数として

において
偏微分可能で
すなわち
である。
(

と固定したとき、前述した定理から

の関数

は

において
微分可能で
が成り立つ。同様に
と固定することでもう一方の式を得る。
)
具体的な例としてデカルト座標と極座標を対応させる。
は連続で2回微分可能だとし、
はそれぞれ
の関数で
だとする。このとき
である。したがって
が成立することが分かる。