8. 多変数関数の積分
8.5 n次元Euclid空間上の多重積分
次元Euclid空間
上の有界な領域
上で定義された
変数の有界関数
に対しても
上での多重積分は以下の手順で定義される。
まずの場合を考える。
に対してその
次元体積を
で定義する。の分割
として各座標に
n重積分可能性
と表す。
一般の有界集合に対しては長方形
を
を満たすように取り、
と置いた上で、が
上
重積分可能のとき、
は
で
重積分可能であるといい、
での
上の
重積分
を定義する。
上の集合
が
次元体積
であるとは、
に対して長方形
があり
が成立するときをいう。
このとき、以下が成り立つ。