やりなおしの数学・線形代数篇（23/26） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　定番書

作者:齋藤正彦
東京大学出版会

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ
6.　単因子およびJordan標準形
- 6.1　単因子

今日のまとめ

2つの $x$ -行列
$\begin{aligned}A(x)&=A_0 x^{k}+A_1 x^{k-1}+\cdots+A_{k-1}x+A_k,\\B(x)&=B_0 x^{l}+B_1 x^{l-1}+\cdots+B_{l-1}x+B_k\end{aligned}$
において $B(x)$ の最高次数係数行列 $B_0$ が正則ならば
$\begin{aligned}A(x)=B(x)Q_1(x)+R_1(x)\end{aligned}$
を満たすような $n$ 次 $x$ -行列 $Q_1(x),R_1(x)$ が一意に定まり、 $R_1(x)$ は $O$ またはその冪次数が $B(x)$ の冪次数よりも小さい。
　また
$\begin{aligned}A(x)=Q_2(x)B(x)+R_2(x)\end{aligned}$
を満たすような $n$ 次 $x$ -行列 $Q_2(x),R_2(x)$ が一意に定まり、 $R_2(x)$ は $O$ またはその冪次数が $B(x)$ の冪次数よりも小さい。

6.　単因子およびJordan標準形

6.1　単因子

　1変数 $x$ の $K$ -変数多項式を成分とする $n$ 次正方行列を考える。このような行列を簡便のために $x$ -行列と呼ぶことにする。2つの $x$ -行列の和差積が数の行列の場合と同様に定義されて $x$ -行列である。行列式も $x$ の多項式である。
　 $x$ -行列 $A(x)$ に対して

$\begin{aligned} A(x)T(x)=X(x)A(x)=I \end{aligned}$

となるような $x$ -行列が存在するとき、 $A(x)$ を可逆行列という。

　2つの $x$ -行列 $A(x),B(x)$ が有限回の基本変形によって移りあうとき、 $A(x)$ と $B(x)$ は対等であるといい、 $A(x)\sim B(x)$ と書く。
　任意の $n$ 次 $x$ -行列 $A(x)$ は以下の標準形に対等である。

$\begin{aligned} \begin{bmatrix} e_1(x)& & & & & &\\ &e_2(x)& & & & &\\ & &\ddots& & & &\\ & & &e_r(x)& & &\\ & & & &0& &\\ & & & & &\ddots&\\ & & & & & &0 \end{bmatrix} \end{aligned}$

ただし $e_1(x),\cdots,e_r(x)$ は以下の条件を満たす：

$e_i(x),i=1,2,\cdots,r$ は最高次係数が $1$ の多項式である。
$e_i(x)$ は $e_{i-1}(x)$ で割り切れる。

さらにこの標準形は $A(x)$ で一意に定まる。

　 $A(x)$ により定まる $r$ を $A(x)$ の階数といい、 $r$ 個の多項式 $e_1(x),\cdots,e_r(x)$ を $A(x)$ の単因子という。

対等性と単因子(1)　2つの $x$ -行列が対等であるためには、それらの階数および単因子が一致することが必要十分である。

対等性と単因子(2)　 $x$ -行列に関して以下が成り立つ。

可逆な $x$ -行列は単位行列に対等である。単位行列に対等な $x$ -行列は可逆である。
任意の可逆行列は基本行列の積で表される。
可逆行列は左(右)基本変形によってのみ単位行列に変形される。

( $\because$ 　対等な2つの $x$ -行列の行列式は、 $0$ でない定数倍しか相違ない。可逆行列の行列式は $0$ でない定数であるから、疎の標準形の行列式も $0$ でない定数である。したがって標準形は単位行列でなければならない。逆は自明である。
　 $A(x)$ が可逆行列ならば、上で示した内容から基本行列 $P_{1}(x),\cdots,P_k(x),Q_1(x),\cdots,Q_l(x)$ が存在し

$\begin{aligned} P_{1}(x)\cdots P_k(x) Q_1(x)\cdots Q_l(x)=I \end{aligned}$

が成り立つ。したがって

$\begin{aligned} A(x)={P_k(x)}^{-1}{P_{k-1}(x)}^{-1}\cdots {P_{1}(x)}^{-1}{Q_{l}(x)}^{-1}\cdots{Q_{1}(x)}^{-1} \end{aligned}$

である。 ${P_{i}(x)}^{-1},{Q_{j}(x)}^{-1}$ は基本行列である。
　3つ目は2つ目で示した命題から明らかである。　 $\blacksquare$ )

　また以下は2つ目の命題から明らかである。

対等性と単因子(3)　 $A(x),B(x)$ が対等であるためには

$\begin{aligned} B(x)=P(x)A(x)Q(x) \end{aligned}$

となるような2つの可逆行列 $P(x),Q(x)$ が存在することが必要十分である。

　さてここから単因子論を、必ずしも対角か可能ではない数行列の標準形を求める問題に応用する。

　 $K$ の元を成分とする行列 $A$ に対して $x$ -行列 $xI-A$ を $A$ の特性 $x$ -行列という。
　 $x$ -行列は行列を係数とする $x$ の多項式と見ることもできる。たとえば

$\begin{aligned} \begin{bmatrix}x^2-2x-1&2x+3\\x+2&2x^2-3x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}x^2+\begin{bmatrix}-2&2\\1&-3\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}-1&3\\2&0\end{bmatrix} \end{aligned}$

と表現することができる。これを一般化すると

$\begin{aligned} A(x)=A_0 x^k+A_1 x^{k-1}+\cdots+A_{k-1} x+ A_k,\ A_0\neq O \end{aligned}$

である。 $O$ でない係数行列を持つ最高の次数 $k$ を $x$ -行列 $A(x)$ の冪次数という。

$x$ -行列　2つの $x$ -行列

$\begin{aligned} A(x)&=A_0 x^{k}+A_1 x^{k-1}+\cdots+A_{k-1}x+A_k,\\ B(x)&=B_0 x^{l}+B_1 x^{l-1}+\cdots+B_{l-1}x+B_k \end{aligned}$

において $B(x)$ の最高次数係数行列 $B_0$ が正則ならば

$\begin{aligned} A(x)=B(x)Q_1(x)+R_1(x) \end{aligned}$

を満たすような $n$ 次 $x$ -行列 $Q_1(x),R_1(x)$ が一意に定まり、 $R_1(x)$ は $O$ またはその冪次数が $B(x)$ の冪次数よりも小さい。
　また

$\begin{aligned} A(x)=Q_2(x)B(x)+R_2(x) \end{aligned}$

を満たすような $n$ 次 $x$ -行列 $Q_2(x),R_2(x)$ が一意に定まり、 $R_2(x)$ は $O$ またはその冪次数が $B(x)$ の冪次数よりも小さい。

( $\because$ 　 $A(x)$ の冪次数 $k$ に関する数学的帰納法を考える。
　 $k=0$ のとき $l\gt0$ ならば、 $Q_1(x)=O,R_1(x)=A(x)$ とおけばよい。 $l=0$ ならば $B(x)=B_0(x)$ であるから、

$\begin{aligned} Q_1(x)={B_0}^{-1}A(x),R_1(x)=O \end{aligned}$

とおけばよい。
　冪次数が $k\geq1$ より小さい $x$ -行列に関して主張が成り立つと仮定する。
　 $k\lt l$ ならば $Q_(x)=O,R_1(x)=A(x)$ とおけばよい。
　 $k\geq l$ ならば

$\begin{aligned} A^{\prime}(x)=A(x)-B(x){B_0}^{-1}A_0 x^{k-l} \end{aligned}$

とおけば $A^{\prime}(x)$ の冪次数は $k-1$ 以下である。したがって

$\begin{aligned} A^{\prime}(x)=B(x)Q^{\prime}(x)+R_1(x) \end{aligned}$

が成り立つような $Q^{\prime}(x)$ および冪次数が $l$ よりも小さい、もしくは零行列に等しい $R_1(x)$ が存在する。

$\begin{aligned} Q_1(x)={B_0}^{-1}A_0 x^{k-l}+Q^{\prime}(x) \end{aligned}$

とおけば

$\begin{aligned} A(x)=B(x)Q_1(x)+R_1(x) \end{aligned}$

が成り立つ。したがってすべての $\in\mathbb{N}$ に関して命題は正しい。
　もう一組の ${Q_1}^{\prime}(x),{R_1}^{\prime}(x)$ が条件を満たすならば

$\begin{aligned} B(x)\{Q_1(x)-{Q_1}^{-1}(x)\}={R_1}^{\prime}(x)-R_1(x) \end{aligned}$

が成り立つから、冪次数に関する条件から、 $Q_1(x)={Q_1}^{\prime}(x),R_1(x)={R_1}^{\prime}(x)$ でなければならない。
　 $Q_2(x),R_2(x)$ も同様に示すことができる。　 $\blacksquare$ )

相似性と対等性　2つの $K$ -行列が相似、すなわち

$\begin{aligned} B=P^{-1}AP \end{aligned}$

を満たすような正則 $K$ -行列 $P$ が存在するためには、それらの特性 $x$ -行列 $xI-A,xI-B$ が対等であることが必要十分である。

( $\because$ 　 $B=P^{-1}AP$ ならば、 $xI-B=P^{-1}(xI-A)P$ が成り立ち、 $P$ は可逆行列であるから、 $xI-A$ および $xI-B$ は対等である。
　逆に $xI-A$ および $xI-B$ が対等であるならば、

$\begin{aligned} (xI-A)P(x)=Q(x)(xI-B) \end{aligned}$

となるような可逆行列 $P(x),Q(x)$ が存在する。このとき

$\begin{aligned} P(x)&=P_1(xI-B)+P,\\ Q(x)&=(xI-A)Q_1(x)+Q \end{aligned}$

を満たすような $x$ -行列 $P_1(x),Q_1(x)$ および $K$ -行列 $P,Q$ が存在する。

$\begin{aligned} (xI-A)\{P_1(x)-Q_1(x)\}(xI-B)&=(xI-A)P_1(x)(xI-B)-(xI-A)Q_1(x)(xI-B)\\ &=(xI-A)(P(x)-P)-(Q(x)-Q)(xI-B)\\ &=\{(xI-A)P(x)-Q(x)(xI-A)\}+\{Q(xI-B)-(xI-A)P\} \end{aligned}$

である。最後の右辺式の第1項は $O$ であるから、

$\begin{aligned} (xI-A)\{P_1(x)-Q_1(x)\}(xI-B)=Q(xI-B)-(xI-A)P \end{aligned}$

が成り立つ。 $P_1(x)\neq Q_1(x)$ ならば、上式の左辺はその冪次数が $2$ 以上で、右辺の冪次数は $1$ 以下ないし零行列であるから、

$\begin{aligned} P_1(x)=Q_1(x),\ Q(xI-A)=(xI-A)P \end{aligned}$

でなければならない。

$\begin{aligned} Q(xI-A)=(xI-A)P\Leftrightarrow (P-Q)x=AP-QB \end{aligned}$

と書け、両辺の冪次数の関係から、

$\begin{aligned} P=Q,\ AP=QB=PB \end{aligned}$

でなければならない。
　 $P$ が正則であることが示されれば、 $B=P^{-1}AP$ となり、定理は示される。
　 $P(x)$ は可逆行列であるから

$\begin{aligned} P^{-1}(x)=R(x)(xI-A)+R \end{aligned}$

を満たすような $R(x)$ および $K$ -行列 $R$ が存在する。

$\begin{aligned} I&=\{R(x)(xI-A)+R\}\{P_1(x)(xI-B)+P\}\\ &=\{R(x)(xI-A)+R\}P_1(x)(xI-B)+R(x)(xI-A)P+RP\\ &=\{R(x)(xI-A)+R\}P_1(x)(xI-B)+R(x)Q(xI-B)+RP\\ &=S(x)(xI-B)+RP \end{aligned}$