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証券投資論(06/21)

 証券投資(現代ポートフォリオ理論)をコンパクトに学ぶべく、比較的最近に発刊され薄めの本である

を参考に学んでいく。

  • 前回:

power-of-awareness.com

3. ポートフォリオ理論

3.6. 効率的ポートフォリオの性質

 期待リターンE[r_P]が与えられたとき、分散を最小にする効率的ポートフォリオ


\begin{aligned}
\boldsymbol{\omega}_P=&\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\
&+\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}E[r_P]
\end{aligned}

で与えられることは既に示したとおりである。これの性質を調べていく。以降簡単のため


\begin{aligned}
g&=\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\
h&=\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}
\end{aligned}

とおく。また


\begin{aligned}
A&={}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu},\\
B&={}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu},\\
C&={}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1},\\
D&=BC-A^2
\end{aligned}

とする。


接線ポートフォリオの共分散 (\sigma,\mu)平面上の効率的フロンティアの中で任意の効率的ポートフォリオへ接線を引いた接線ポートフォリオQを考える。この接線ポートフォリオを与える接線が\mu軸と交わる期待リターンを特定でき、この接点R\mu軸の交点\mu_Qが作るポートフォリオの共分散は0である。


図表1 接線ポートフォリオ
f:id:suguru_125:20220115202214p:plain

(\because 効率フロンティア上の任意のポートフォリオPでの接線が\mu軸と交わる交点(期待リターン)を\mu_Qとする。この\mu_Qを達成するような効率的フロンティア上のポートフォリオQのリスクを\sigma_Qとする。
 効率的フロンティア


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{\sigma^2}{1/C}}-\displaystyle{\frac{(\mu-A/C)^2}{D/C}}=1
\end{aligned}

\sigmaに関して全微分することで


\begin{aligned}
2C\sigma d\sigma&=2\displaystyle{\frac{C\mu-A}{D}}d\mu\\
&=\displaystyle{\frac{2}{D}}\left(C\mu-A\right)d\mu\\
\therefore\left.\displaystyle{\frac{d\mu}{d\sigma}}\right|_{\sigma=\sigma_P,\mu=\mu_P}&=\displaystyle{\frac{D}{C\mu_P-A}}\sigma_P
\end{aligned}

 したがってポートフォリオPにおける接線方程式は


\begin{aligned}
\mu-\mu_P=\displaystyle{\frac{D\sigma_P}{C\mu_P-A}}(\sigma-\sigma_P)
\end{aligned}

である。この直線と\mu軸の交点は(0,\mu_Q)であるから


\begin{aligned}
\mu_Q-\mu_P&=-\displaystyle{\frac{D\sigma_P}{C\mu_P-A}}\sigma_P\\
\mu_Q&=\mu_P-\displaystyle{\frac{D{\sigma_P}^2}{C\mu_P-A}}
\end{aligned}

を得る。ここに


\begin{aligned}
{\sigma_P}^2=\displaystyle{\frac{C{\mu_P}^2-2A\mu_P+B}{D}}
\end{aligned}

を代入して{\sigma_P}^2を消去すると


\begin{aligned}
\mu_Q&=\mu_P-\displaystyle{\frac{D}{C\mu_P-A}}\displaystyle{\frac{C{\mu_P}^2-2A\mu_P+B}{D}}\\
           &=\mu_P-\displaystyle{\frac{C{\mu_P}^2-2A\mu_P+B}{C\mu_P-A}}\\
           &=\displaystyle{\frac{C{\mu_P}^2-A\mu_P-C{\mu_P}^2+2A\mu_P-B}{C\mu_P-A}}\\
           &=\displaystyle{\frac{A\mu_P-B}{C\mu_P-A}}
\end{aligned}

となる。したがってポートフォリオP,Qの共分散は、


\begin{aligned}
\mathrm{Cov}[r_P,r_Q]&=\displaystyle{\frac{C\mu_P\mu_Q-A()+B}{D}}\\
&=\displaystyle{\frac{1}{D}\left[C\mu_P\left(\displaystyle{\frac{A\mu_P-B}{C\mu_P-A}}\right)-A\left(
\mu_P+\displaystyle{\frac{A\mu_P-B}{C\mu_P-A}}\right)+B\right]}=0
\end{aligned}
を得る。 \blacksquare)

 図からも分かるように、\mu_QA/Cよりも下側にある(\mu\lt A/C)。なぜならばA/Cは双曲線の頂点である最小分散ポートフォリオ\mathrm{mvp}の期待リターンであり、ここに近づけば近づくほど接線の傾きは限りなく無限大に近づく。これはA/Cを達成するようなポートフォリオが存在しないことを意味する。このような接線ポートフォリオ\mu軸と交わる期待リターン\mu_Qを与える有効フロンティア(双曲線)上のポートフォリオQゼロベータ・ポートフォリオという。


効率的ポートフォリオの一次結合 効率的ポートフォリオの一次結合はまた効率的ポートフォリオである。さらに効率的ポートフォリオの集合は凸集合である。
(\because \omega_i\in\mathbb{R},\ \displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\omega_i}=1,i=1,2,\cdots,mとし、効率的ポートフォリオx_i,i=1,2,\cdots,mの期待リターンをそれぞれ\mu_iとする。このとき

\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\omega_i x_i}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\omega_i (g+h\mu_{i})}=g+h\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\omega_i \mu_{i}}
\end{aligned}

を得る。ここでx=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\omega_i x_i},\ \mu=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\omega_i \mu_{i}}とおけば、ポートフォリオxは期待リターンとして\muをもち、


\begin{aligned}
x=g+h\mu
\end{aligned}

であるから、期待リターンが\muであるような効率的ポートフォリオである。
 x_iが効率的ポートフォリオであれば、\mu_i\geq A/Cが成り立つ。すべてのiについて\omega_i\geq0でかつ\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\omega_i}=1であるとすれば、x=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\omega_i x_i}は凸な一次結合となり、Jensenの不等式より、その期待リターンは


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\omega_i \mu_i}\geq\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\omega_i\frac{A}{C}}=\displaystyle{\frac{A}{C}}
\end{aligned}

となって効率的ポートフォリオの凸一次結合もまた効率的ポートフォリオとなる。これは効率的ポートフォリオの集合が凸集合であることを意味する。 \blacksquare)

 以上から、効率的ポートフォリオの集合において最小分散ポートフォリオ\mathrm{mvp}以外の任意の効率的ポートフォリオおよび効率的ポートフォリオの一次結合によって生成されたポートフォリオはゼロベータ・ポートフォリオをもち、それは一意である。このゼロベータ・ポートフォリオと効率的ポートフォリオの共分散は0であるから、これらの相関係数0である。ゼロベータ・ポートフォリオは効率的ポートフォリオの一次結合で生成可能であることを意味する。任意の効率的ポートフォリオとそれによって与えられるゼロベータ・ポートフォリオを用いることで、任意の有価証券の期待リターンを線形結合で表現できる。


ゼロベータ・ポートフォリオによる生成 任意の効率的ポートフォリオPに対してゼロベータ・ポートフォリオQとする。効率的フロンティア上にない任意の有価証券jのリターンをr_jとするとき、その証券のリターンおよび分散共分散について以下の式が成立する。

\begin{aligned}
E[r_j]=E[r_Q]+\beta_{j}^{P}(E[r_P]-E[r_Q]),\ \beta_{j}^{P}=\displaystyle{\frac{\mathrm{Cov}[r_j,r_P]}{V[r_P]}}
\end{aligned}

(\because 最小分散ポートフォリオの期待リターンA/C以外を取る任意の非効率的ポートフォリオZとする。任意の非効率的ポートフォリオ\boldsymbol{z}={}^{t}(z_1,\cdots,z_J)とする。なお任意の有価証券jのみに投資する場合は\boldsymbol{z}_{j}=(0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)j番目の成分のみが1でそれ以外の成分が0であるようなベクトルとなる。
 効率的ポートフォリオPと非効率的ポートフォリオZのリターンの共分散は


\begin{aligned}
\mathrm{Cov}[r_P,r_Z]={}^{t}\boldsymbol{x}_P V\boldsymbol{z}
\end{aligned}

で与えられる。ここでVは全有価証券の分散共分散行列である。
 効率的ポートフォリオ


\begin{aligned}
\boldsymbol{x}_P=\displaystyle{\frac{C\mu_P-A}{D}}V^{-1}\mu_Z+\displaystyle{\frac{B-\mu_P A}{D}}V^{-1}\boldsymbol{1}
\end{aligned}

で与えられる。ここで\mu_PポートフォリオPの期待リターンである。したがって


\begin{aligned}
\mathrm{Cov}[r_P,r_Z]&=\mathrm{Cov}[r_P,r_Z]\\
&=\left(\displaystyle{\frac{C\mu_P-A}{D}}V^{-1}\mu_Z+\displaystyle{\frac{B-\mu_P A}{D}}V^{-1}\boldsymbol{1}\right)V\boldsymbol{z}\\
&=\displaystyle{\frac{C\mu_P-A}{D}}\mu_Z V^{-1}V\boldsymbol{z}+\displaystyle{\frac{B-\mu_P A}{D}}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}V\boldsymbol{z}\\
&=\displaystyle{\frac{C\mu_P-A}{D}}\mu_Z+\displaystyle{\frac{B-\mu_P A}{D}}
\end{aligned}

が成り立つ。
 これを\mu_Zについて整理することで


\begin{aligned}
\mu_Z&=\displaystyle{\frac{D}{C\mu_P-A}}\left(\mathrm{Cov}[r_P,r_Z]-\displaystyle{\frac{B-\mu_P A}{D}}\right)\\
&=\displaystyle{\frac{D}{C\mu_P-A}}\mathrm{Cov}[r_P,r_Z]+\displaystyle{\frac{A\mu_P-B}{C\mu_P-A}}
\end{aligned}

となる。ゼロベータ・ポートフォリオQに対して


\begin{aligned}
\mu_Q=\mu_P-\displaystyle{\frac{DV[r_P]}{C\mu_P-A}}=\displaystyle{\frac{A\mu_P-B}{C\mu_P-A}}
\end{aligned}

であるから、


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{D}{C\mu_P-A}}\mathrm{Cov}[r_P,r_Z]=\mu_Z-\mu_Q
\end{aligned}

が成り立つ。
 特にZ=Pであるとき


\begin{aligned}
&\ \displaystyle{\frac{D}{C\mu_P-A}}\mathrm{Cov}[r_P,r_P]=\displaystyle{\frac{D}{C\mu_P-A}}V[r_P]=\mu_P-\mu_Q\\
\Leftrightarrow&\ \displaystyle{\frac{D}{C\mu_P-A}}=\displaystyle{\frac{\mu_P-\mu_Q}{V[r_P]}}
\end{aligned}

である。これらを代入することで


\begin{aligned}
\mu_Z&=\displaystyle{\frac{D}{C\mu_P-A}}\mathrm{Cov}[r_P,r_Z]+\mu_Q\\
&=\displaystyle{\frac{\mu_P-\mu_Q}{V[r_P]}}\mathrm{Cov}[r_P,r_Z]+\mu_Q\\
\therefore\ &\mu_Z-\mu_Q=\displaystyle{\frac{\mathrm{Cov}[r_P,r_Z]}{V[r_P]}}(\mu_P-\mu_Q)
\end{aligned}

Zを特定の有価証券のみに投資するポートフォリオとすれば題意と同値になる。 \blacksquare)

 効率的フロンティア上の接点ポートフォリオPの傾きS(P)


\begin{aligned}
S(P)=\displaystyle{\frac{\mu_P-\mu_Q}{\sigma_P}}
\end{aligned}

は接点ポートフォリオの期待リターンがゼロベータ・ポートフォリオの期待リターンに対する超過分に対して接点ポートフォリオ標準偏差1単位当たりの値を表し、これをシャープレシオSharpe ratio)という。
 効率的フロンティア上のポートフォリオPと非効率的ポートフォリオZとの相関係数\rho_{PZ}


\begin{aligned}
\rho_{PZ}&=\displaystyle{\frac{\mathrm{Cov}[r_P,r_Q]}{\sqrt{V[r_P]}\sqrt{V[r_Z]}}}\\
&=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{V[r_P]}\sqrt{V[r_Z]}}}\left(\displaystyle{\frac{C\mu_P-A}{D}\mu_Z+\displaystyle{\frac{B-\mu_P A}{D}}}\right)\\
&=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{V[r_P]}\sqrt{V[r_Z]}}}\left(\displaystyle{\frac{V[r_P]}{\mu_P-\mu_Q}\mu_Z+\frac{C\mu_P-A}{D}\frac{B-\mu_P A}{C\mu_P-A}}\right)\\
&=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{V[r_P]}\sqrt{V[r_Z]}}}\left[\displaystyle{\frac{\sqrt{V[r_P]}}{S(P)}\mu_Z+\frac{\sqrt{V[r_P]}}{S(P)}\left(\frac{B-\mu_P A}{C\mu_P-A}\right)}\right]\\
&=\displaystyle{\frac{1}{S(P)\sqrt{V[r_Z]}}}\left(\displaystyle{\mu_Z+\frac{B-\mu_P A}{C\mu_P-A}}\right)\\
&=\displaystyle{\frac{1}{S(P)\sqrt{V[r_Z]}}}\left(\mu_Q+\beta_{Z}^{Q}(\mu_P-\mu_Q)-\mu_Q\right)\\
&=\displaystyle{\frac{1}{S(P)\sqrt{V[r_Z]}}}\left(\beta_{Z}^{Q}(\mu_P-\mu_Q)\right)\\
&=\displaystyle{\frac{1}{S(P)}}\displaystyle{\frac{\mu_Z-\mu_Q}{\sqrt{V[r_Z]}}}\\
&=\displaystyle{\frac{S(Z)}{S(P)}}
\end{aligned}

が成り立つ。すなわち効率的ポートフォリオと非効率的ポートフォリオとの相関係数はそれぞれのシャープ・レシオの比率として求めることが出来る。

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