やりなおしの数学・微分積分篇（21/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

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今日のまとめ
6.　1変数関数の積分
- 6.2　定積分の性質
- 6.3　微分と積分の関係
  - 6.3.1　不定積分の例
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今日のまとめ

定積分の性質を議論します。

6.　1変数関数の積分

6.2　定積分の性質

定積分の性質　関数 $f,g$ は区間 $I=[a,b]$ において積分可能だとする。このとき以下が成り立つ：

(1) ${}^{\forall}\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ に対して

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))}dx=\alpha\displaystyle{\int_{a}^{b}f(x)}dx+\beta\displaystyle{\int_{a}^{b}g(x)}dx \end{aligned}$

(2) $a\lt c\lt b$ ならば

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{a}^{b}f(x)}dx=\displaystyle{\int_{a}^{c}f(x)}dx+\displaystyle{\int_{c}^{b}f(x)}dx \end{aligned}$

(3) $f(x)\geq g(x),\ \in I$ ならば

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{a}^{b}f(x)}dx\geq \displaystyle{\int_{a}^{b}g(x)}dx \end{aligned}$

特に $f(x)\geq 0$ ならば

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{a}^{b}f(x)}dx\geq 0 \end{aligned}$

(4)

$\left|\displaystyle{\int_{a}^{b}f(x) dx}\right|\leq \displaystyle{\int_{a}^{b}|f(x)| dx}$

平均値の定理　 $f$ は区間 $[a,b]$ で連続ならば

$\begin{aligned} {}^{\exists}\xi\in(a,b)\ s.t.\ \displaystyle{\int_{a}^{b}f(x)dx}=f(\xi)(b-a) \end{aligned}$

( $\because$ 　 $f$ が定数関数ならば明らかである。 $f$ が定数関数でないならば、 $[a,b]$ で最大値 $M$ および最小値 $m(m\lt M)$ を取る。 $m\leq f(x)\leq M,\ x\in I$ であるから、 $f$ の連続性より

$\begin{aligned} m(b-a)=\displaystyle{\int_{a}^{b}m dx}\lt \displaystyle{\int_{a}^{b}f(x) dx}\lt \displaystyle{\int_{a}^{b}M dx}=M(b-a) \end{aligned}$

が得られるから、

$\begin{aligned} m\lt \displaystyle{\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}m dx}\lt \displaystyle{\int_{a}^{b}f(x) dx}\lt M \end{aligned}$

が成立する。したがって中間値の定理より

$\begin{aligned} {}^{\exists}\xi\in[a,b]\ s.t.\ \displaystyle{\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x) dx}=f(\xi) \end{aligned}$

が得られる。　 $\blacksquare$ )

6.3　微分と積分の関係

　 $f(x)$ は閉区間 $I$ で積分可能な関数とする。 $a\in I$ を1つ定めて ${}^{\forall}x\in I$ に対する積分

$\begin{aligned} F(x)=\displaystyle{\int_{a}^{x}f(t)dt} \end{aligned}$

を定義する。これに対し以下が成り立つ。

微分と積分の関係　積分

$\begin{aligned} F(x)=\displaystyle{\int_{a}^{x}f(t)dt} \end{aligned}$

を定義すると以下が成り立つ。
(1) $F(x)$ は $I$ で連続である。
(2) $f(x)$ が $I$ で連続ならば、 ${}^{\forall}x\in I$ において

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{d}{dx}F(x)}=f(x) \end{aligned}$

である。

( $\because$ (1) $f$ は有界であるから、 ${}^{\exists}M\gt0\ s.t.\ |f(x)|\leq M,\ x\in I$ が成り立つ。したがって

$\begin{aligned} {}^{\forall}x_0\in I\left({}^{\forall}x\ s.t.\ x\geq x_0\left(\left|\displaystyle{\int_{x_0}^{x}} f(t) dt\right|\leq\displaystyle{\int_{x_0}^{x}}\left| f(t)\right| dt\leq M(x-x_0)\right)\right) \end{aligned}$

が成立する。同様に $x\leq x_0$ ならば $F(x)-F(x_0)\leq M(x_0-x)$ が成立するから

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}F(x)}=F(x_0) \end{aligned}$

が得られる。したがって $F$ は $I$ で連続である。
　次に $x,x+h\in I$ のとき

$\begin{aligned} F(x+h)-F(x)=\displaystyle{\int_{x}^{x+h}f(t) dt} \end{aligned}$

である。積分に関する平均値の定理から

$\begin{aligned} {}^{\exists}\xi\in (x,x+h)\ s.t.\ F(x+h)-F(x)=f(\xi) h \end{aligned}$

が成り立つ。したがって

$\begin{aligned} {}^{\exists}\theta\in(0,1)\left(\xi=x+h\theta, \displaystyle{\frac{F(x+h)-F(x)}{h}}=f(\xi)\right) \end{aligned}$

が成り立ち、 $f$ の連続性から

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{h\rightarrow0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}}=\displaystyle{\lim_{h\rightarrow0}f(\xi)}=f(x) \end{aligned}$

である。　 $\blacksquare$ )

以上の定理から、一般に区間 $I$ で定義された関数 $f(x)$ が与えられたとき、 $f(x)$ を導関数とする関数

$\begin{aligned} F(x):I\rightarrow\mathbb{R}\ s.t.\ \displaystyle{\frac{d}{dx}F(x)}=F^{\prime}(x)=f(x) \end{aligned}$

を $f(x)$ の原始関数という。
　原始関数が存在するとき、加法的定数を除き一意に定まる。すなわちある1つの原始関数を $F_0(x)$ とすれば任意の原始関数 $F(x)$ は $F(x)=F_0(x)+C,\ C\in\mathbb{R}$ で表される。これは

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{d}{d}(F(x)-F_0(x))}=f(x)-f(x)=0 \end{aligned}$

から得られる。これは

$\begin{aligned} F(x)=\displaystyle{\int_{c}^{x}f(t)dt}+C,\ C\in\mathbb{R} \end{aligned}$

を表すことができることを意味する。この $C$ を積分定数という。したがって $a,b\in I$ [に対して

$\begin{aligned} F(b)-F(a)=\displaystyle{\int_{c}^{b}f(t) dt}-\displaystyle{\int_{c}^{a}f(t) dt}=\displaystyle{\int_{a}^{b}f(t) dt} \end{aligned}$

となる。すなわち

微分積分学の基本定理　 $f(x)$ を区間 $I$ で定義された連続関数、 $F(x)$ を $f(x)$ の原始関数とすれば、 ${}^{\forall}a,{}^{\forall}b\in I$ に対して

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{a}^{b}f(t)dt}=F(b)-F(a)=[F(x)]_{a}^{b} \end{aligned}$

が成り立つ。

$f(x)$ の原始関数に積分定数を加えたものを $f(x)$ の不定積分といい、 $\displaystyle{\int f(x)}dx$ で表す。

6.3.1　不定 積分の例

　以下、積分定数は省略している。

$\begin{aligned} \displaystyle{\int x^{k}dx}&=\displaystyle{\frac{1}{k+1}x^{k+1}} k\neq-1\\ \displaystyle{\int x^{-1}dx}&=\log{|x|}\\ \displaystyle{\int\frac{1}{1+x^2}dx}&=\arctan x\\ \displaystyle{\int\frac{1}{1-x^2}dx}&=\displaystyle{\frac{1}{2}\log{\left|\displaystyle{\frac{1+x}{1-x}}\right|}}\\ \displaystyle{\int\frac{1}{\sqrt{x^2\pm1}}dx}&=\displaystyle{\log{\left|x+\sqrt{x^2\pm1}\right|}} \displaystyle{\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx}&=\arcsin x\\ \displaystyle{\int e^x dx}&=e^x\\ \displaystyle{\int a^x dx}&=\displaystyle{\frac{1}{\log a}}a^x,\ a\gt0,a\neq1\\ \displaystyle{\int \sin x dx}&=-\cos x\\ \displaystyle{\int \cos x dx}&=\sin x\\ \displaystyle{\int \tan x dx}&=-\log|\cos x| \end{aligned}$

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6.2 定積分の性質

6.3 微分と積分の関係

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