やりなおしの数学・微分積分篇（72/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　 $(m,n)$ 行列全体の集合を $M(m,n)$ と書くこととする。 $M(m,n)$ と $\mathrm{R}^{m\times n}$ は行列 $A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}$ と点 $(a_{11},\cdots,a_{a_{mn}})$ $\in\mathbb{R}^{m\times n}$ を対応付けることで同一視できる。これにより行列のノルムを以下のように導入できる。

行列のノルム　 $A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}\in M(m,n)$ に対して、そのノルム $\left|A\right|_{\mathbb{R}^{m\times n}}$ を

$\begin{aligned} \left|A\right|_{\mathbb{R}^{m\times n}}=\sqrt{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}^2} \end{aligned}$

で定義する。

また $\mathbb{R}^n$ 内の点列の収束、 $\mathbb{R}^n$ の開集合等の定義と同様に、 $M(m,n)$ 内の点列の収束や開集合などを定義できる。
　 $M(m,n)$ の部分集合 $O\subset M(m,n)$ が開集合であるとは、任意の $A\in O$ に対してある $\varepsilon\gt0$ が存在し、 $B\in M(m,n)$ が $\left|B-A\right|_{\mathbb{R}^{m\times n}}\lt\varepsilon$ を満たすならば $B\in O$ が成立することをいう。
　また $M(m,n)$ のノルムとして、

$\begin{aligned} \left|A\right|_{M(m,n)}=\displaystyle{\sup_{\left|\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^n}\leq1}\left|A\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^m}} \end{aligned}$

という定義も利用される。この値は $\left|\cdot\right|_{\mathbb{R}^{m\times n}}$ と同値になる。具体的な値の計算が難しい一方で、理論的に良い性質を持つ。

行列のsupノルムの性質　 $I\in M(n,n)$ を単位行列、 $A,B\in M(m,n),$ $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n,$ $\lambda\in\mathbb{R}$ とする。このとき以下が成立する。

$\left|I\right|_{M(n,n)}=1$
$\left|A\boldsymbol{x}\right|_{\mathbb{R}^m}=\leq\left|A\right|_{M(m,n)}\left|\boldsymbol{x}\right|_{\mathbb{R}^n}$
$\left|A+B\right|_{M(m,n)}\leq\left|A\right|_{M(m,n)}+\left|B\right|_{M(m,n)}$
$\left|\lambda A\right|_{M(m,n)}=\left|\lambda\right|\left|A\right|_{M(m,n)}$

( $\because$ 　まず $I$ に対して $\boldsymbol{h}=\begin{bmatrix}h_1\\\vdots\\h_n\end{bmatrix}$ とおけば

$\begin{aligned} \left|I\right|_{M(n,n)}&=\left|\begin{bmatrix}1&0&\cdots&0&0\\0&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&\cdots&1&0\\0&0&\cdots&0&1\end{bmatrix}\right|_{M(n,n)}\\ &=\displaystyle{\sup_{\left|\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^n}\leq1}}\left|\begin{bmatrix}1&0&\cdots&0&0\\0&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&\cdots&1&0\\0&0&\cdots&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}h_1\\\vdots\\h_n\end{bmatrix}\right|\\ &=\displaystyle{\sup_{\left|\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^n}\leq1}}\left|\begin{bmatrix}h_1\\\vdots\\h_n\end{bmatrix}\right|\\ &=\displaystyle{\sup_{\left|\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^n}\leq1}}\left|\boldsymbol{h}\right|\\ &=1 \end{aligned}$

である。
　次に2番目の不等式について、 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ のときは示すべき不等式の等号が成立する。 $\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$ のとき、

$\begin{aligned} \boldsymbol{h}_{0}=\displaystyle{\frac{\boldsymbol{x}}{\left|\boldsymbol{x}\right|_{\mathbb{R}^n}}} \end{aligned}$

とおけば、 $\left|\boldsymbol{h}_{0}\right|=1$ であるから、

$\begin{aligned} \left|A\boldsymbol{h}_{0}\right|_{\mathbb{R}^m}&\leq\displaystyle{\sup_{\left|\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^n\leq1}}\left|A\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^m}}\\ &=\left|A\right|_{M(m,n)} \end{aligned}$

が成り立つ。したがって

$\begin{aligned} \left|A\boldsymbol{x}\right|_{\mathbb{R}^m}&=\left|A\boldsymbol{h}_{0}\right|_{\mathbb{R}^m}\left|\boldsymbol{x}\right|_{\mathbb{R}^n}\\ &\leq\left|A\right|_{M(m,n)}\left|\boldsymbol{x}\right|_{\mathbb{R}^n} \end{aligned}$

を得る。
　更に3番目の不等式について、

$\begin{aligned} \left|(A+B)\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^m}\leq\left|A\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^m}+\left|B\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^m} \end{aligned}$

であるから、 $\boldsymbol{h}\in\mathbb{R}^n\ \mathrm{s.t.}\ \left|\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^n}\leq1$ について、両辺の上限を取ればよい。
　最後の不等式も

$\begin{aligned} \left|\lambda A\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^m}\leq\left|\lambda\right|\left|A\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^m} \end{aligned}$

であるから、 $\boldsymbol{h}\in\mathbb{R}^n\ \mathrm{s.t.}\ \left|\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^n}\leq1$ について、両辺の上限を取ればよい。　 $\blacksquare$ )

行列の積に対する $\sup$ ノルム　 $A\in M(m,n),$ $B\in M(n,k)$ とする。このとき $AB\in M(m,k)$ について

$\begin{aligned} \left|AB\right|_{M(m,k)}\leq\left|A\right|_{M(m,n)}\left|B\right|_{M(n,k)} \end{aligned}$

が成り立つ。

( $\because$ 　任意の $\boldsymbol{h}\in\mathbb{R}^k$ に対して $B\boldsymbol{h}\in\mathbb{R}^n$ であることに注意して前述の補題を用いることで

$\begin{aligned} \left|\left(AB\right)\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^{m}}&=\left|A\left(B\right)\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^{m}}\\ &\leq\left|A\right|_{M(m,n)}\left|B\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^{n}}\\ &\leq\left|A\right|_{M(m,n)}\left|B\right|_{M(n,k)}\left|\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^{k}} \end{aligned}$

を得る。 $\boldsymbol{h}\in\mathbb{R}^n\ \mathrm{s.t.}\ \left|\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^n}\leq1$ について、両辺の上限を取ればよい。　 $\blacksquare$ )

ベクトル値写像のノルム　開集合 $\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^n,$ $\mathit{\Omega}\neq\emptyset$ に対して、 $\boldsymbol{f}:$ $\mathit{\Omega}$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}^m$ を $C^1$ 級写像として定義する。 $\boldsymbol{a},$ $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{h}\in\mathbb{R}^n$ に対して、

$\begin{aligned} \left\{\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{h}\left|\right.t\in\left[0,1\right]\right\}\subset\mathit{\Omega} \end{aligned}$

だとする。このとき

$\begin{aligned} \left|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{h})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})\right|_{\mathbb{R}^n}\leq\left|\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^n}\displaystyle{\max_{t\in[0,1]}\left|D\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{h})\right|_{M(m,n)}} \end{aligned}$

が成り立つ。

( $\because$ 　 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{h})=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})$ ならば明らかであるから、 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{h})-$ $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})$ $\neq\boldsymbol{0}$ とする。

$\begin{aligned} \boldsymbol{v}&=\displaystyle{\frac{\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{h})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})}{\left|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{h})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})\right|_{\mathbb{R}^m}}},\\ g(t)&=\left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{h})\right):[0,1]\rightarrow\mathbb{R} \end{aligned}$

とおく。このとき

$\begin{aligned} \left|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{h})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a})\right|_{\mathbb{R}^m}&=\left|g(1)-g(0)\right|\\ &\leq\displaystyle{\int_{0}^{1}\left|\frac{dg}{dt}(t)\right|dt}\\ &\leq\displaystyle{\int_{0}^{1}\left(\max_{t\in[0,1]}\left|\frac{dg}{dt}(t)\right|\right)dt}\\ &\leq\displaystyle{\max_{t\in[0,1]}\left|\frac{dg}{dt}(t)\right|\int_{0}^{1}dt}\\ &=\displaystyle{\max_{t\in[0,1]}\left|\frac{dg}{dt}(t)\right|} \end{aligned}$

が成り立つ。したがって

$\begin{aligned} \left|\displaystyle{\frac{dg}{dt}(t)}\right|&=\left|(\boldsymbol{v},D\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{h})\boldsymbol{h})\right|\\ &\leq\left|\boldsymbol{v}\right|_{\mathbb{R}^m}\left|D\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{h})\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^m}\\ &\leq\left|\boldsymbol{v}\right|_{\mathbb{R}^m}\left|D\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{h})\right|_{\mathbb{R}^m}\left|\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^m}\\ &=\left|D\boldsymbol{f}(\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{h})\right|_{\mathbb{R}^m}\left|\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^m} \end{aligned}$

が成立する。　 $\blacksquare$ )

行列ノルムの同値性　 $A\in M(m,n)$ に対して、

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{n}}\left|A\right|_{\mathbb{R}^{m\times n}}}\leq\left|A\right|_{M(m,n)}\leq\left|A\right|_{\mathbb{R}^{m\times n}} \end{aligned}$

が成り立つ。

( $\because$ 　 $A$ を

$\begin{aligned} A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{bmatrix} \end{aligned}$

とおけば、 $\boldsymbol{e}_1=\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix},\cdots,\boldsymbol{e}_n=\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{bmatrix}$ とすれば

$\begin{aligned} A\boldsymbol{e}_j=\begin{bmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots\\a_{mj}\end{bmatrix} \end{aligned}$

である。このため

$\begin{aligned} \sqrt{\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}a_{ij}^2}}=\left|A\boldsymbol{e}_j\right|_{\mathbb{R}^m}\leq\left|A\right|_{M(m,n)} \end{aligned}$

で、

$\begin{aligned} \left|A\right|_{\mathbb{R}^{m\times n}}^2=\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}a_{ij}^2}\leq n\left|A\right|_{M(m,n)} \end{aligned}$

が成り立つ。
　次に任意のベクトル $\boldsymbol{h}=\begin{bmatrix}h_1\\\vdots\\h_n\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^n$ に対して

$\begin{aligned} A\boldsymbol{h}=\begin{bmatrix}\vdots\\ \displaystyle{\sum_{j=1}^{n}a_{ij}h_j}\\ \vdots \end{bmatrix} \end{aligned}$

に対して $\mathrm{Schwartz}$ の不等式を適用することで

$\begin{aligned} \left|A\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^m}^2&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\left(\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}a_{ij}h_j}\right)^2}\\ &\leq\displaystyle{\left(\left(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}^2\right)\left(\sum_{j=1}^{n}h_j^2\right)\right)}\\ &=\left(\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}^2}\right)\left|\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^n}^2\\ &=\left|A\right|_{\mathbb{R}^{m\times n}}^2\left|\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^{n}}^2 \end{aligned}$

を得る。 $\boldsymbol{h}\in\mathbb{R}^n\ \mathrm{s.t.}\ \left|\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^n}\leq1$ について、両辺の上限を取ればよい。　 $\blacksquare$ )

次回

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今日のまとめ

11. 陰関数定理と逆写像定理

11.4. ベクトル値写像

11.4.2 行列のノルム

次回

11.　陰関数定理と逆写像定理

11.4.　ベクトル値写像

11.4.2　行列のノルム