やりなおしの数学・微分積分篇（41/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ

集合 $A$ 上で連続な関数の列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ を考える。もし $A$ 上で $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ が一様連続ならば $f(x)$ も $A$ の上で連続である。

$\mathrm{Dini}$ の定理：区間 $[a,b]$ 上で連続な関数の列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ を考える。またこれが単調増大列
$\begin{aligned}{}^{\forall}x\in[a,b]\left(f_1(x)\leq f_2(x)\leq\cdots \leq f_n(x)\leq\right)\end{aligned}$
または単調減少列
$\begin{aligned}{}^{\forall}x\in[a,b]\left(f_1(x)\geq f_2(x)\geq\cdots \geq f_n(x)\geq\right)\end{aligned}$
だとする。もし
$\begin{aligned}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)}=f(x)\end{aligned}$
が各 $x\in[a,b]$ で存在し、 $f(x)$ が $[a,b]$ 上で連続であるならば、 $\{f_n\}_{i=1}^{\infty}$ は一様収束する。

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今日のまとめ
9.　関数列の収束
- 9.2　連続関数列の一様収束
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9.　関数列の収束

　本節では関数の数列（関数列）に関する収束概念を扱う。

9.2　連続関数列の一様収束

　有界閉区間 $[a,b]$ において定義された連続関数からなる関数列の一様収束性から各種結果を調べる。

連続性と一様収束性　集合 $A$ 上で連続な関数の列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ を考える。もし $A$ 上で $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ が一様連続ならば $f(x)$ も $A$ の上で連続である。

( $\because$ 　 ${}^{\forall}x\in A$ について、

$\begin{aligned} {}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}\delta\gt0\left(|y-x|\lt\delta\ \mathrm{for}\ y\in A\Rightarrow |f(y)-f(x)|\lt\varepsilon\right)\right) \end{aligned}$

ことを示す。いま $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ は一様連続と仮定していたから、ある $N\in\mathbb{N}$ に対して

$\begin{aligned} {}^{\forall}y\in A,{}^{\forall}n\geq N\left(\left|f_n(y)-f(y)\right|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\right) \end{aligned}$

が成立する。
　そこで $n\geq N$ を1つ固定する。 $f_n$ の連続性も仮定していたから、

$\begin{aligned} {}^{\exists}\delta\gt0\left({}^{\exists}y\in A\ s.t.\ |y-x|\lt\delta\Rightarrow \left|f_n(x)-f_n(y)\right|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}} \right) \end{aligned}$

が成立する。したがって $y\in A\ s.t.\ |y-x|lt\delta$ について

$\begin{aligned} \left|f(x)-f(y)\right|&=\left|f(x)-f_n(x)+f_n(x)-f_n(y)+f_n(y)-f(y)\right|\\ &\leq\left|f(x)-f_n(x)\right|+\left|f_n(x)-f_n(y)\right|+\left|f_n(y)-f(y)\right|\\ &\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\\ &=\varepsilon \end{aligned}$

であるから、 $f$ は点 $x\in A$ で連続である。　 $\blacksquare$ )

$\mathrm{Dini}$ の定理　区間 $[a,b]$ 上で連続な関数の列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ を考える。またこれが単調増大列

$\begin{aligned} {}^{\forall}x\in[a,b]\left(f_1(x)\leq f_2(x)\leq\cdots \leq f_n(x)\leq\right) \end{aligned}$

または単調減少列

$\begin{aligned} {}^{\forall}x\in[a,b]\left(f_1(x)\geq f_2(x)\geq\cdots \geq f_n(x)\geq\right) \end{aligned}$

だとする。もし

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)}=f(x) \end{aligned}$

が各 $x\in[a,b]$ で存在し、 $f(x)$ が $[a,b]$ 上で連続であるならば、 $\{f_n\}_{i=1}^{\infty}$ は一様収束する。

( $\because$ 　単調減少列であるときも同様に示されるから、 $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ が単調増加列であると仮定する。いま一様収束しないとする。このとき $\varepsilon\gt0$ が存在し任意の $N\in\mathbb{N}$ に対して

$\begin{aligned} {}^{\exists}x\in[a,b],{}^{\exists}n\geq N\left(|f_n(x)-f(x)|\geq\varepsilon\right) \end{aligned}$

が成り立つ。こうして $N=1$ に対して $m_1\geq1,x_1\in[a,b]$ を $|f_{m_1}(x_1)-f(x_1)|\geq\varepsilon$ となるように取る。
　次に $N=\max\{2,m_1+1\}$ に対して $m_2\geq N,x_2\in[a,b]$ を $|f_{m_2}(x_2)-f(x_2)|\geq\varepsilon$ となるように取る。これを続けることで点列 $\{x_{m_k}\}\subset[a,b]$ と自然数列

$\begin{aligned} m_1\lt m_2\lt\cdots\lt m_k\lt\cdots \end{aligned}$

で $|f_{m_k}(x_{m_k})-f(x_{m_k})|\geq\varepsilon$ を満たすものが取れる。
　いま $f_n$ は単調増加列であるから $f_n(x)\leq f(x)$ である。したがって

$\begin{aligned} f(x_{m_k})-f_{m_k}(x_{m_k})\geq\varepsilon \end{aligned}$

である。一方で $a\leq x_{m_k}\leq b$ より $\{x_{m_k}\}$ は有界列であるから、 $\mathrm{Bolzano}$ - $\mathrm{Weierstrauss}$ の定理より収束部分列 $\{x_{m_k^{\prime}}\}$ が存在する。そこで

$\begin{aligned} x_{m_k^{\prime}}\rightarrow x\in[a,b](m_k^{\prime}\rightarrow\infty) \end{aligned}$

とおくとき、すべての $m_k^{\prime}\in\mathbb{N}$ に対して

$\begin{aligned} f(m_k^{\prime})-\varepsilon\geq f_{m_k^{\prime}}(x_{m_k^{\prime}}) \end{aligned}$

が得られる。いま ${}^{\forall}n\in\mathbb{N}$ に対して $n\lt m_{k}^{\prime}$ を満たすような番号 $m_{k}^{\prime}$ を取れば、 $f_n(x_{m_{k}^{\prime}})\leq f_{m_{k}^{\prime}}(x_{m_{k}^{\prime}})$ が成り立つから、これを代入して