9. 関数列の収束
本節では関数の数列(関数列)に関する収束概念を扱う。
9.6 助変数に関する一様収束
の定理は以下で表される。
さらに
が成立する。いまは
について単調増加であるから
に対して
が成立し、
が成立する。これはであるときに
上で
が
に一様収束する。
)
助変数に対する偏導関数と導関数の一致性
またのとき
状において
が
に一様収束するとする。このとき
は
上で定義された1回連続微分可能な関数であり、
である。すなわち
が成り立つ。
と表す。上において
は
に一様収束するから、部分区間
でも一様収束する。そのため
として
を得る。は
上で
に一様収束するから、
は連続関数である。したがって
を得る。とくには連続関数であるから、
は
上1回連続微分可能関数である。
)
は
の関数として
において連続だとする。このとき各
に対して
は
の関数として連続だから
により区間上の関数が定義できる。
ならば、
である。とくにに対して
として
である。したがってならば
である。こうしては
上で一様連続であるから、連続である。
次に
が成り立つ。
最後には
上連続であるから、上で示したことから、
が得られる。 )
*1:単調増加または単調減少である。