やりなおしの数学・微分積分篇（47/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ

助変数を持つ関数では各変数に対する積分の順番を交換できる。また積分と偏微分も順番を交換できる。

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今日のまとめ
9.　関数列の収束
- 9.6　助変数に関する一様収束
  - 9.6.1　積分順序交換の応用例
  - 9.6.2　助変数を持つ関数の広義積分の性質
次回

9.　関数列の収束

　本節では関数の数列（関数列）に関する収束概念を扱う。

9.6　助変数に関する一様収束

9.6.1　積分順序交換の応用例

　 $f(x)$ が $[0,\infty)$ 上の連続関数で

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{\alpha}^{\infty}\frac{f(x)}{x} } \end{aligned}$

が任意の正数 $\alpha$ に対して存在するとする。このとき $\mathrm{Frullani}$ の積分

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{\alpha}^{\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx }=f(0)\displaystyle{\log\frac{b}{a}},\ a,b\gt0 \end{aligned}$

が成立することを示す。
　任意の $\alpha\gt0$ に対して $ax=y$ とおけば

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{\alpha}^{\infty}\frac{f(ax)}{x}dx}&=\displaystyle{\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{\alpha}^{R}\frac{f(ax)}{x}dx}\\ &=\displaystyle{\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{a\alpha}^{aR}\frac{f(y)}{y}dy}\\ &=\displaystyle{\int_{a\alpha}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx} \end{aligned}$

が成り立つ。したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{\alpha}^{\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx}&=\displaystyle{\int_{\alpha}^{\infty}\frac{f(ax)}{x}dx}-\displaystyle{\int_{\alpha}^{\infty}\frac{f(bx)}{x}dx}\\ &=\displaystyle{\int_{a\alpha}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx}-\displaystyle{\int_{b\alpha}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx}\\ &=\displaystyle{\int_{a\alpha}^{b\alpha}\frac{f(x)}{x}dx}\\ &=\displaystyle{\int_{a}^{b}\frac{f(\alpha y)}{y}dy}\\ &=\displaystyle{\int_{a}^{b}\frac{f(\alpha x)}{x}dx} \end{aligned}$

である。さて $G(x,\alpha)=\displaystyle{\frac{f(\alpha x)}{x}}$ とおけば $0\lt a\lt b$ より $G(x,\alpha)$ は $[a,b]\times[0,1]$ 上で連続である。したがって既に示した定理を用いることで

$\begin{aligned} F(\alpha)=\displaystyle{\int_a^b G(x,\alpha)dx}=\displaystyle{\int_a^b\frac{f(\alpha x)}{x}dx} \end{aligned}$

は $\alpha\in[0,1]$ について連続である。したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow0}F(\alpha) }=F(0)=\displaystyle{\int_a^b\frac{f(0)}{x}dx}=f(0)\displaystyle{\int_a^b\frac{1}{x}dx}=f(0)\displaystyle{\log{\frac{b}{a}}} \end{aligned}$

であるから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx }&=\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow\infty}\int_{\alpha}^{\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx }\\ &=\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow\infty}F(\alpha)}=f(0)\displaystyle{\log\frac{b}{a}} \end{aligned}$

を得る。

9.6.2　助変数を持つ関数の広義積分の性質

助変数を持つ関数の広義積分の性質　関数 $f(x,t)$ は $(x,t)$ の関数として $[c,\infty)\times[a,b,]$ 上で連続であり、さらに以下の性質

$\begin{aligned} {}^{\forall}t\in[a,b]\left(\left|f(x,t)\right|\leq\varphi(x)\right),\ {}^{\exists}\displaystyle{\lim_{R\rightarrow\infty}\int_c^R\varphi(x)}dx \end{aligned}$

をもつ正の関数 $\varphi(x)$ が存在するものとする。このとき $x$ に関する広義積分 $\displaystyle{\int_c^{\infty}f(x,t)dx }$ は $[a,b]$ 上で $t$ の連続関数であり、

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{c}^{\infty}\left(\int_{a}^{b}f(x,t)dt\right)dx}=\displaystyle{\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{\infty}f(x,t)dx\right)dt} \end{aligned}$

が成立する。
　さらに上記条件に加え、 $f(x,t)$ が $t$ に関する偏導関数 $f_t(x,t)$ を持ちその $f_t(x,t)$ は $(x,t)$ の関数として $[c,\infty)\times[a,b]$ 上で連続だとする。また次の性質

$\begin{aligned} {}^{\forall}t\in[a,b]\left(\left|f_t(x,t)\leq\psi(x)\right| \right),\ {}^{\exists}\displaystyle{\lim_{R\rightarrow\infty}\int_c^r\psi(x) dx} \end{aligned}$

を持つような $\psi(x)$ が存在するものと仮定する。このとき $\displaystyle{\int_c^{\infty}f(x,t)dx }$ は $t\in[a,b]$ について微分可能であり

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{d}{dt}\int_c^{\infty}f(x,t)dx }=\displaystyle{\int_c^{\infty}f_t(x,t)dx},\ t\in[a,b] \end{aligned}$

が成立する。

( $\because$ 　いま

$\begin{aligned} F(t,R)=\displaystyle{\int_c^R f(x,t)dx}, G(t,R)=\displaystyle{\int_c^R f_t(x,t) dx} \end{aligned}$

とおく。 $c\lt{}^{\forall}R\lt S$ に対して仮定から

$\begin{aligned} \left|F(t,R)-F(t,S)\right|&=\left|\displaystyle{\int_R^S f(x,t)dx}\right|\leq\displaystyle{\int_R^S\left|f(x,t)\right|dx}\leq\displaystyle{\int_R^S \varphi(x)dx},\\ \left|G(t,R)-G(t,S)\right|&=\left|\displaystyle{\int_R^S f_t(x,t)dx}\right|\leq\displaystyle{\int_R^S\left|f_t(x,t)\right|dx}\leq\displaystyle{\int_R^S \psi(x)dx} \end{aligned}$

が成り立ち、また $\varepsilon\gt0$ に対して $R_0\gt0$ が存在し、 $R_0\lt R\lt S$ ならば

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_R^S \varphi(x)dx}\lt\varepsilon,\ \displaystyle{\int_R^S \psi(x)dx}\lt\varepsilon \end{aligned}$

が成立する。 $R_0\lt R\lt S$ ならば $t\in[a,b]$ に対して

$\begin{aligned} \left|F(t,R)-F(t,S)\right|\lt\varepsilon,\left|G(t,R)-G(t,S)\right|\lt\varepsilon \end{aligned}$

が得られる。
　このとき過去に示した定理から、 $F(t,R)$ は $t\in[a,b]$ において

$\begin{aligned} F(t,R)&\rightarrow\displaystyle{\int_c^{\infty}f(x,t)dx}(R\rightarrow\infty),\\ G(t,R)&\rightarrow\displaystyle{\int_c^{\infty}f_t(x,t)dx}(R\rightarrow\infty) \end{aligned}$

と一様収束性が得られる。
　いま $F(t,R)$ は $[a,b]$ 上で連続であるから、 $\displaystyle{\int_c^{\infty}f(x,t)dx}$ は $[a,b]$ 上で $t$ の関数として連続かつ

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{R\rightarrow\infty}\int_a^b F(t,R) dt}=\displaystyle{\int_a^b\left(\lim_{R\rightarrow\infty}F(t,R)\right)dt}= \displaystyle{\int_a^b\left(\int_c^{\infty}f(x,t)dx\right)dt} \end{aligned}$

が成立する。

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_a^b F(t,R)dt}=\displaystyle{\int_c^R\left(\int_a^b f(x,t) dt\right)dx} \end{aligned}$

であるから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{R\rightarrow\infty}\int_a^b F(t,R)dt}=\displaystyle{\int_c^{\infty}\left(\int_a^b f(x,t) dt\right)dx} \end{aligned}$

が得られる。これらを合わせることで

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_a^b\left(\int_c^{\infty} f(x,t) dt\right)dx}=\displaystyle{\int_c^{\infty}\left(\int_a^b f(x,t) dt\right)dx} \end{aligned}$

が成立する
　また命題の後半における仮定の下で

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial}{\partial t}F(t,R)}= \displaystyle{\frac{\partial}{\partial t}\int_c^R f(x,t)dx}= \displaystyle{\int_c^R f_t(x,t)dx}=G(t,R) \end{aligned}$