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やりなおしの数学・微分積分篇(021/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

www.rokakuho.co.jp

今日のまとめ

6. 1変数関数の積分

6.2 定積分の性質


積分の性質 関数f,g区間I=[a,b]において積分可能だとする。このとき以下が成り立つ:

(1){}^{\forall}\alpha,\beta\in\mathbb{R}に対して

\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))}dx=\alpha\displaystyle{\int_{a}^{b}f(x)}dx+\beta\displaystyle{\int_{a}^{b}g(x)}dx
\end{aligned}

(2) a\lt c\lt bならば


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{a}^{b}f(x)}dx=\displaystyle{\int_{a}^{c}f(x)}dx+\displaystyle{\int_{c}^{b}f(x)}dx
\end{aligned}

(3) f(x)\geq g(x),\ \in Iならば


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{a}^{b}f(x)}dx\geq \displaystyle{\int_{a}^{b}g(x)}dx
\end{aligned}

特にf(x)\geq 0ならば


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{a}^{b}f(x)}dx\geq 0
\end{aligned}

(4)

\left|\displaystyle{\int_{a}^{b}f(x) dx}\right|\leq \displaystyle{\int_{a}^{b}|f(x)| dx}


平均値の定理 f区間[a,b]で連続ならば

\begin{aligned}
{}^{\exists}\xi\in(a,b)\ s.t.\ \displaystyle{\int_{a}^{b}f(x)dx}=f(\xi)(b-a)
\end{aligned}

(\because fが定数関数ならば明らかである。fが定数関数でないならば、[a,b]で最大値Mおよび最小値m(m\lt M)を取る。m\leq f(x)\leq M,\ x\in Iであるから、fの連続性より


\begin{aligned}
m(b-a)=\displaystyle{\int_{a}^{b}m dx}\lt \displaystyle{\int_{a}^{b}f(x) dx}\lt \displaystyle{\int_{a}^{b}M dx}=M(b-a)
\end{aligned}

が得られるから、


\begin{aligned}
m\lt \displaystyle{\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}m dx}\lt \displaystyle{\int_{a}^{b}f(x) dx}\lt M
\end{aligned}

が成立する。したがって中間値の定理より


\begin{aligned}
{}^{\exists}\xi\in[a,b]\ s.t.\ \displaystyle{\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x) dx}=f(\xi)
\end{aligned}

が得られる。 \blacksquare)

6.3 微分積分の関係

 f(x)は閉区間I積分可能な関数とする。a\in Iを1つ定めて{}^{\forall}x\in Iに対する積分


\begin{aligned}
F(x)=\displaystyle{\int_{a}^{x}f(t)dt}
\end{aligned}

を定義する。これに対し以下が成り立つ。


微分積分の関係 積分

\begin{aligned}
F(x)=\displaystyle{\int_{a}^{x}f(t)dt}
\end{aligned}

を定義すると以下が成り立つ。
(1) F(x)Iで連続である。
(2) f(x)Iで連続ならば、{}^{\forall}x\in Iにおいて


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{d}{dx}F(x)}=f(x)
\end{aligned}
である。
(\because(1) f有界であるから、{}^{\exists}M\gt0\ s.t.\ |f(x)|\leq M,\ x\in Iが成り立つ。したがって

\begin{aligned}
{}^{\forall}x_0\in I\left({}^{\forall}x\ s.t.\ x\geq x_0\left(\left|\displaystyle{\int_{x_0}^{x}} f(t) dt\right|\leq\displaystyle{\int_{x_0}^{x}}\left| f(t)\right| dt\leq M(x-x_0)\right)\right)
\end{aligned}

が成立する。同様にx\leq x_0ならばF(x)-F(x_0)\leq M(x_0-x)が成立するから


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}F(x)}=F(x_0)
\end{aligned}

が得られる。したがってFIで連続である。
 次にx,x+h\in Iのとき


\begin{aligned}
F(x+h)-F(x)=\displaystyle{\int_{x}^{x+h}f(t) dt}
\end{aligned}

である。積分に関する平均値の定理から


\begin{aligned}
{}^{\exists}\xi\in (x,x+h)\ s.t.\ F(x+h)-F(x)=f(\xi) h
\end{aligned}

が成り立つ。したがって


\begin{aligned}
{}^{\exists}\theta\in(0,1)\left(\xi=x+h\theta, \displaystyle{\frac{F(x+h)-F(x)}{h}}=f(\xi)\right)
\end{aligned}

が成り立ち、fの連続性から


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{h\rightarrow0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}}=\displaystyle{\lim_{h\rightarrow0}f(\xi)}=f(x)
\end{aligned}
である。 \blacksquare)

以上の定理から、一般に区間Iで定義された関数f(x)が与えられたとき、f(x)導関数とする関数


\begin{aligned}
F(x):I\rightarrow\mathbb{R}\ s.t.\ \displaystyle{\frac{d}{dx}F(x)}=F^{\prime}(x)=f(x)
\end{aligned}

f(x)原始関数という。
 原始関数が存在するとき、加法的定数を除き一意に定まる。すなわちある1つの原始関数をF_0(x)とすれば任意の原始関数F(x)F(x)=F_0(x)+C,\ C\in\mathbb{R}で表される。これは


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{d}{d}(F(x)-F_0(x))}=f(x)-f(x)=0
\end{aligned}

から得られる。これは


\begin{aligned}
F(x)=\displaystyle{\int_{c}^{x}f(t)dt}+C,\ C\in\mathbb{R}
\end{aligned}

を表すことができることを意味する。このC積分定数という。したがってa,b\in I[に対して


\begin{aligned}
F(b)-F(a)=\displaystyle{\int_{c}^{b}f(t) dt}-\displaystyle{\int_{c}^{a}f(t) dt}=\displaystyle{\int_{a}^{b}f(t) dt}
\end{aligned}

となる。すなわち


微分積分学の基本定理 f(x)区間Iで定義された連続関数、F(x)f(x)の原始関数とすれば、{}^{\forall}a,{}^{\forall}b\in Iに対して

\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{a}^{b}f(t)dt}=F(b)-F(a)=[F(x)]_{a}^{b}
\end{aligned}
が成り立つ。

f(x)の原始関数に積分定数を加えたものをf(x)不定積分といい、\displaystyle{\int f(x)}dxで表す。

6.3.1 不定積分の例

 以下、積分定数は省略している。


\begin{aligned}
\displaystyle{\int x^{k}dx}&=\displaystyle{\frac{1}{k+1}x^{k+1}} k\neq-1\\
\displaystyle{\int x^{-1}dx}&=\log{|x|}\\
\displaystyle{\int\frac{1}{1+x^2}dx}&=\arctan x\\
\displaystyle{\int\frac{1}{1-x^2}dx}&=\displaystyle{\frac{1}{2}\log{\left|\displaystyle{\frac{1+x}{1-x}}\right|}}\\
\displaystyle{\int\frac{1}{\sqrt{x^2\pm1}}dx}&=\displaystyle{\log{\left|x+\sqrt{x^2\pm1}\right|}}
\displaystyle{\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx}&=\arcsin x\\
\displaystyle{\int e^x dx}&=e^x\\
\displaystyle{\int a^x dx}&=\displaystyle{\frac{1}{\log a}}a^x,\ a\gt0,a\neq1\\
\displaystyle{\int \sin x dx}&=-\cos x\\
\displaystyle{\int \cos x dx}&=\sin x\\
\displaystyle{\int \tan x dx}&=-\log|\cos x|
\end{aligned}

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