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やりなおしの数学・微分積分篇(033/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • n次元Euclid空間\mathbb{R}^n上の有界な領域\Omega上で定義されたn変数の有界関数f(\boldsymbol{x})=f(x_1,\cdots,x_n)に対しても\Omega上での多重積分が定義される。

8. 多変数関数の積分

 

8.5 n次元Euclid空間上の多重積分

 n次元Euclid空間\mathbb{R}^n上の有界な領域\Omega上で定義されたn変数の有界関数f(\boldsymbol{x})=f(x_1,\cdots,x_n)に対しても\Omega上での多重積分は以下の手順で定義される。
 まず\Omega=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]=\{\boldsymbol{x}=(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n|a_1\leq x_1\leq b_1,\cdots,a_n\leq x_n\leq b_n\}の場合を考える。\Omegaに対してそのn次元体積を


\begin{aligned}
\left|\Omega\right|=\displaystyle{\prod_{i=1}^{n}(b_i-a_i)}
\end{aligned}

で定義する。\Omegaの分割\Deltaとして各座標に


\begin{aligned}
\Delta:\ a_1=x_{i0}\lt x_{i1}\lt\cdots\lt x_{im_i}=b_i,\ i=1,2,\cdots,n
\end{aligned}
を考える。\Delta_{i_1,\cdots,i_n}=[x_{1\ i_1-1},x_{1 i_1}]\times\cdots\times[x_{n\ i_n-1},x_{n i_n}]を個の分割で生じた小長方形とし

\begin{aligned}
M_{i_1,\cdots,i_n}&=\displaystyle{\sup\{f(x,y)|(x,y)\in\Delta_{i_1,\cdots,i_n}\}},\\
m_{i_1,\cdots,i_n}&=\displaystyle{\inf\{f(x,y)|(x,y)\in\Delta_{i_1,\cdots,i_n}\}},\\
S_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{i_1=1}^{m_1}\sum_{i_n=1}^{m_n}M_{i_1,\cdots,i_n}|\Delta_{i_1\cdots i_n}|},\\
s_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{i_1=1}^{m_1}\sum_{i_n=1}^{m_n}m_{i_1,\cdots,i_n}|\Delta_{i_1\cdots i_n}|}
\end{aligned}

を定義する。
 また上積分、下積分を以下のように定義する。


\begin{aligned}
S&=\displaystyle{\sup\{S_{\Delta}\}|\Deltaは長方形\Omegaの分割},\\
s&=\displaystyle{\inf\{s_{\Delta}|\Deltaは長方形\Omegaの分割\}}
\end{aligned}


n重積分可能性 f(\boldsymbol{x})=f(x_1,\cdots,x_n)\Omega=[x_{1\ i_1-1},x_{1 i_1}]\times\cdots\times[x_{n\ i_n-1},x_{n i_n}]n積分可能とは、S=sが成立することをいう。sf\Omega上のn積分といい、

\begin{aligned}
s=\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega} f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n
\end{aligned}

と表す。
 一般の有界集合\Omegaに対しては長方形\tilde{\Omega}=[x_{1\ i_1-1},x_{1 i_1}]\times\cdots\times[x_{n\ i_n-1},x_{n i_n}]\Omega\subset\tilde{\Omega}を満たすように取り、


\begin{aligned}
\tilde{f}(\boldsymbol{x})=\begin{cases}f(\boldsymbol{x})&\boldsymbol{x}\in\Omega,\\0&\boldsymbol{x}\in\tilde{\Omega}\backslash\Omega ,\end{cases}
\end{aligned}

と置いた上で、\tilde{f}\tilde{\Omega}n積分可能のとき、f\Omegan積分可能であるといい、


\begin{aligned}
\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega} f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n=\displaystyle{\int\cdots\int_{\tilde{\Omega}}\tilde{f}(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n
\end{aligned}

f\Omega上のn積分


\begin{aligned}
\displaystyle{\int\cdots\int_{\Omega} f(x_1,\cdots,x_n)}dx_1\cdots dx_n
\end{aligned}

を定義する。
 \mathbb{R}^n上の集合An次元体積0であるとは、{}^{\forall}\varepsilon\gt0に対して長方形\omega_1,\cdots,\omega_mがあり


\begin{aligned}
A\subset\omega_1\cup\cdots\cup\omega_m,\ |\omega_1|+\cdots+|\omega_m|\lt\varepsilon
\end{aligned}

が成立するときをいう。

 このとき、以下が成り立つ。


n重積分可能性 f(\boldsymbol{X})\Omega=[x_{1\ i_1-1},x_{1 i_1}]\times\cdots\times[x_{n\ i_n-1},x_{n i_n}]上で定義された有界な関数とする。fの不連続点全体をAとする。もしAn次元体積が0ならばf\Omega上でn積分可能である。

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