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やりなおしの数学・微分積分篇(45/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 引き続き助変数に関する一様収束性など性質を扱う。

9. 関数列の収束

 本節では関数の数列(関数列)に関する収束概念を扱う。

9.6 助変数に関する一様収束

 \mathrm{Dini}の定理は以下で表される。


\mathrm{Dini}の定理 [a,b]\times(c,\alpha_0)上で定義された実数値関数f(x,\alpha)について、各\alpha\in(c,\alpha_0)に対してf(x,\alpha)x\in[a,b]の連続関数だとする。また各x\in[a,b]に対しては\alpha\in(c,\alpha_0)について単調性をもつ*1とする。
 もし\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow\alpha_0}}f(x,\alpha)=g(x)g(x)[a,b]上で連続関数ならば、\alpha\rightarrow\alpha_0であるときにA\subset\mathbb{R}上でf(x,\alpha)g(x)に一様収束する。
(\because 単調減少であるときも同様に示すことができるため、f(x,\alpha)\alphaについて単調増加だとする。\{\alpha_{n}\}_{n=1,2,\cdots}(c,\alpha_0)内の単調増加列で\alpha_n\rightarrow\alpha_0(n\rightarrow\infty)とする。仮定よりf(x,\alpha_n)x\in[a,b]の連続関数であり、かつ各x\in[a,b]に対してf(x,\alpha_1)\leq f(x,\alpha_2)\leq\cdots\leq f(x,\alpha_n)\leq\cdotsである。
 さらに\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}f(x,\alpha_n)}=g(x)かつg(x)x\in[a,b]の連続関数である。したがって(普通の変数をもつ関数に対する)\mathrm{Dini}の定理においてf_n(x)=f(x,\alpha_n)としてn\rightarrow\inftyにおいて[a,b]上でf_n(x)g(x)に一様収束する。すなわち


\begin{aligned}
{}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}\alpha_n\left({}^{\forall}x\in[a,b]\left(|f(x,\alpha_n)-g(x)|\lt\varepsilon\right)\right)\right)
\end{aligned}

が成立する。いまf(x,\alpha)\alphaについて単調増加であるから\alpha\in(\alpha_n,\alpha_0)に対してf(x,\alpha_n)\leq f(x,\alpha)が成立し、


\begin{aligned}
0\leq g(x)-f(x,\alpha)\leq g(x)-f(x,\alpha_n)\lt\varepsilon
\end{aligned}

が成立する。これは\alpha\rightarrow\alpha_0であるときにA\subset\mathbb{R}上でf(x,\alpha)g(x)に一様収束する。 \blacksquare)


助変数に対する偏導関数導関数の一致性 f(x,\alpha)[a,b]\times(c,\alpha_0)上で定義された実数値関数で、各\alpha\in(c,\alpha_0)に対してf(x,\alpha)[a,b]上で定義された連続な偏導関数(\partial_x f)(x,\alpha)をもつとする。また


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow\alpha_0}f(x,\alpha)}=g(x),
\end{aligned}

また\alpha\rightarrow\alpha_0のとき[a,b]状において(\partial_x f)(x,\alpha)h(x)に一様収束するとする。このときg(x)[a,b]上で定義された1回連続微分可能な関数であり、h(x)=g^{\prime}(x)である。すなわち


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow\alpha_0}(\partial_x f)(x,\alpha)}=g^{\prime}(x)
\end{aligned}

が成り立つ。

(\because f(x,\alpha)


\begin{aligned}
f(x,\alpha)=f(a,\alpha)+\displaystyle{\int_a^x(\partial_x f)(t,\alpha)dt}
\end{aligned}

と表す。[a,b]上において(\partial_x f)(x,\alpha)h(x)に一様収束するから、部分区間[a,x],a\lt x\leq bでも一様収束する。そのため\alpha\rightarrow\alpha_0として


\begin{aligned}
g(x)=g(a)+\displaystyle{\int_a^x h(t)dt}
\end{aligned}

を得る。(\partial_x f)(x,\alpha)[a,b]上でh(x)に一様収束するから、h(x)は連続関数である。したがって


\begin{aligned}
g^{\prime}(x)=h(x)=\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow\alpha_0}(\partial_x f)(x,\alpha)}
\end{aligned}

を得る。とくにg^{\prime}(x)は連続関数であるから、g(x)[a,b]上1回連続微分可能関数である。 \blacksquare)


 f(x,\alpha)(x,\alpha)の関数として[a,b]\times[c,d]において連続だとする。このとき各\alpha\in[a,b]に対してf(x,\alpha)xの関数として連続だから


\begin{aligned}
F(\alpha)=\displaystyle{\int_a^b f(x,\alpha)}dx,\ \alpha\in J=[c,d]
\end{aligned}

により区間J上の関数が定義できる。


助変数をもつ関数の積分が持つ性質 f(x,\alpha)(x,\alpha)の関数として[a,b]\times[c,d]において連続だとする。このとき各\alpha\in[a,b]に対して


\begin{aligned}
F(\alpha)=\displaystyle{\int_a^b f(x,\alpha)}dx,\ \alpha\in J=[c,d]
\end{aligned}

[c,d]上で連続である。また


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{c}^{d} F(\alpha)d\alpha}=\displaystyle{\int_{c}^{d}\left[\int_{a}^{b} f(x,\alpha)dx\right]d\alpha}=\displaystyle{\int_{a}^{b}\left[\int_{c}^{d} f(x,\alpha)d\alpha\right]dx}
\end{aligned}

が成り立つ。さらに\alphaについての偏導関数f_{\alpha}(x,\alpha)[a,b]\times[c,d]上で連続ならば、F(\alpha)[c,d]上で微分可能であり


\begin{aligned}
F^{\prime}(\alpha)=\displaystyle{\frac{d}{d\alpha}\int_a^b f(x,\alpha)dx}=\displaystyle{\int_c^d f_{\alpha}(x,\alpha)d\alpha},\ \alpha\in[c,d]
\end{aligned}

が成り立つ。

(\because f(x,\alpha)有界閉集合D=[a,b]\times[c,d]で連続であるから一様連続である。したがって{}^{\forall}\varepsilon\gt0に対して{}^{\exists}\delta\gt0(x,\alpha),x^{\prime},\alpha^{\prime}\in[a,b]\times[c,d]


\begin{aligned}
\left|(x,\alpha)-(x^{\prime},\alpha^{\prime})\right|=\sqrt{(x-x^{\prime})^2+(\alpha-\alpha^{\prime})^2}\lt\delta
\end{aligned}

ならば、


\begin{aligned}
\left|f(x,\alpha)-f(x^{\prime},\alpha^{\prime})\right|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{b-a}}
\end{aligned}

である。とくに|\alpha-\alpha^{\prime}|\lt\deltaに対してx=x^{\prime}として


\begin{aligned}
\left|f(x,\alpha)-f(x,\alpha^{\prime})\right|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{b-a}}
\end{aligned}

である。したがって|\alpha-\alpha^{\prime}|\lt\deltaならば


\begin{aligned}
\left|F(\alpha)-F(\alpha^{\prime})\right|\leq \displaystyle{\int_a^b|f(x,\alpha)-f(x,\alpha^{\prime})|}\lt \displaystyle{\frac{\varepsilon}{b-a}\int_a^b dx}=\varepsilon
\end{aligned}

である。こうしてF(\alpha)[c,d]上で一様連続であるから、連続である。
 次に


\begin{aligned}
\displaystyle{\iint_{[a,b]\times[c,d]}f(x,\alpha)dxd\alpha}=\displaystyle{\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}f(x,\alpha)dx\right)d\alpha}=\displaystyle{\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d}f(x,\alpha)d\alpha\right)dx}
\end{aligned}

が成り立つ。
 最後にf_t(x,t)[a,b]\times[c,d]上連続であるから、上で示したことから、


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_c^{\alpha} \left[\int_a^b f_t(x,t)dx\right]dt}&=\displaystyle{\int_a^b \left[\int_c^{\alpha}f_t(x,t)dt\right]dx}\\
&=\displaystyle{\int_a^b (f(x,\alpha)-f(x,c))dx}\\
&=F(\alpha)-F(c)
\end{aligned}

が得られる。 \blacksquare)

*1:単調増加または単調減少である。

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