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やりなおしの数学・微分積分篇（34/X）

やりなおしの数学 数学 微分積分

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

理工系のための微分積分〈2〉

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今日のまとめ

  • n次元Euclid空間\mathbb{R}^n上の有界な領域\Omega上で定義されたn変数の有界関数f(\boldsymbol{x})=f(x_1,\cdots,x_n)に対しても\Omega上での多重積分が定義される。

8.　多変数関数の積分

　

8.5　n次元Euclid空間上の多重積分

　n次元Euclid空間\mathbb{R}^n上の有界な領域\Omega上で定義されたn変数の有界関数f(\boldsymbol{x})=f(x_1,\cdots,x_n)に対しても\Omega上での多重積分は以下の手順で定義される。
　まず\Omega=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]=\{\boldsymbol{x}=(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n|a_1\leq x_1\leq b_1,\cdots,a_n\leq x_n\leq b_n\}の場合を考える。\Omegaに対してそのn次元体積を

\begin{aligned} \left|\Omega\right|=\displaystyle{\prod_{i=1}^{n}(b_i-a_i)} \end{aligned}

で定義する。\Omegaの分割\Deltaとして各座標に

\begin{aligned} \Delta:\ a_1=x_{i0}\lt x_{i1}\lt\cdots\lt x_{im_i}=b_i,\ i=1,2,\cdots,n \end{aligned}
を考える。\Delta_{i_1,\cdots,i_n}=[x_{1\ i_1-1},x_{1 i_1}]\times\cdots\times[x_{n\ i_n-1},x_{n i_n}]を個の分割で生じた小長方形とし
\begin{aligned} M_{i_1,\cdots,i_n}&=\displaystyle{\sup\{f(x,y)|(x,y)\in\Delta_{i_1,\cdots,i_n}\}},\\ m_{i_1,\cdots,i_n}&=\displaystyle{\inf\{f(x,y)|(x,y)\in\Delta_{i_1,\cdots,i_n}\}},\\ S_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{i_1=1}^{m_1}\sum_{i_n=1}^{m_n}M_{i_1,\cdots,i_n}|\Delta_{i_1\cdots i_n}|},\\ s_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{i_1=1}^{m_1}\sum_{i_n=1}^{m_n}m_{i_1,\cdots,i_n}|\Delta_{i_1\cdots i_n}|} \end{aligned}

を定義する。
　また上積分、下積分を以下のように定義する。

\begin{aligned} S&=\displaystyle{\sup\{S_{\Delta}\}|\Deltaは長方形\Omegaの分割},\\ s&=\displaystyle{\inf\{s_{\Delta}|\Deltaは長方形\Omegaの分割\}} \end{aligned}


n重積分可能性　f(\boldsymbol{x})=f(x_1,\cdots,x_n)が\Omega=[x_{1\ i_1-1},x_{1 i_1}]\times\cdots\times[x_{n\ i_n-1},x_{n i_n}]上n重積分可能とは、S=sが成立することをいう。sをfの\Omega上のn重積分といい、
\begin{aligned} s=\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega} f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n \end{aligned}

と表す。
　一般の有界集合\Omegaに対しては長方形\tilde{\Omega}=[x_{1\ i_1-1},x_{1 i_1}]\times\cdots\times[x_{n\ i_n-1},x_{n i_n}]を\Omega\subset\tilde{\Omega}を満たすように取り、

\begin{aligned} \tilde{f}(\boldsymbol{x})=\begin{cases}f(\boldsymbol{x})&\boldsymbol{x}\in\Omega,\\0&\boldsymbol{x}\in\tilde{\Omega}\backslash\Omega ,\end{cases} \end{aligned}

と置いた上で、\tilde{f}が\tilde{\Omega}上n重積分可能のとき、fは\Omegaでn重積分可能であるといい、

\begin{aligned} \displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega} f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n=\displaystyle{\int\cdots\int_{\tilde{\Omega}}\tilde{f}(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n \end{aligned}

でfの\Omega上のn重積分

\begin{aligned} \displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega} f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n \end{aligned}

を定義する。
　\mathbb{R}^n上の集合Aがn次元体積0であるとは、{}^{\forall}\varepsilon\gt0に対して長方形\omega_1,\cdots,\omega_mがあり

\begin{aligned} A\subset\omega_1\cup\cdots\cup\omega_m,\ |\omega_1|+\cdots+|\omega_m|\lt\varepsilon \end{aligned}

が成立するときをいう。

　このとき、以下が成り立つ。


n重積分可能性　f(\boldsymbol{X})を\Omega=[x_{1\ i_1-1},x_{1 i_1}]\times\cdots\times[x_{n\ i_n-1},x_{n i_n}]上で定義された有界な関数とする。fの不連続点全体をAとする。もしAのn次元体積が0ならばfは\Omega上でn重積分可能である。

次回

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