9. 関数列の収束
本節では関数の数列(関数列)に関する収束概念を扱う。
9.9 関数空間C(I)と縮小写像の原理
9.9.2 不動点の存在と逐次近似法
をノルム空間
の閉集合とする。
に対して
を対応させる写像を
とし、
を満たすような
を求めることを考える。このような
を
の不動点という。特に
が連続関数空間
の場合は
は関数
に関数
を対応させる写像であり、方程式
を関数方程式という。
と定義すると、
のときにこれは
から
への縮小写像である。
実際、が得られる。左辺は
について上限を取ることで
が得られるから、
ならば
は縮小写像である。
が成り立つ。これを逐次的に適用することで
を得る。したがってに対して
が成り立つ。いまであるから
である。したがって
は
列である。
の完備性から
である。は
の閉部分集合であるから、
が成り立ち、
が縮小写像であることと
から
が得られる。こうしてすなわち
で、
の不動点が存在することが分かった。
次にその存在する不動点の一意性を示す。いまも
を満たすとする。このとき
が得られる。これよりが得られるが、
であるから、
でなければならない。したがって
であり、不動点の一意性が示された。
)
の不動点定理の証明において、不動点は以下のように構成された:
を任意に取って、
とおく。それ以降、逐次的に
として点列を定めると、収束列
を定義でき、
とおくと、
が成り立つ。こうした方法を逐次近似法という。
逐次近似法は理論的な証明のみならず、数値解析において近似値を計算する際にも有用な概念である。