やりなおしの数学・微分積分篇（46/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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引き続き助変数に関する一様収束性など性質を扱う。

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9.　関数列の収束
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9.　関数列の収束

　本節では関数の数列（関数列）に関する収束概念を扱う。

9.6　助変数に関する一様収束

　 $\mathrm{Dini}$ の定理は以下で表される。

$\mathrm{Dini}$ の定理　 $[a,b]\times(c,\alpha_0)$ 上で定義された実数値関数 $f(x,\alpha)$ について、各 $\alpha\in(c,\alpha_0)$ に対して $f(x,\alpha)$ は $x\in[a,b]$ の連続関数だとする。また各 $x\in[a,b]$ に対しては $\alpha\in(c,\alpha_0)$ について単調性をもつ*1とする。
　もし $\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow\alpha_0}}f(x,\alpha)=g(x)$ で $g(x)$ が $[a,b]$ 上で連続関数ならば、 $\alpha\rightarrow\alpha_0$ であるときに $A\subset\mathbb{R}$ 上で $f(x,\alpha)$ が $g(x)$ に一様収束する。

( $\because$ 　単調減少であるときも同様に示すことができるため、 $f(x,\alpha)$ は $\alpha$ について単調増加だとする。 $\{\alpha_{n}\}_{n=1,2,\cdots}$ を $(c,\alpha_0)$ 内の単調増加列で $\alpha_n\rightarrow\alpha_0(n\rightarrow\infty)$ とする。仮定より $f(x,\alpha_n)$ は $x\in[a,b]$ の連続関数であり、かつ各 $x\in[a,b]$ に対して $f(x,\alpha_1)\leq f(x,\alpha_2)\leq\cdots\leq f(x,\alpha_n)\leq\cdots$ である。
　さらに $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}f(x,\alpha_n)}=g(x)$ かつ $g(x)$ は $x\in[a,b]$ の連続関数である。したがって(普通の変数をもつ関数に対する) $\mathrm{Dini}$ の定理において $f_n(x)=f(x,\alpha_n)$ として $n\rightarrow\infty$ において $[a,b]$ 上で $f_n(x)$ は $g(x)$ に一様収束する。すなわち

$\begin{aligned} {}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}\alpha_n\left({}^{\forall}x\in[a,b]\left(|f(x,\alpha_n)-g(x)|\lt\varepsilon\right)\right)\right) \end{aligned}$

が成立する。いま $f(x,\alpha)$ は $\alpha$ について単調増加であるから $\alpha\in(\alpha_n,\alpha_0)$ に対して $f(x,\alpha_n)\leq f(x,\alpha)$ が成立し、

$\begin{aligned} 0\leq g(x)-f(x,\alpha)\leq g(x)-f(x,\alpha_n)\lt\varepsilon \end{aligned}$

が成立する。これは $\alpha\rightarrow\alpha_0$ であるときに $A\subset\mathbb{R}$ 上で $f(x,\alpha)$ が $g(x)$ に一様収束する。　 $\blacksquare$ )

助変数に対する偏導関数と導関数の一致性　 $f(x,\alpha)$ は $[a,b]\times(c,\alpha_0)$ 上で定義された実数値関数で、各 $\alpha\in(c,\alpha_0)$ に対して $f(x,\alpha)$ は $[a,b]$ 上で定義された連続な偏導関数 $(\partial_x f)(x,\alpha)$ をもつとする。また

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow\alpha_0}f(x,\alpha)}=g(x), \end{aligned}$

また $\alpha\rightarrow\alpha_0$ のとき $[a,b]$ 状において $(\partial_x f)(x,\alpha)$ が $h(x)$ に一様収束するとする。このとき $g(x)$ は $[a,b]$ 上で定義された1回連続微分可能な関数であり、 $h(x)=g^{\prime}(x)$ である。すなわち

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow\alpha_0}(\partial_x f)(x,\alpha)}=g^{\prime}(x) \end{aligned}$

が成り立つ。

( $\because$ 　 $f(x,\alpha)$ を

$\begin{aligned} f(x,\alpha)=f(a,\alpha)+\displaystyle{\int_a^x(\partial_x f)(t,\alpha)dt} \end{aligned}$

と表す。 $[a,b]$ 上において $(\partial_x f)(x,\alpha)$ は $h(x)$ に一様収束するから、部分区間 $[a,x],a\lt x\leq b$ でも一様収束する。そのため $\alpha\rightarrow\alpha_0$ として

$\begin{aligned} g(x)=g(a)+\displaystyle{\int_a^x h(t)dt} \end{aligned}$

を得る。 $(\partial_x f)(x,\alpha)$ は $[a,b]$ 上で $h(x)$ に一様収束するから、 $h(x)$ は連続関数である。したがって

$\begin{aligned} g^{\prime}(x)=h(x)=\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow\alpha_0}(\partial_x f)(x,\alpha)} \end{aligned}$

を得る。とくに $g^{\prime}(x)$ は連続関数であるから、 $g(x)$ は $[a,b]$ 上1回連続微分可能関数である。　 $\blacksquare$ )

　 $f(x,\alpha)$ は $(x,\alpha)$ の関数として $[a,b]\times[c,d]$ において連続だとする。このとき各 $\alpha\in[a,b]$ に対して $f(x,\alpha)$ は $x$ の関数として連続だから

$\begin{aligned} F(\alpha)=\displaystyle{\int_a^b f(x,\alpha)}dx,\ \alpha\in J=[c,d] \end{aligned}$

により区間 $J$ 上の関数が定義できる。

助変数をもつ関数の積分が持つ性質　 $f(x,\alpha)$ は $(x,\alpha)$ の関数として $[a,b]\times[c,d]$ において連続だとする。このとき各 $\alpha\in[a,b]$ に対して

$\begin{aligned} F(\alpha)=\displaystyle{\int_a^b f(x,\alpha)}dx,\ \alpha\in J=[c,d] \end{aligned}$

は $[c,d]$ 上で連続である。また

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{c}^{d} F(\alpha)d\alpha}=\displaystyle{\int_{c}^{d}\left[\int_{a}^{b} f(x,\alpha)dx\right]d\alpha}=\displaystyle{\int_{a}^{b}\left[\int_{c}^{d} f(x,\alpha)d\alpha\right]dx} \end{aligned}$

が成り立つ。さらに $\alpha$ についての偏導関数 $f_{\alpha}(x,\alpha)$ が $[a,b]\times[c,d]$ 上で連続ならば、 $F(\alpha)$ は $[c,d]$ 上で微分可能であり

$\begin{aligned} F^{\prime}(\alpha)=\displaystyle{\frac{d}{d\alpha}\int_a^b f(x,\alpha)dx}=\displaystyle{\int_c^d f_{\alpha}(x,\alpha)d\alpha},\ \alpha\in[c,d] \end{aligned}$

が成り立つ。

( $\because$ 　 $f(x,\alpha)$ は有界閉集合 $D=[a,b]\times[c,d]$ で連続であるから一様連続である。したがって ${}^{\forall}\varepsilon\gt0$ に対して ${}^{\exists}\delta\gt0$ で $(x,\alpha),$ $x^{\prime},\alpha^{\prime}\in[a,b]\times[c,d]$ が

$\begin{aligned} \left|(x,\alpha)-(x^{\prime},\alpha^{\prime})\right|=\sqrt{(x-x^{\prime})^2+(\alpha-\alpha^{\prime})^2}\lt\delta \end{aligned}$

ならば、

$\begin{aligned} \left|f(x,\alpha)-f(x^{\prime},\alpha^{\prime})\right|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{b-a}} \end{aligned}$

である。とくに $|\alpha-\alpha^{\prime}|\lt\delta$ に対して $x=x^{\prime}$ として

$\begin{aligned} \left|f(x,\alpha)-f(x,\alpha^{\prime})\right|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{b-a}} \end{aligned}$

である。したがって $|\alpha-\alpha^{\prime}|\lt\delta$ ならば

$\begin{aligned} \left|F(\alpha)-F(\alpha^{\prime})\right|\leq \displaystyle{\int_a^b|f(x,\alpha)-f(x,\alpha^{\prime})|}\lt \displaystyle{\frac{\varepsilon}{b-a}\int_a^b dx}=\varepsilon \end{aligned}$

である。こうして $F(\alpha)$ は $[c,d]$ 上で一様連続であるから、連続である。
　次に

$\begin{aligned} \displaystyle{\iint_{[a,b]\times[c,d]}f(x,\alpha)dxd\alpha}=\displaystyle{\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}f(x,\alpha)dx\right)d\alpha}=\displaystyle{\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d}f(x,\alpha)d\alpha\right)dx} \end{aligned}$

が成り立つ。
　最後に $f_t(x,t)$ は $[a,b]\times[c,d]$ 上連続であるから、上で示したことから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_c^{\alpha} \left[\int_a^b f_t(x,t)dx\right]dt}&=\displaystyle{\int_a^b \left[\int_c^{\alpha}f_t(x,t)dt\right]dx}\\ &=\displaystyle{\int_a^b (f(x,\alpha)-f(x,c))dx}\\ &=F(\alpha)-F(c) \end{aligned}$

が得られる。　 $\blacksquare$ )

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*1:単調増加または単調減少である。

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9.6 助変数に関する一様収束

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