「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。

MENU

やりなおしの数学・微分積分篇(040/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 集合A上で連続な関数の列\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}を考える。もしA上で\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}が一様連続ならばf(x)Aの上で連続である。
  • \mathrm{Dini}の定理:区間[a,b]上で連続な関数の列\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}を考える。またこれが単調増大列
    \begin{aligned}{}^{\forall}x\in[a,b]\left(f_1(x)\leq f_2(x)\leq\cdots \leq f_n(x)\leq\right)\end{aligned}
    または単調減少列
    \begin{aligned}{}^{\forall}x\in[a,b]\left(f_1(x)\geq f_2(x)\geq\cdots \geq f_n(x)\geq\right)\end{aligned}
    だとする。もし
    \begin{aligned}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)}=f(x)\end{aligned}
    が各x\in[a,b]で存在し、f(x)[a,b]上で連続であるならば、\{f_n\}_{i=1}^{\infty}は一様収束する。

9. 関数列の収束

 本節では関数の数列(関数列)に関する収束概念を扱う。

9.2 連続関数列の一様収束

 有界区間[a,b]において定義された連続関数からなる関数列の一様収束性から各種結果を調べる。


連続性と一様収束性 集合A上で連続な関数の列\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}を考える。もしA上で\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}が一様連続ならばf(x)Aの上で連続である。
(\because {}^{\forall}x\in Aについて、

\begin{aligned}
{}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}\delta\gt0\left(|y-x|\lt\delta\ \mathrm{for}\ y\in A\Rightarrow |f(y)-f(x)|\lt\varepsilon\right)\right)
\end{aligned}

ことを示す。いま\{f_n\}_{n=1}^{\infty}は一様連続と仮定していたから、あるN\in\mathbb{N}に対して


\begin{aligned}
{}^{\forall}y\in A,{}^{\forall}n\geq N\left(\left|f_n(y)-f(y)\right|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\right)
\end{aligned}

が成立する。
 そこでn\geq Nを1つ固定する。f_nの連続性も仮定していたから、


\begin{aligned}
{}^{\exists}\delta\gt0\left({}^{\exists}y\in A\ s.t.\ |y-x|\lt\delta\Rightarrow \left|f_n(x)-f_n(y)\right|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}} \right)
\end{aligned}

が成立する。したがってy\in A\ s.t.\ |y-x|lt\deltaについて


\begin{aligned}
\left|f(x)-f(y)\right|&=\left|f(x)-f_n(x)+f_n(x)-f_n(y)+f_n(y)-f(y)\right|\\
&\leq\left|f(x)-f_n(x)\right|+\left|f_n(x)-f_n(y)\right|+\left|f_n(y)-f(y)\right|\\
&\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\\
&=\varepsilon
\end{aligned}

であるから、fは点x\in Aで連続である。 \blacksquare)


\mathrm{Dini}の定理 区間[a,b]上で連続な関数の列\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}を考える。またこれが単調増大列

\begin{aligned}
{}^{\forall}x\in[a,b]\left(f_1(x)\leq f_2(x)\leq\cdots \leq f_n(x)\leq\right)
\end{aligned}

または単調減少列


\begin{aligned}
{}^{\forall}x\in[a,b]\left(f_1(x)\geq f_2(x)\geq\cdots \geq f_n(x)\geq\right)
\end{aligned}

だとする。もし


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)}=f(x)
\end{aligned}

が各x\in[a,b]で存在し、f(x)[a,b]上で連続であるならば、\{f_n\}_{i=1}^{\infty}は一様収束する。

(\because 単調減少列であるときも同様に示されるから、\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}が単調増加列であると仮定する。いま一様収束しないとする。このとき\varepsilon\gt0が存在し任意のN\in\mathbb{N}に対して

\begin{aligned}
{}^{\exists}x\in[a,b],{}^{\exists}n\geq N\left(|f_n(x)-f(x)|\geq\varepsilon\right)
\end{aligned}

が成り立つ。こうしてN=1に対してm_1\geq1,x_1\in[a,b]|f_{m_1}(x_1)-f(x_1)|\geq\varepsilonとなるように取る。
 次にN=\max\{2,m_1+1\}に対してm_2\geq N,x_2\in[a,b]|f_{m_2}(x_2)-f(x_2)|\geq\varepsilonとなるように取る。これを続けることで点列\{x_{m_k}\}\subset[a,b]自然数


\begin{aligned}
m_1\lt m_2\lt\cdots\lt m_k\lt\cdots
\end{aligned}

|f_{m_k}(x_{m_k})-f(x_{m_k})|\geq\varepsilonを満たすものが取れる。
 いまf_nは単調増加列であるからf_n(x)\leq f(x)である。したがって


\begin{aligned}
f(x_{m_k})-f_{m_k}(x_{m_k})\geq\varepsilon
\end{aligned}

である。一方でa\leq x_{m_k}\leq bより\{x_{m_k}\}有界列であるから、\mathrm{Bolzano}-\mathrm{Weierstrauss}の定理より収束部分列\{x_{m_k^{\prime}}\}が存在する。そこで


\begin{aligned}
x_{m_k^{\prime}}\rightarrow x\in[a,b](m_k^{\prime}\rightarrow\infty)
\end{aligned}

とおくとき、すべてのm_k^{\prime}\in\mathbb{N}に対して


\begin{aligned}
f(m_k^{\prime})-\varepsilon\geq f_{m_k^{\prime}}(x_{m_k^{\prime}})
\end{aligned}

が得られる。いま{}^{\forall}n\in\mathbb{N}に対してn\lt m_{k}^{\prime}を満たすような番号m_{k}^{\prime}を取れば、f_n(x_{m_{k}^{\prime}})\leq f_{m_{k}^{\prime}}(x_{m_{k}^{\prime}})が成り立つから、これを代入して


\begin{aligned}
f(m_k^{\prime})-\varepsilon\geq f_{m_k^{\prime}}(x_{m_k^{\prime}})\geq f_n(x_{m_k^{\prime}})
\end{aligned}

を得る。m_{k}^{\prime}\rightarrow\inftyとしてf_n,fの連続性からf(x)-\varepsilon\geq f_n(x)が成り立つ。n\in\mathbb{N}は任意に取ったからn\rightarrow\inftyとすれば


\begin{aligned}
f(x)-\varepsilon\geq f(x)
\end{aligned}

が成立するものの、これにより0\geq\varepsilon\gt0が成り立ち、これは矛盾している。したがって背理法により\{f_n\}_{i=1}^{\infty}は一様収束する。 \blacksquare)

プライバシーポリシー お問い合わせ