証券投資論（06/21） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　証券投資（現代ポートフォリオ理論）をコンパクトに学ぶべく、比較的最近に発刊され薄めの本である

証券投資理論 (Minervaファイナンス講座)

作者:八木恭子,澤木勝茂
ミネルヴァ書房

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を参考に学んでいく。

3.　ポートフォリオ理論
- 3.6.　効率的ポートフォリオの性質

前回：

power-of-awareness.com

3.　ポートフォリオ理論

3.6.　効率的ポートフォリオの性質

　期待リターン $E[r_P]$ が与えられたとき、分散を最小にする効率的ポートフォリオは

$\begin{aligned} \boldsymbol{\omega}_P=&\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\ &+\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}E[r_P] \end{aligned}$

で与えられることは既に示したとおりである。これの性質を調べていく。以降簡単のため

$\begin{aligned} g&=\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\ h&=\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}} \end{aligned}$

とおく。また

$\begin{aligned} A&={}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu},\\ B&={}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu},\\ C&={}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1},\\ D&=BC-A^2 \end{aligned}$

とする。

接線ポートフォリオの共分散　 $(\sigma,\mu)$ 平面上の効率的フロンティアの中で任意の効率的ポートフォリオへ接線を引いた接線ポートフォリオ $Q$ を考える。この接線ポートフォリオを与える接線が $\mu$ 軸と交わる期待リターンを特定でき、この接点 $R$ と $\mu$ 軸の交点 $\mu_Q$ が作るポートフォリオの共分散は $0$ である。

図表1　接線ポートフォリオ
f:id:suguru_125:20220115202214p:plain

( $\because$ 　効率フロンティア上の任意のポートフォリオ $P$ での接線が $\mu$ 軸と交わる交点（期待リターン）を $\mu_Q$ とする。この $\mu_Q$ を達成するような効率的フロンティア上のポートフォリオ $Q$ のリスクを $\sigma_Q$ とする。
　効率的フロンティア

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\sigma^2}{1/C}}-\displaystyle{\frac{(\mu-A/C)^2}{D/C}}=1 \end{aligned}$

を $\sigma$ に関して全微分することで

$\begin{aligned} 2C\sigma d\sigma&=2\displaystyle{\frac{C\mu-A}{D}}d\mu\\ &=\displaystyle{\frac{2}{D}}\left(C\mu-A\right)d\mu\\ \therefore\left.\displaystyle{\frac{d\mu}{d\sigma}}\right|_{\sigma=\sigma_P,\mu=\mu_P}&=\displaystyle{\frac{D}{C\mu_P-A}}\sigma_P \end{aligned}$

　したがってポートフォリオ $P$ における接線方程式は

$\begin{aligned} \mu-\mu_P=\displaystyle{\frac{D\sigma_P}{C\mu_P-A}}(\sigma-\sigma_P) \end{aligned}$

である。この直線と $\mu$ 軸の交点は $(0,\mu_Q)$ であるから

$\begin{aligned} \mu_Q-\mu_P&=-\displaystyle{\frac{D\sigma_P}{C\mu_P-A}}\sigma_P\\ \mu_Q&=\mu_P-\displaystyle{\frac{D{\sigma_P}^2}{C\mu_P-A}} \end{aligned}$

を得る。ここに

$\begin{aligned} {\sigma_P}^2=\displaystyle{\frac{C{\mu_P}^2-2A\mu_P+B}{D}} \end{aligned}$

を代入して ${\sigma_P}^2$ を消去すると

$\begin{aligned} \mu_Q&=\mu_P-\displaystyle{\frac{D}{C\mu_P-A}}\displaystyle{\frac{C{\mu_P}^2-2A\mu_P+B}{D}}\\ &=\mu_P-\displaystyle{\frac{C{\mu_P}^2-2A\mu_P+B}{C\mu_P-A}}\\ &=\displaystyle{\frac{C{\mu_P}^2-A\mu_P-C{\mu_P}^2+2A\mu_P-B}{C\mu_P-A}}\\ &=\displaystyle{\frac{A\mu_P-B}{C\mu_P-A}} \end{aligned}$

となる。したがってポートフォリオ $P,Q$ の共分散は、

$\begin{aligned} \mathrm{Cov}[r_P,r_Q]&=\displaystyle{\frac{C\mu_P\mu_Q-A()+B}{D}}\\ &=\displaystyle{\frac{1}{D}\left[C\mu_P\left(\displaystyle{\frac{A\mu_P-B}{C\mu_P-A}}\right)-A\left( \mu_P+\displaystyle{\frac{A\mu_P-B}{C\mu_P-A}}\right)+B\right]}=0 \end{aligned}$

を得る。　 $\blacksquare$ )

　図からも分かるように、 $\mu_Q$ は $A/C$ よりも下側にある（ $\mu\lt A/C$ ）。なぜならば $A/C$ は双曲線の頂点である最小分散ポートフォリオ $\mathrm{mvp}$ の期待リターンであり、ここに近づけば近づくほど接線の傾きは限りなく無限大に近づく。これは $A/C$ を達成するようなポートフォリオが存在しないことを意味する。このような接線ポートフォリオが $\mu$ 軸と交わる期待リターン $\mu_Q$ を与える有効フロンティア（双曲線）上のポートフォリオ $Q$ をゼロベータ・ポートフォリオという。

効率的ポートフォリオの一次結合　効率的ポートフォリオの一次結合はまた効率的ポートフォリオである。さらに効率的ポートフォリオの集合は凸集合である。

( $\because$ 　 $\omega_i\in\mathbb{R},\ \displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\omega_i}=1,i=1,2,\cdots,m$ とし、効率的ポートフォリオ $x_i,i=1,2,\cdots,m$ の期待リターンをそれぞれ $\mu_i$ とする。このとき

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\omega_i x_i}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\omega_i (g+h\mu_{i})}=g+h\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\omega_i \mu_{i}} \end{aligned}$

を得る。ここで $x=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\omega_i x_i},\ \mu=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\omega_i \mu_{i}}$ とおけば、ポートフォリオ $x$ は期待リターンとして $\mu$ をもち、

$\begin{aligned} x=g+h\mu \end{aligned}$

であるから、期待リターンが $\mu$ であるような効率的ポートフォリオである。
　 $x_i$ が効率的ポートフォリオであれば、 $\mu_i\geq A/C$ が成り立つ。すべての $i$ について $\omega_i\geq0$ でかつ $\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\omega_i}=1$ であるとすれば、 $x=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\omega_i x_i}$ は凸な一次結合となり、Jensenの不等式より、その期待リターンは

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\omega_i \mu_i}\geq\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\omega_i\frac{A}{C}}=\displaystyle{\frac{A}{C}} \end{aligned}$

となって効率的ポートフォリオの凸一次結合もまた効率的ポートフォリオとなる。これは効率的ポートフォリオの集合が凸集合であることを意味する。　 $\blacksquare$ )

　以上から、効率的ポートフォリオの集合において最小分散ポートフォリオ $\mathrm{mvp}$ 以外の任意の効率的ポートフォリオおよび効率的ポートフォリオの一次結合によって生成されたポートフォリオはゼロベータ・ポートフォリオをもち、それは一意である。このゼロベータ・ポートフォリオと効率的ポートフォリオの共分散は $0$ であるから、これらの相関係数は $0$ である。ゼロベータ・ポートフォリオは効率的ポートフォリオの一次結合で生成可能であることを意味する。任意の効率的ポートフォリオとそれによって与えられるゼロベータ・ポートフォリオを用いることで、任意の有価証券の期待リターンを線形結合で表現できる。

ゼロベータ・ポートフォリオによる生成　任意の効率的ポートフォリオ $P$ に対してゼロベータ・ポートフォリオを $Q$ とする。効率的フロンティア上にない任意の有価証券 $j$ のリターンを $r_j$ とするとき、その証券のリターンおよび分散共分散について以下の式が成立する。

$\begin{aligned} E[r_j]=E[r_Q]+\beta_{j}^{P}(E[r_P]-E[r_Q]),\ \beta_{j}^{P}=\displaystyle{\frac{\mathrm{Cov}[r_j,r_P]}{V[r_P]}} \end{aligned}$

( $\because$ 　最小分散ポートフォリオの期待リターン $A/C$ 以外を取る任意の非効率的ポートフォリオを $Z$ とする。任意の非効率的ポートフォリオを $\boldsymbol{z}={}^{t}(z_1,\cdots,z_J)$ とする。なお任意の有価証券 $j$ のみに投資する場合は $\boldsymbol{z}_{j}=(0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)$ と $j$ 番目の成分のみが $1$ でそれ以外の成分が $0$ であるようなベクトルとなる。
　効率的ポートフォリオ $P$ と非効率的ポートフォリオ $Z$ のリターンの共分散は

$\begin{aligned} \mathrm{Cov}[r_P,r_Z]={}^{t}\boldsymbol{x}_P V\boldsymbol{z} \end{aligned}$

で与えられる。ここで $V$ は全有価証券の分散共分散行列である。
　効率的ポートフォリオは

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}_P=\displaystyle{\frac{C\mu_P-A}{D}}V^{-1}\mu_Z+\displaystyle{\frac{B-\mu_P A}{D}}V^{-1}\boldsymbol{1} \end{aligned}$

で与えられる。ここで $\mu_P$ はポートフォリオ $P$ の期待リターンである。したがって

$\begin{aligned} \mathrm{Cov}[r_P,r_Z]&=\mathrm{Cov}[r_P,r_Z]\\ &=\left(\displaystyle{\frac{C\mu_P-A}{D}}V^{-1}\mu_Z+\displaystyle{\frac{B-\mu_P A}{D}}V^{-1}\boldsymbol{1}\right)V\boldsymbol{z}\\ &=\displaystyle{\frac{C\mu_P-A}{D}}\mu_Z V^{-1}V\boldsymbol{z}+\displaystyle{\frac{B-\mu_P A}{D}}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}V\boldsymbol{z}\\ &=\displaystyle{\frac{C\mu_P-A}{D}}\mu_Z+\displaystyle{\frac{B-\mu_P A}{D}} \end{aligned}$

が成り立つ。
　これを $\mu_Z$ について整理することで

$\begin{aligned} \mu_Z&=\displaystyle{\frac{D}{C\mu_P-A}}\left(\mathrm{Cov}[r_P,r_Z]-\displaystyle{\frac{B-\mu_P A}{D}}\right)\\ &=\displaystyle{\frac{D}{C\mu_P-A}}\mathrm{Cov}[r_P,r_Z]+\displaystyle{\frac{A\mu_P-B}{C\mu_P-A}} \end{aligned}$

となる。ゼロベータ・ポートフォリオ $Q$ に対して

$\begin{aligned} \mu_Q=\mu_P-\displaystyle{\frac{DV[r_P]}{C\mu_P-A}}=\displaystyle{\frac{A\mu_P-B}{C\mu_P-A}} \end{aligned}$

であるから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{D}{C\mu_P-A}}\mathrm{Cov}[r_P,r_Z]=\mu_Z-\mu_Q \end{aligned}$

が成り立つ。
　特に $Z=P$ であるとき

$\begin{aligned} &\ \displaystyle{\frac{D}{C\mu_P-A}}\mathrm{Cov}[r_P,r_P]=\displaystyle{\frac{D}{C\mu_P-A}}V[r_P]=\mu_P-\mu_Q\\ \Leftrightarrow&\ \displaystyle{\frac{D}{C\mu_P-A}}=\displaystyle{\frac{\mu_P-\mu_Q}{V[r_P]}} \end{aligned}$

である。これらを代入することで

$\begin{aligned} \mu_Z&=\displaystyle{\frac{D}{C\mu_P-A}}\mathrm{Cov}[r_P,r_Z]+\mu_Q\\ &=\displaystyle{\frac{\mu_P-\mu_Q}{V[r_P]}}\mathrm{Cov}[r_P,r_Z]+\mu_Q\\ \therefore\ &\mu_Z-\mu_Q=\displaystyle{\frac{\mathrm{Cov}[r_P,r_Z]}{V[r_P]}}(\mu_P-\mu_Q) \end{aligned}$

$Z$ を特定の有価証券のみに投資するポートフォリオとすれば題意と同値になる。　 $\blacksquare$ )

　効率的フロンティア上の接点ポートフォリオ $P$ の傾き $S(P)$ は

$\begin{aligned} S(P)=\displaystyle{\frac{\mu_P-\mu_Q}{\sigma_P}} \end{aligned}$

は接点ポートフォリオの期待リターンがゼロベータ・ポートフォリオの期待リターンに対する超過分に対して接点ポートフォリオの標準偏差1単位当たりの値を表し、これをシャープレシオ（Sharpe ratio）という。
　効率的フロンティア上のポートフォリオ $P$ と非効率的ポートフォリオ $Z$ との相関係数 $\rho_{PZ}$ は

$\begin{aligned} \rho_{PZ}&=\displaystyle{\frac{\mathrm{Cov}[r_P,r_Q]}{\sqrt{V[r_P]}\sqrt{V[r_Z]}}}\\ &=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{V[r_P]}\sqrt{V[r_Z]}}}\left(\displaystyle{\frac{C\mu_P-A}{D}\mu_Z+\displaystyle{\frac{B-\mu_P A}{D}}}\right)\\ &=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{V[r_P]}\sqrt{V[r_Z]}}}\left(\displaystyle{\frac{V[r_P]}{\mu_P-\mu_Q}\mu_Z+\frac{C\mu_P-A}{D}\frac{B-\mu_P A}{C\mu_P-A}}\right)\\ &=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{V[r_P]}\sqrt{V[r_Z]}}}\left[\displaystyle{\frac{\sqrt{V[r_P]}}{S(P)}\mu_Z+\frac{\sqrt{V[r_P]}}{S(P)}\left(\frac{B-\mu_P A}{C\mu_P-A}\right)}\right]\\ &=\displaystyle{\frac{1}{S(P)\sqrt{V[r_Z]}}}\left(\displaystyle{\mu_Z+\frac{B-\mu_P A}{C\mu_P-A}}\right)\\ &=\displaystyle{\frac{1}{S(P)\sqrt{V[r_Z]}}}\left(\mu_Q+\beta_{Z}^{Q}(\mu_P-\mu_Q)-\mu_Q\right)\\ &=\displaystyle{\frac{1}{S(P)\sqrt{V[r_Z]}}}\left(\beta_{Z}^{Q}(\mu_P-\mu_Q)\right)\\ &=\displaystyle{\frac{1}{S(P)}}\displaystyle{\frac{\mu_Z-\mu_Q}{\sqrt{V[r_Z]}}}\\ &=\displaystyle{\frac{S(Z)}{S(P)}} \end{aligned}$