やりなおしの数学・微分積分篇（54/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ
9.　関数列の収束
- 9.9　関数空間C(I)と縮小写像の原理
  - 9.9.2　不動点の存在と逐次近似法
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今日のまとめ

縮小写像： $X$ をノルム空間 $K\subset X$ を閉集合とする。 $T:K\rightarrow X$ がノルム $\|\cdot\|$ に関して縮小写像であるとは、
$\begin{aligned}{}^{\exists}\rho\in[0,1)\left({}^{\forall}u,{}^{\forall}v\in K\left(\|T(u)-T(v)\|\leq\rho\|u-v\|\right)\right)\end{aligned}$
を満たすときをいう。

$\mathrm{Banach}$ の不動点定理： $K$ を $\mathrm{Banach}$ 空間 $X$ の閉部分集合、 $T:K\rightarrow K$ を縮小写像とする。このとき $T$ に不動点 $u\in K$ がただ1つ存在する。

9.　関数列の収束

　本節では関数の数列（関数列）に関する収束概念を扱う。

9.9　関数空間C(I)と縮小写像の原理

9.9.2　不動点の存在と逐次近似法

　 $K$ をノルム空間 $X$ の閉集合とする。 $u\in K$ に対して $T(u)\in X$ を対応させる写像を $T$ とし、 $u=T(u)$ を満たすような $u\in K$ を求めることを考える。このような $u$ を $T$ の不動点という。特に $X$ が連続関数空間 $C(I)$ の場合は $T$ は関数 $u(x)$ に関数 $T(u)(x)$ を対応させる写像であり、方程式 $u=T(u)$ を関数方程式という。

縮小写像の定義　 $X$ をノルム空間 $K\subset X$ を閉集合とする。 $T:K\rightarrow X$ がノルム $\|\cdot\|$ に関して縮小写像であるとは、

$\begin{aligned} {}^{\exists}\rho\in[0,1)\left({}^{\forall}u,{}^{\forall}v\in K\left(\|T(u)-T(v)\|\leq\rho\|u-v\|\right)\right) \end{aligned}$

を満たすときをいう。

縮小写像の例
　 $\rho\gt0,I=[0,\rho],y_0\in\mathbb{R}$ とする。写像 $T$ を
$\begin{aligned} T(u)(x)=\displaystyle{\int_0^x u(t)dt}+y_0 \end{aligned}$
と定義すると、 $\rho\in(0,1)$ のときにこれは $C(I)$ から $C(I)$ への縮小写像である。
　実際、
$\begin{aligned} \left|T(u)(x)-T(v)(x)\right|&=\left|\displaystyle{\int_0^x u(t)dt}+y_0-\left(\displaystyle{\int_0^x v(t)dt}+y_0\right)\right|\\ &=\left|\displaystyle{\int_0^x (u(t)-v(t) )dt}\right|\\ &\leq\displaystyle{\int_0^x\left|u(t)-v(t)\right|dt}\\ &\leq\|u-v\|\cdot\displaystyle{\int_{0}^{\rho}dt}\\ &=\rho\|u-v\| \end{aligned}$
が得られる。左辺は $x\in I$ について上限を取ることで
$\begin{aligned} \left\|T(u)(x)-T(v)(x)\right\|\leq\rho\|u-v\| \end{aligned}$
が得られるから、 $\rho\in(0,1)$ ならば $T$ は縮小写像である。
　この例において、 $u$ を $T$ の不動点とすれば、 $u(x)=\displaystyle{\int_0^x u(t)dt}+y_0$ が成立する。ここから $u^{\prime}(x)=u(x)$ が得られるから、 $u(x)=y_0 e^x$ が唯一の不動点である。

$\mathrm{Banach}$ の不動点定理　 $K$ を $\mathrm{Banach}$ 空間 $X$ の閉部分集合、 $T:K\rightarrow K$ を縮小写像とする。このとき $T$ に不動点 $u\in K$ がただ1つ存在する。

( $\because$ 　 ${}^{\forall}u_0\in K$ について、 $u_n=T(u_{n-1}),n=1,2,\cdots$ と定める。 $T:K\rightarrow K$ であるから、 $u_n\in K$ が成り立つ。いま $K$ の点列 $\{u_n\}_{n=0,1,2,\cdots}$ がノルム $\|\cdots\|$ に関して $\mathrm{Cauchy}$ 列であることを示す。点列の定義と縮小写像の定義から、ある $\rho\in(0,1)$ について

$\begin{aligned} \|u_{n+1}-u_n\|=\left\|T(u_n)-T(u_{n-1})\right\|\leq\rho\|u_{n}-u_{n-1}\| \end{aligned}$

が成り立つ。これを逐次的に適用することで

$\begin{aligned} \|u_{n+1}-u_n\|\leq\rho\|u_{n}-u_{n-1}\|\leq\cdots\leq\rho^n\|u_1-u_0\| \end{aligned}$

を得る。したがって $p,q\in\mathit{\mathbb{N}}\ \mathrm{s.t.}\ p\lt q$ に対して

$\begin{aligned} \left|u_p-u_q\right|&=\left|u_p-u_{p+1}+u_{p+1}-u_{p-2}+\cdots+\cdots+u_{q-1}-u_q\right|\\ &\leq\|u_p-u_{p+1}\|+\|u_{p+1}-u_{p+2}\|+\cdots+\|u_{q-1}-u_q\|\\ &=\displaystyle{\frac{\rho^p}{1-\rho}}\|u_1-u_0\| \end{aligned}$

が成り立つ。いま $\rho\in[0,1)$ であるから $\displaystyle{\lim_{p,q\rightarrow\infty}}\left|u_p-u_q\right|=0$ である。したがって $\{u_n\}_{n=0,1,2,\cdots}$ は $\mathrm{Cauchy}$ 列である。 $X$ の完備性から

$\begin{aligned} {}^{\exists}u\in X\left(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\|u_n-u\|}=0\right) \end{aligned}$

である。 $K$ は $X$ の閉部分集合であるから、 $u\in K$ が成り立ち、 $T$ が縮小写像であることと $u_{n+1}=T(u_n)$ から

$\begin{aligned} \left\|T(u)-u\right\|&=\|T(u)-T(u_n)+T(u_n)-u_{n+1}+u_{n+1}-u\|\\ &\leq \|T(u)-T(u_n)\|+\|u_{n+1}-u\|\\ &\leq\rho\|u_n-u\|+\|u_{n+1}-u\|\rightarrow0(n\rightarrow\infty) \end{aligned}$

が得られる。こうして $\|T(u)-u\|=0,\$ すなわち $T(u)=u$ で、 $T$ の不動点が存在することが分かった。
　次にその存在する不動点の一意性を示す。いま $v\in K$ も $v=T(v)$ を満たすとする。このとき

$\begin{aligned} \|u-v\|=\|T(u)-T(v)\|\leq\leq\rho\|u-v\| \end{aligned}$

が得られる。これより $(1-\rho)\|u-v\|\leq0$ が得られるが、 $\rho\gt0,\|u-v\|\geq0$ であるから、 $\|u-v\|=0$ でなければならない。したがって $u=v$ であり、不動点の一意性が示された。　 $\blacksquare$ )

　 $\mathrm{Banach}$ の不動点定理の証明において、不動点は以下のように構成された： $u_0\in K$ を任意に取って、 $u_1=T(u_0)$ とおく。それ以降、逐次的に $u_2=T(u_1),\cdots,u_{n+1}=T(u_n),\cdots$ として点列を定めると、収束列 $\{u_n\}$ を定義でき、 $u=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}}u_n=u$ とおくと、 $T(u)=u$ が成り立つ。こうした方法を逐次近似法という。
　逐次近似法は理論的な証明のみならず、数値解析において近似値を計算する際にも有用な概念である。