やりなおしの数学・線形代数篇（20/26） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

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線型代数入門 (基礎数学)

作者:齋藤正彦
東京大学出版会

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を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ
5.　固有値と固有ベクトル
- 5.3　二次形式

今日のまとめ

5.　固有値と固有ベクトル

5.3　二次形式

　変数 $x_1,\cdots,x_n$ に関する実係数の斉次二次式*1を二次形式という。すなわち $x_{i}x_{j}$ の係数を $a_{ij}\in\mathbb{R}$ とおけば

$\begin{aligned} F(x_1,\cdots,x_n)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}} \end{aligned}$

と書ける。 $x_ix_j=x_jx_i$ で $a_{ij},i\neq j$ が一意に定まらないため、 $a_{ij}=a_{ji}$ とする。
　係数行列 $A=(a_{ij})$ を二次形式 $F$ の行列という。 $F$ が斉次多項式であることから、 $A$ は実対称行列、すなわち

$\begin{aligned} A={}^{t}A \end{aligned}$

が成り立つ。

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \ldots\\ x_n \end{bmatrix} \end{aligned}$

とおけば、

$\begin{aligned} F(\boldsymbol{x})={}^{t}\boldsymbol{x}A\boldsymbol{x} \end{aligned}$

と表される。
　2つの変数ベクトル $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$ が正則な行列 $P$ によって

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y} \end{aligned}$

と書けるならば、

$\begin{aligned} G(\boldsymbol{y})=F(\boldsymbol{x}) \end{aligned}$

とおくと $G(\boldsymbol{y})$ の二次形式である。

$\begin{aligned} G(\boldsymbol{y})&=F(\boldsymbol{x})={}^{t}\boldsymbol{x}A\boldsymbol{x}={}^{t}\boldsymbol{y}({}^{t}PAP)\boldsymbol{y} \end{aligned}$

が成り立つから、 $G(\boldsymbol{y})は対称行列[tex:{}^{t}PAP$ により定まる二次形式である。
　さて二次形式 $F(\boldsymbol{x})$ が与えられたとき、 $\boldsymbol{y}=P\boldsymbol{x}$ で表される適当な変数ベクトルを見つけて $G(\boldsymbol{y})$ を可能な限り簡単な二次形式にすることを考える。とくに $P$ が直交行列ならば ${}^{t}P=P^{-1}$ が成り立つから、

二次形式の標準化　二次形式 $F(\boldsymbol{x})={}^{t}\boldsymbol{x}A\boldsymbol{x}$ に対して適当な直交行列 $P$ を取って $\boldsymbol{y}=P\boldsymbol{x}$ とすれば

$\begin{aligned} F(\boldsymbol{x})=G(\boldsymbol{y})=\alpha_1y_1^2+\cdots+\alpha_ny_n^2 \end{aligned}$

と表現できる。ただし $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ は $A$ の重複も込めた固有値である。
　更に

$\begin{aligned} \alpha_1,\cdots,\alpha_p\gt0,\ \alpha_p,\cdots,\alpha_{p+q}\lt0\\ \alpha_{p+q+1}=\cdots=\alpha_n=0 \end{aligned}$

となるようにできる、ここで $p+q$ は $A$ の階数である。

　また変数の正則線形変換

$\begin{aligned} y_i=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{\alpha_i}}z_i},1\leq i\leq p,\ y_j=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{-\alpha_j}}z_j},\ p+1\leq j\leq p+q \end{aligned}$

を施せば

$\begin{aligned} F(\boldsymbol{x})=H(\boldsymbol{z})=z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+q}^2 \end{aligned}$

となる。これを二次形式 $F(\boldsymbol{x})$ の標準形という。
　このとき以下が成り立つ。

Sylvesterの慣性法則　二次形式に対していかなる正則線形変換を施して標準形に移しても正負の項の数 $p,q$ は一定である。

( $\because$ 　2通りの変数変換

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y},\ \boldsymbol{x}=Q\boldsymbol{z} \end{aligned}$

によって2通りの標準形

$\begin{aligned} F(\boldsymbol{x})&=G(\boldsymbol{y})=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_{p+q}^2\\ &=H(\boldsymbol{z})=z_1^2+\cdots+z_s^2-z_{s+1}^2-\cdots-z_{s+t}^2 \end{aligned}$

を得たとする。ここで $p+q=s+t=\mathcal{rank}(A)$ とする。
　 $p\gt s$ と仮定する。 $x_1,\cdots,x_n$ に関する斉次一次方程式系

$\begin{aligned} y_i&=0,\ i=p+1,p+2,\cdots,n,\\ z_j&=0,\ j=1,2,\cdots,s \end{aligned}$

は自明でない解 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ を持つ。なぜならば仮定より、方程式の個数 $n-p+s$ に対して $n-p+s\lt n$ が成り立つ。

$\begin{aligned} P^{-1}=\begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ \vdots\\ \vdots\\ \vdots\\ \vdots\\ a_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_p\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{bmatrix},\ \ Q^{-1}=\begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ \vdots\\ \vdots\\ \vdots\\ a_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ c_{s+1}\\ \vdots\\ c_n \end{bmatrix} \end{aligned}$

の形であるから、

$\begin{aligned} b_1^2+\cdots b_p^2=-c_{s+1}^2-\cdots-c_{n}^2 \end{aligned}$

が成り立つ。したがって $b_1=b_2=\cdots=b_n=0$ であり、 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ が自明な解ではないということに反する。したがって $p=2$ でなければならない。　 $\blacksquare$ )

　組 $(p,q)$ を二次形式 $F(\boldsymbol{x})の符号という。[tex:p$ は実対称行列 $A$ の正の固有値の数、 $q$ は負の固有値の数である。
　 ${}^{\forall}\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$ に対して $F(\boldsymbol{x})\gt0(\geq0)$ が成り立つとき、二次形式 $F(\boldsymbol{x})$ は正値（半正定値）であるという。 $F(\boldsymbol{x})={}^{t}\boldsymbol{x}A\boldsymbol{x}=(A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})$ であるから、これは実対称行列 $A$ が正値（半正値）であるということと同値である。それは更に $p=n\Leftrightarrow q=0$ と同値である。