7. 多変数関数の微分
2つ以上の変数を持つ関数(多変数関数)の微分およびその応用を取り扱う。まずは2変数関数を中心に扱い、その後に一般の変数関数の場合を扱う。
7.7 極値問題、条件付き極値問題
点が与えられた制約条件
を満たすような集合上を動くときの関数
が取る極値を考える。
が成り立つことが分かる。一方でが
で極値を取ることから
が成り立つ。したがって
を得る。したがってとおけば
である。 )
上で導入したを
の未定乗数といい、上記の方法を
の未定乗数法という。
例1.
条件のもとでの関数
の極値を考える。
を
の未定乗数として
を定義する。
条件からである。
極値を取る点においてより
である。したがって
である。
ならば
であり、
ならば
であるから、
である。したがってである。以上から
が得られ、
のとき
で最小値
を取り、
のとき
において最小値
を取る(以上、複合同順。)。
例2.
条件のもとでの関数
の最大値または最小値を考える。
の未定乗数
を用いて関数
を考えると、
であるから
である。これを整理することで
が成り立つ。これらから
を得る。
さて連立方程式が自明でない解を持つためには、
であればよい。これの特性方程式の解
に対して
が求めたい最大値・最小値であり、それらを取るような
を求めればよい。
7.8 一般の多変数関数における微分
ここまでの議論を拡張すれば一般の多変数関数における微分を定義できる。ここではの定理のみ改めて述べることとする。
を満たすようなが存在する。
ここで
を曲面の点
におけるヘッセ行列という。
*1:別項にて後に示す。