定番書
を基に線形代数を学び直していく。
今日のまとめ
- 2つの-行列においての最高次数係数行列が正則ならばを満たすような次-行列が一意に定まり、はまたはその冪次数がの冪次数よりも小さい。 またを満たすような次-行列が一意に定まり、はまたはその冪次数がの冪次数よりも小さい。
6. 単因子およびJordan標準形
6.1 単因子
1変数の-変数多項式を成分とする次正方行列を考える。このような行列を簡便のために-行列と呼ぶことにする。2つの-行列の和差積が数の行列の場合と同様に定義されて-行列である。行列式もの多項式である。
-行列に対して
となるような-行列が存在するとき、を可逆行列という。
2つの-行列が有限回の基本変形によって移りあうとき、とは対等であるといい、と書く。
任意の次-行列は以下の標準形に対等である。
ただしは以下の条件を満たす:
- は最高次係数がの多項式である。
- はで割り切れる。
さらにこの標準形はで一意に定まる。
により定まるをの階数といい、個の多項式をの単因子という。
対等性と単因子(1) 2つの-行列が対等であるためには、それらの階数および単因子が一致することが必要十分である。
対等性と単因子(2) -行列に関して以下が成り立つ。
が可逆行列ならば、上で示した内容から基本行列が存在し
が成り立つ。したがって
である。は基本行列である。
3つ目は2つ目で示した命題から明らかである。 )
また以下は2つ目の命題から明らかである。
さてここから単因子論を、必ずしも対角か可能ではない数行列の標準形を求める問題に応用する。
の元を成分とする行列に対して-行列をの特性-行列という。
-行列は行列を係数とするの多項式と見ることもできる。たとえば
と表現することができる。これを一般化すると
である。でない係数行列を持つ最高の次数を-行列の冪次数という。
-行列 2つの-行列
においての最高次数係数行列が正則ならば
を満たすような次-行列が一意に定まり、はまたはその冪次数がの冪次数よりも小さい。
また
を満たすような次-行列が一意に定まり、はまたはその冪次数がの冪次数よりも小さい。
のときならば、とおけばよい。ならばであるから、
とおけばよい。
冪次数がより小さい-行列に関して主張が成り立つと仮定する。
ならばとおけばよい。
ならば
とおけばの冪次数は以下である。したがって
が成り立つようなおよび冪次数がよりも小さい、もしくは零行列に等しいが存在する。
とおけば
が成り立つ。したがってすべてのに関して命題は正しい。
もう一組のが条件を満たすならば
が成り立つから、冪次数に関する条件から、でなければならない。
も同様に示すことができる。 )
相似性と対等性 2つの-行列が相似、すなわち
を満たすような正則-行列が存在するためには、それらの特性-行列が対等であることが必要十分である。
逆におよびが対等であるならば、
となるような可逆行列が存在する。このとき
を満たすような-行列および-行列が存在する。
である。最後の右辺式の第1項はであるから、
が成り立つ。ならば、上式の左辺はその冪次数が以上で、右辺の冪次数は以下ないし零行列であるから、
でなければならない。
と書け、両辺の冪次数の関係から、
でなければならない。
が正則であることが示されれば、となり、定理は示される。
は可逆行列であるから
を満たすようなおよび-行列が存在する。
ただし
である。上式の右辺はが零行列でなければ。冪次数は以上である。左辺は冪次数がであるから、でなければならない。したがっては正則である。 )