やりなおしの数学・微分積分篇（53/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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9.　関数列の収束
- 9.9　関数空間C(I)と縮小写像の原理
  - 9.9.1　関数空間
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今日のまとめ

一般にノルム空間 $X$ において収束列は $\mathrm{Cauchy}$ 列となる。

任意の $\mathrm{Cauchy}$ 列が収束列であるとき、そのノルム空間は完備であるという。また完備なノルム空間を $\mathrm{Banach}$ 空間という

9.　関数列の収束

　本節では関数の数列（関数列）に関する収束概念を扱う。

9.9　関数空間C(I)と縮小写像の原理

　連続関数空間 $C(I)$ とその上でのノルムを導入し、関数列の一様収束を整理する。その上で縮小写像の原理と逐次近似法を導入する。

9.9.1　関数空間

　一般にノルム空間 $X$ において収束列は $\mathrm{Cauchy}$ 列となる。

ノルム空間における $\mathrm{Cauchy}$ 列と収束列　ノルム空間 $X$ における点列 $\{u_n\}_{n=1,2,\cdots}$ を $X$ 内の収束列とするとき、 $\{u_n\}_{n=1,2,\cdots}$ は $\mathrm{Cauchy}$ 列である。

( $\because$ 　点列 $\{u_n\}_{n=1,2,\cdots}$ を $X$ 内の収束列とし、 $u\in X$ をその収束値とする。このとき定義から

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\|u_n-u\|}=0 \end{aligned}$

が成立する。三角不等式から、

$\begin{aligned} \|u_n-u_m\|=\|u_n-u+u-u_m\|\leq\|u_n-u\|+\|u_m-u\|\rightarrow0(m,n\rightarrow\infty) \end{aligned}$

が成り立つから、 $\{u_n\}_{n=1,2,\cdots}$ は $\mathrm{Cauchy}$ 列である。　 $\blacksquare$ )

　逆が成り立つとき、すなわち任意の $\mathrm{Cauchy}$ 列が収束列であるとき、そのノルム空間は完備であるという。また完備なノルム空間を $\mathrm{Banach}$ 空間という。関数空間 $C(I)$ は完備である。

関数空間の完備性　 $I=[a,b]\subset\mathbb{R}$ で定義された実数値連続関数の集合 $C(I)$ 内の任意の $\mathrm{Cauchy}$ 列は収束列である、すなわち $C(I)$ は完備である。

( $\because$ 　 $\{f_n\}_{n=1,2,\cdots}$ を $C(I)$ における $\mathrm{Cauchy}$ 列とする。このとき $\{f_n\}$ は $f$ に一様収束し、また $f$ は連続である。したがって $f\in C(I)$ で、

$\begin{aligned} \left\|f_n-f\right\|\rightarrow0(n\rightarrow\infty) \end{aligned}$

であるから、 $\{f_n\}_{n=1,2,\cdots}$ は収束列である。　 $\blacksquare$ )

　ノルム空間においても開集合および閉集合を定義できる。

ノルム集合における開集合・閉集合　ノルム空間 $X$ の集合 $A$ が開集合であるとは、

$\begin{aligned} {}^{\forall}u\in A\left({}^{\exists}\varepsilon\gt0\left(U_{\varepsilon}(u)\subset A\right)\right) \end{aligned}$

が成り立つときをいう。また開集合 $A$ に対して $A^{C}=\{u\in X|u\notin A\}$ を閉集合という。

閉集合であることの必要十分条件　 $A$ が $X$ の閉集合であることの必要十分条件は、 $A$ の点列 $\{u_n\}_{n=1,2,\cdots}$ が $u\in X$ に収束するならば $u\in A$ であることである。

( $\because$ $(\Longrightarrow)$ )
　 $A$ を $X$ の閉集合とする。 $A$ の点列 $\{u_n\}_{n=1,2,\cdots}$ が $u\in X$ に収束すると仮定する。もし $u\notin A$ とすれば $u\in A^C$ が成り立つ。 $A^C$ は開集合であるから、

$\begin{aligned} {}^{\exists}\varepsilon\gt0\left(U_{\varepsilon}\subset A^C\right) \end{aligned}$

が成り立つ。
　一方で収束性の定義から、

$\begin{aligned} {}^{\exists}N\in\mathbb{N}\left(n\geq N\left(u_n\in U_{\varepsilon}(u) \right)\right) \end{aligned}$

が成立する。 $u_n\in A$ であるから $A\cap U_{\varepsilon}(u)\neq\emptyset$ が成立するものの、これは $U_{\varepsilon}(u)\subset A^C$ に矛盾する。したがって $u\in A$ が成り立つ。

$(\Longleftarrow)$ )　対偶、すなわち $A$ が閉集合でなければ $A$ の点列 $\{u_n\}$ でその極限が $A$ に属さないものが存在することを示す。 $A$ が $X$ の閉集合でなければ、 $A^C$ は $X$ の開集合でない。そのため

$\begin{aligned} {}^{\exists}u\in A^C\left({}^{\forall}\varepsilon\gt0\left(U_{\varepsilon}(u)\not\subset A^C\right)\right) \end{aligned}$

が成立、すなわち $U_{\varepsilon}(u)\cap A\neq\emptyset$ が ${}^{\forall}\varepsilon\gt0$ に対して成立する。特に任意の自然数 $n$ に対して $\varepsilon=\displaystyle{\frac{1}{n}}$ と取れば、 $u_n=U_{1/n}(u)\cap A$ であるような $u_n\in A$ が存在し、

$\begin{aligned} \left\|u_n-u\right\|\lt\displaystyle{\frac{1}{n}} \end{aligned}$

であるから、 $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\|u_n-u\| }=0$ が成立する。したがって $u\notin A$ に収束する $A$ の点列 $\{u_n\}_{n=1,2,\cdots}$ が存在することが分かった。　 $\blacksquare$ )

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9. 関数列の収束

9.9 関数空間C(I)と縮小写像の原理

9.9.1 関数空間

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