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一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。目下、データ分析・語学に力点を置いています。今月(2022年10月)からは多忙につき、日々の投稿数を減らします。

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やりなおしの数学・微分積分篇(47/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 助変数を持つ関数では各変数に対する積分の順番を交換できる。また積分偏微分も順番を交換できる。

9. 関数列の収束

 本節では関数の数列(関数列)に関する収束概念を扱う。

9.6 助変数に関する一様収束

9.6.1 積分順序交換の応用例

 f(x)[0,\infty)上の連続関数で



\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{\alpha}^{\infty}\frac{f(x)}{x} }
\end{aligned}


が任意の正数\alphaに対して存在するとする。このとき\mathrm{Frullani}積分



\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{\alpha}^{\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx }=f(0)\displaystyle{\log\frac{b}{a}},\ a,b\gt0
\end{aligned}


が成立することを示す。
 任意の\alpha\gt0に対してax=yとおけば



\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{\alpha}^{\infty}\frac{f(ax)}{x}dx}&=\displaystyle{\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{\alpha}^{R}\frac{f(ax)}{x}dx}\\
&=\displaystyle{\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{a\alpha}^{aR}\frac{f(y)}{y}dy}\\
&=\displaystyle{\int_{a\alpha}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx}
\end{aligned}


が成り立つ。したがって



\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{\alpha}^{\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx}&=\displaystyle{\int_{\alpha}^{\infty}\frac{f(ax)}{x}dx}-\displaystyle{\int_{\alpha}^{\infty}\frac{f(bx)}{x}dx}\\
&=\displaystyle{\int_{a\alpha}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx}-\displaystyle{\int_{b\alpha}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx}\\
&=\displaystyle{\int_{a\alpha}^{b\alpha}\frac{f(x)}{x}dx}\\
&=\displaystyle{\int_{a}^{b}\frac{f(\alpha y)}{y}dy}\\
&=\displaystyle{\int_{a}^{b}\frac{f(\alpha x)}{x}dx}
\end{aligned}


である。さてG(x,\alpha)=\displaystyle{\frac{f(\alpha x)}{x}}とおけば0\lt a\lt bよりG(x,\alpha)[a,b]\times[0,1]上で連続である。したがって既に示した定理を用いることで



\begin{aligned}
F(\alpha)=\displaystyle{\int_a^b G(x,\alpha)dx}=\displaystyle{\int_a^b\frac{f(\alpha x)}{x}dx}
\end{aligned}


\alpha\in[0,1]について連続である。したがって



\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow0}F(\alpha) }=F(0)=\displaystyle{\int_a^b\frac{f(0)}{x}dx}=f(0)\displaystyle{\int_a^b\frac{1}{x}dx}=f(0)\displaystyle{\log{\frac{b}{a}}}
\end{aligned}


であるから、


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx }&=\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow\infty}\int_{\alpha}^{\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx }\\
&=\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow\infty}F(\alpha)}=f(0)\displaystyle{\log\frac{b}{a}}
\end{aligned}


を得る。

9.6.2 助変数を持つ関数の広義積分の性質


助変数を持つ関数の広義積分の性質 関数f(x,t)(x,t)の関数として[c,\infty)\times[a,b,]上で連続であり、さらに以下の性質



\begin{aligned}
{}^{\forall}t\in[a,b]\left(\left|f(x,t)\right|\leq\varphi(x)\right),\ {}^{\exists}\displaystyle{\lim_{R\rightarrow\infty}\int_c^R\varphi(x)}dx
\end{aligned}


をもつ正の関数\varphi(x)が存在するものとする。このときxに関する広義積分\displaystyle{\int_c^{\infty}f(x,t)dx }[a,b]上でtの連続関数であり、



\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{c}^{\infty}\left(\int_{a}^{b}f(x,t)dt\right)dx}=\displaystyle{\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{\infty}f(x,t)dx\right)dt}
\end{aligned}


が成立する。
 さらに上記条件に加え、f(x,t)tに関する偏導関数f_t(x,t)を持ちそのf_t(x,t)(x,t)の関数として[c,\infty)\times[a,b]上で連続だとする。また次の性質



\begin{aligned}
{}^{\forall}t\in[a,b]\left(\left|f_t(x,t)\leq\psi(x)\right| \right),\ {}^{\exists}\displaystyle{\lim_{R\rightarrow\infty}\int_c^r\psi(x) dx}
\end{aligned}


を持つような\psi(x)が存在するものと仮定する。このとき\displaystyle{\int_c^{\infty}f(x,t)dx }t\in[a,b]について微分可能であり



\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{d}{dt}\int_c^{\infty}f(x,t)dx }=\displaystyle{\int_c^{\infty}f_t(x,t)dx},\ t\in[a,b]
\end{aligned}


が成立する。

(\because いま



\begin{aligned}
F(t,R)=\displaystyle{\int_c^R f(x,t)dx}, G(t,R)=\displaystyle{\int_c^R f_t(x,t) dx}
\end{aligned}


とおく。c\lt{}^{\forall}R\lt Sに対して仮定から



\begin{aligned}
\left|F(t,R)-F(t,S)\right|&=\left|\displaystyle{\int_R^S f(x,t)dx}\right|\leq\displaystyle{\int_R^S\left|f(x,t)\right|dx}\leq\displaystyle{\int_R^S \varphi(x)dx},\\
\left|G(t,R)-G(t,S)\right|&=\left|\displaystyle{\int_R^S f_t(x,t)dx}\right|\leq\displaystyle{\int_R^S\left|f_t(x,t)\right|dx}\leq\displaystyle{\int_R^S \psi(x)dx}
\end{aligned}


が成り立ち、また\varepsilon\gt0に対してR_0\gt0が存在し、R_0\lt R\lt Sならば



\begin{aligned}
\displaystyle{\int_R^S \varphi(x)dx}\lt\varepsilon,\ \displaystyle{\int_R^S \psi(x)dx}\lt\varepsilon
\end{aligned}


が成立する。R_0\lt R\lt Sならばt\in[a,b]に対して



\begin{aligned}
\left|F(t,R)-F(t,S)\right|\lt\varepsilon,\left|G(t,R)-G(t,S)\right|\lt\varepsilon
\end{aligned}


が得られる。
 このとき過去に示した定理から、F(t,R)t\in[a,b]において



\begin{aligned}
F(t,R)&\rightarrow\displaystyle{\int_c^{\infty}f(x,t)dx}(R\rightarrow\infty),\\
G(t,R)&\rightarrow\displaystyle{\int_c^{\infty}f_t(x,t)dx}(R\rightarrow\infty)
\end{aligned}


と一様収束性が得られる。
 いまF(t,R)[a,b]上で連続であるから、\displaystyle{\int_c^{\infty}f(x,t)dx}[a,b]上でtの関数として連続かつ


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{R\rightarrow\infty}\int_a^b F(t,R) dt}=\displaystyle{\int_a^b\left(\lim_{R\rightarrow\infty}F(t,R)\right)dt}=
\displaystyle{\int_a^b\left(\int_c^{\infty}f(x,t)dx\right)dt}
\end{aligned}


が成立する。



\begin{aligned}
\displaystyle{\int_a^b F(t,R)dt}=\displaystyle{\int_c^R\left(\int_a^b f(x,t) dt\right)dx}
\end{aligned}


であるから、



\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{R\rightarrow\infty}\int_a^b F(t,R)dt}=\displaystyle{\int_c^{\infty}\left(\int_a^b f(x,t) dt\right)dx}
\end{aligned}


が得られる。これらを合わせることで



\begin{aligned}
\displaystyle{\int_a^b\left(\int_c^{\infty} f(x,t) dt\right)dx}=\displaystyle{\int_c^{\infty}\left(\int_a^b f(x,t) dt\right)dx}
\end{aligned}


が成立する
 また命題の後半における仮定の下で



\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{\partial}{\partial t}F(t,R)}=
\displaystyle{\frac{\partial}{\partial t}\int_c^R f(x,t)dx}=
\displaystyle{\int_c^R f_t(x,t)dx}=G(t,R)
\end{aligned}

が成り立つ。ここまでで示した定理を用いることで、\displaystyle{\int_c^{\infty} f(x,t)dx}tの関数として[a,b]の上で微分可能であり


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{d}{dt}\int_c^{\infty}f(x,t)dx}=\displaystyle{\int_c^{\infty}f_t(x,t)dx}
\end{aligned}

が成立する。 \blacksquare)

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