今日のまとめ
- 集合
上で連続な関数の列
を考える。もし
上で
が一様連続ならば
も
の上で連続である。
の定理:区間
上で連続な関数の列
を考える。またこれが単調増大列
または単調減少列だとする。もしが各で存在し、
が
上で連続であるならば、
は一様収束する。
9. 関数列の収束
本節では関数の数列(関数列)に関する収束概念を扱う。
9.2 連続関数列の一様収束
有界閉区間において定義された連続関数からなる関数列の一様収束性から各種結果を調べる。
連続性と一様収束性 集合
ことを示す。いまは一様連続と仮定していたから、ある
に対して
が成立する。
そこでを1つ固定する。
の連続性も仮定していたから、
が成立する。したがってについて
であるから、は点
で連続である。
)
が成り立つ。こうしてに対して
を
となるように取る。
次にに対して
を
となるように取る。これを続けることで点列
と自然数列
でを満たすものが取れる。
いまは単調増加列であるから
である。したがって
である。一方でより
は有界列であるから、
-
の定理より収束部分列
が存在する。そこで
とおくとき、すべてのに対して
が得られる。いまに対して
を満たすような番号
を取れば、
が成り立つから、これを代入して
を得る。として
の連続性から
が成り立つ。
は任意に取ったから
とすれば
が成立するものの、これによりが成り立ち、これは矛盾している。したがって背理法により
は一様収束する。
)