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やりなおしの数学・微分積分篇(24/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

www.rokakuho.co.jp

今日のまとめ

  • 曲線C:x=\varphi(t),y=\psi(t),\ t\in[a,b]を表す\varphi(t),\psi(t)[a,b]においてC^{1}級の関数であれば
    \begin{aligned}l(C)=\displaystyle{\int_{a}^{b}\sqrt{{\varphi^{\prime}(t)}^2+{\psi^{\prime}(t)}^2}}dt\end{aligned}
    で与えられる。
  • xを独立変数とする関数y=y(x)に対してxおよびyおよびその導関数y^{\prime},y^{\prime\prime},\cdotsの間の関係を表す方程式
    \begin{aligned}F(x,y,y^{\prime},y^{\prime\prime},\cdots)=0\end{aligned}
    微分方程式という。

6. 1変数関数の積分

6.6 定積分の応用

 定積分を応用して曲線の長さを定義する。
 簡単のため2次元を考える。平面内の図形Cが連続曲線、すなわちCがパラメータt\in[a,b]tに関する連続関数\varphi(t),\psi(t)を用いて


\begin{aligned}
C=\{(x,y)|x=\varphi(x),y=\psi(t),t\in[a,b]\}
\end{aligned}

であるとする。
 このときI=[a,b]の分割\Delta:t_0\lt t_1\lt \cdots\lt t_{n-1}\lt t_n=bに対してt_iに対応する曲線上の点をP_i(\varphi(t_i),\psi(t_i))とおく。点P_0,P_1,\cdots,P_nを順次結んで得られる折れ線の長さは


\begin{aligned}
L_{\Delta}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\overline{P_iP_{i-1}}}
\end{aligned}

である。ここで点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)の距離は


\begin{aligned}
\bar{AB}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}}
\end{aligned}

とする。これに対して[a,b]のあらゆる分割\Deltaを取ったときのL_{\Delta}の上限


\begin{aligned}
l(C)=\displaystyle{\sup_{\Delta}L_{\Delta}}
\end{aligned}

を曲線Cの長さという。ただしL_{\Delta}有界でない場合、l(C)=\inftyとする。


曲線の長さ 曲線C:x=\varphi(t),y=\psi(t),\ t\in[a,b]を表す\varphi(t),\psi(t)[a,b]においてC^{1}級の関数であれば

\begin{aligned}
l(C)=\displaystyle{\int_{a}^{b}\sqrt{{\varphi^{\prime}(t)}^2+{\psi^{\prime}(t)}^2}}dt
\end{aligned}

で与えられる。

(\because I=[a,b]の分割\Delta:a=t_0\lt t_1\lt \cdots\lt t_{n-1}\lt t_n=bに対して平均値の定理から

\begin{aligned}
\varphi(t_i)-\varphi(t_{i-1})&=\varphi^{\prime}(\xi_i)(t_i-t_{i-1}),&\xi_i\in(t_{i-1},t_i)\\
\psi(t_i)-\psi(t_{i-1})&=\psi^{\prime}(\eta_i)(t_i-t_{i-1}),&\eta_i\in(t_{i-1},t_i)
\end{aligned}

と書ける。したがって


\begin{aligned}
L_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\{(\varphi(t_i)-\varphi(t_{i-1}))^2+(\psi(t_i)-\psi(t_{i-1}))^2\}^{\frac{1}{2}}}\\
               &=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}({\varphi^{\prime}(\xi_i)}^2+{\psi^{\prime}(\eta_i)}^2)^{\frac{1}{2}} (t_i-t_{i-1})}\\
               &=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\{(\varphi^{\prime}(t_i)^2+\psi^{\prime}(t_i)^2)+\varepsilon_i\}^{\frac{1}{2}} (t_i-t_{i-1})}
\end{aligned}

が成り立つ。ここで


\begin{aligned}
\varepsilon_i={\varphi^{\prime}(\xi_i)}^2+{\psi^{\prime}(\eta_i)}^2-(\varphi^{\prime}(t_i)^2+\psi^{\prime}(t_i)^2)
\end{aligned}

とおいた。
 a,b,c,d\in\mathbb{R}に対して


\begin{aligned}
\left|\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{c^2+d^2}\right|\leq \sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}
\end{aligned}

が成り立つことに注意すれば


\begin{aligned}
\left|\varepsilon_i\right|\leq \{(\varphi^{\prime}(\xi_i)-\varphi^{\prime}(t_i))^2+(\psi^{\prime}(\xi_i)-\psi^{\prime}(t_i))^2\}^{\frac{1}{2}}
\end{aligned}

が成立する。
 \varphi^{\prime}(t),\psi^{\prime}(t)[a,b]で連続であるから、[a,b]で一様連続である。したがって


\begin{aligned}
{}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}\delta_1\gt0\left({}^{\forall}t,{}^{\forall}s\in I\ s.t.\ |t-s|\lt \delta_1\left(|\varphi^{\prime}(t)-\varphi^{\prime}(s)|\lt\varepsilon\land|\psi^{\prime}(t)-\psi^{\prime}(s)|\lt\varepsilon\right)\right)\right)
\end{aligned}

が成り立つ。
 分割\Deltaに対してd(\Delta)=\max\{|t_i-t_{i-1}|i=1,2,\cdots,n\}と定義する。上記の不等式および\varphi^{\prime}(t),\psi^{\prime}(t)の一様連続性から


\begin{aligned}
d(\Delta)\lt\delta_1\Rightarrow |\varepsilon_1|\lt (\varepsilon^2+\varepsilon^2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\varepsilon
\end{aligned}

である。
 一方で\varphi^{\prime}(t),\psi^{\prime}(t)は連続だから{}^{\forall}\varepsilon\gt0に対して{}^{\exists}\delta_2\gt0が存在してd(\Delta)\lt \delta_2ならば


\begin{aligned}
\left|\sum_{i=1}^{n}({\varphi^{\prime}(t)}^2+{\psi^{\prime}(t)}^2)^{\frac{1}{2}}(t_i-t_{i-1})-\displaystyle{\int_{a}^{b}\sqrt{\varphi^{\prime}(t)^2+\psi^{\prime}(t)^2}}dt\right|\lt\varepsilon
\end{aligned}

が成り立つ。
 以上からd(\Delta)\lt\min\{\delta_1,\delta_2\}ならば


\begin{aligned}
&\left|L_{\Delta}-\displaystyle{\int_{a}^{b}\sqrt{\varphi^{\prime}(t)^2+\psi^{\prime}(t)^2}}dt\right|\\
\leq&\left|\sum_{i=1}^{n}({\varphi^{\prime}(t)}^2+{\psi^{\prime}(t)}^2)^{\frac{1}{2}}(t_i-t_{i-1})-\displaystyle{\int_{a}^{b}\sqrt{\varphi^{\prime}(t)^2+\psi^{\prime}(t)^2}}dt\right|+\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}|\varepsilon_i|(t_i-t_{i-1})}\\
\lt&\varepsilon+\sqrt{2}(b-a)\varepsilon\\
=&(1+\sqrt{2}(b-a))\varepsilon
\end{aligned}

が成り立つ。この評価はd(\Delta)\lt\min\{\delta_1,\delta_2\}を満たすようなすべての分割\Deltaについて成立し、しかも\varepsilon\gt0は任意に取れるから、題意が示された。 \blacksquare)


線分の長さの与え方(1) f(x)[a,b]上のC^{1}級の関数であるとき、曲線C:y=f(x),x\in[a,b]の長さは

\begin{aligned}
l(C)=\displaystyle{\int_{a}^{b}\sqrt{1+{f^{\prime}(x)}^2}}dt
\end{aligned}

で与えられる。
(2) g(\theta)\alpha,\beta上のC^{1}級の関数であるとき、極座標で表された曲線C:r=g(\theta),\ \theta\in[\alpha,\beta]の長さは


\begin{aligned}
l(C)=\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{g(\theta)^2+g^{\prime}(\theta)^2}}d\theta
\end{aligned}

である。

6.7 微分方程式の解法

 xを独立変数とする関数y=y(x)に対してxおよびyおよびその導関数y^{\prime},y^{\prime\prime},\cdotsの間の関係を表す方程式


\begin{aligned}
F(x,y,y^{\prime},y^{\prime\prime},\cdots)=0
\end{aligned}

微分方程式という。この式中に現れる導関数のうち最高次の階数をnであるときn微分方程式という。上記微分方程式を満たすようなy=\varphi(x)をその解という。微分方程式の解を求めることを微分方程式を解くという。

6.7.1 微分方程式の基本的設定

 例として1階微分方程式を考える。放射性物質の質量の時間的変化を考える。時刻tにおける放射性物質の質量をu(t)とする。このとき単位時間あたりに崩壊する放射性物質の質量は全体の質量に比例することが知られており、


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{du}{dt}}=-ku,\ k\in\mathbb{R}
\end{aligned}

と書ける。u=e^{-kt}とおくと、これは上記方程式の解である。しかし、C\in\mathbb{R}としてu=Ce^{-kt}も解である。このように一般に微分方程式の解を表すには任意定数が必要となる。任意定数を用いて表される解を一般解という。一般解に現れる任意定数を特定するためには、通常、初期条件を指定する。すなわちあるx_0,y_0を与え


\begin{aligned}
y^{\prime}&=f(x,y)\\
y(x_0)&=y_0
\end{aligned}

を満たすようにする。

6.7.2 微分方程式の解法:変数分離形

 1階微分方程式において


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{dy}{dx}}=X(x)Y(y)
\end{aligned}

と書ける微分方程式を変数分離形という。
 これを


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{1}{Y(y)}\frac{dy}{dx}}=X(x)
\end{aligned}

と変形し、xについて積分すれば


\begin{aligned}
\displaystyle{\int\frac{1}{Y(y)}\frac{dy}{dx}}dx=\displaystyle{\int X(x)dx}+C
\end{aligned}

を得、したがって


\begin{aligned}
\displaystyle{\int\frac{dy}{Y(y)}}=\displaystyle{\int X(x)dx}+C
\end{aligned}

となる。

6.7.3 微分方程式の解法:同次形

 1階微分方程式で、変数分離形ではないものの適当な変数変換により


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{dy}{dx}}=f\left(\displaystyle{\frac{y}{x}}\right)
\end{aligned}

と書けるものを同次形という。
 未知関数uu=\displaystyle{\frac{y}{x}}により導入すると、y=uxとおけば


\begin{aligned}
&\ \displaystyle{\frac{d(ux)}{dx}}=f(u)
\Leftrightarrow&\ x\displaystyle{\frac{du}{dx}}=f(u)-u
\end{aligned}

と変数分離形に帰着できる。

6.7.4 微分方程式の解法:線形微分方程式

 y,y^{\prime}について1次となる微分方程式


\begin{aligned}
y^{\prime}+p(x)y=q(x)
\end{aligned}

を1階線形微分方程式という。q(x)\equiv0のとき微分方程式は同次、q(x)が恒等的に0でないとき非同次であるという。
 同次方程式


\begin{aligned}
y^{\prime}+p(x)y=0
\end{aligned}

では変数分離形になるため、一般解は


\begin{aligned}
y(x)=C\exp\left(\displaystyle{-\int p(x)}dx\right),\ C\in\mathbb{R}
\end{aligned}

である。
 次に非同次方程式の場合、両辺に\exp\left(\displaystyle{\int p(x)}dx\right)を掛けると


\begin{aligned}
y^{\prime}\exp\left(\displaystyle{\int p(x)}dx\right)+p(x)y\exp\left(\displaystyle{\int p(x)}dx\right)=q(x)\exp\left(\displaystyle{\int p(x)}dx\right)
\end{aligned}

であり、この式を積分すれば左辺がy(x)\exp\left(\displaystyle{\int p(x) dx}\right)の部分積分であることを踏まえれば


\begin{aligned}
y(x)\exp\left(\displaystyle{\int p(x) dx}\right)=\displaystyle{\int q(x) \exp\left(p(x) dx\right)}+C,\ \mathbb{R}
\end{aligned}

が得られる。したがって


\begin{aligned}
y(x)=\exp\left(-\displaystyle{\int p(x) dx}\right)\displaystyle{\int q(x) \exp\left(p(x) dx\right)}+C,\ \mathbb{R}
\end{aligned}

が得られる。
 別の解法である定数変化法でも解を求めることができる。同次方程式の一般解y(x)=C\exp\left(\displaystyle{-\int p(x)}dx\right)においてC=C(x)だと考えてこれを非同次方程式に代入することで


\begin{aligned}
y^{\prime}+p(x)y=C^{\prime}(x)\exp\left(\displaystyle{-\int p(x)}dx\right)=q(x)
\end{aligned}

を得る。したがって、


\begin{aligned}
&C^{\prime}(x)=q(x)\exp\left(\displaystyle{\int p(x)}dx\right)\\
\Leftrightarrow\ &C(x)=\displaystyle{\int q(x)\exp\left(\displaystyle{\int p(z)}dz\right)dx}+C^{*},\ C^{*}\in\mathbb{R}
\end{aligned}

であり、ここから同様の結果を得る。

6.7.5 微分方程式の解法:2階線形微分方程式

 連続な関数p(x),q(x),r(x)に対して


\begin{aligned}
y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=r(x)
\end{aligned}

を扱う。r\equiv0の場合は同次、r\not\equiv0の場合は非同次という。
 まず同次方程式を考える。\varphi(x),\psi(x)を同次方程式


\begin{aligned}
y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=0
\end{aligned}

の2つの解とするとき、C_1\varphi(x)+C_2\psi(x),\ C_1,C_2\in\mathbb{R}もまた解になる、すなわち線形性を持つ。またすべてのx\in\mathbb{R}に対してC_1\varphi(x)+C_2\psi(x)=0\Rightarrow C_1=C_2=0であるとき、解\varphi(x),\psi(x)は一次独立であるという。
 解\varphi(x),\psi(x)に対してWronskian\ W(\varphi,\psi)(x)


\begin{aligned}
W(\varphi,\psi)(x)=\det{\begin{bmatrix}\varphi(x)&\psi(x)\\ \varphi^{\prime}(x)&\psi^{\prime}(x)\end{bmatrix}}=\varphi(x)\psi^{\prime}(x)-\varphi^{\prime}(x)\psi(x)
\end{aligned}

で定義する。このとき


\begin{aligned}
W(\varphi,\psi)(x)=W(\varphi,\psi)(x_0)\exp\left(\int_{x_0}^{x} p(s)ds\right)
\end{aligned}

が知られている。したがってW(\varphi,\psi)(x)\equiv0またはW(\varphi,\psi)(x)\not\equiv0のどちらかが成り立つことが分かる。


2階線形微分方程式の解 \varphi(x),\psi(x)を2階線形同次微分方程式

\begin{aligned}
y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=0
\end{aligned}
の解とする。このとき

(1) \varphi(x),\psi(x)が1次独立となるための必要十分条件W(\varphi,\psi)(x)\neq0である。
(2) \varphi(x),\psi(x)が1次独立ならば同時方程式の一般解はy(x)=C_1\varphi(x)+C_2\psi(x),C_1,C_2\in\mathbb{R}で与えられる。

6.7.6 微分方程式の解法:定数係数2階線形微分方程式

 1次独立な解を求める具体的な方法を述べるべく、定数係数を持つ2階線形微分方程式


\begin{aligned}
y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=0
\end{aligned}

を考える。y(x)=e^{\lambda x}の形の解を探すべく上記方程式に代入することで


\begin{aligned}
&(\lambda^2+a\lambda+b)e^{\lambda x}=0
\Leftrightarrow\ &\lambda^2+a\lambda+b=0
\end{aligned}

を得る。この\lambdaに関する方程式を特性方程式という。この解を\lambda_1,\lambda_2とするとき、


\begin{aligned}
\varphi(x)=e^{\lambda_1 x},\ \psi(x)=e^{\lambda_2 x}
\end{aligned}

はこの同次方程式の解になる。
 ここで\varphi(x),\psi(x)のWronskianW(\varphi,\psi)(x)


\begin{aligned}
W(\varphi,\psi)(x)=\det\begin{bmatrix}e^{\lambda_1 x}&e^{\lambda_2 x}\\ \lambda_1e^{\lambda_1 x}&\lambda_2e^{\lambda_2 x}\end{bmatrix}=(\lambda_2-\lambda_1)e^{(\lambda_1+\lambda_2)x}
\end{aligned}
である。
 \lambda_1\neq \lambda_2ならばこの同次方程式は2つの一次独立な解e^{\lambda_1 x},e^{\lambda_2 x}を持ち、一般解は

\begin{aligned}
y(x)=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}
\end{aligned}

で与えられる。
 特に\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{C}の場合、Eulerの公式


\begin{aligned}
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,\ \theta\in\mathbb{R}
\end{aligned}
を活用する。特性方程式の解を

\begin{aligned}
\lambda_1=\alpha+i\beta,\ \lambda_2=\alpha-i\beta,\ \alpha,\beta\in\mathbb{R}
\end{aligned}

と表せば、


\begin{aligned}
\varphi(x)&=e^{\alpha x}(\cos\beta x+i\sin\beta x),\\
\psi(x)&=e^{\alpha x}(\cos\beta x-i\sin\beta x)
\end{aligned}

となる。したがって一般解は


\begin{aligned}
y(x)&=C_1\varphi(x)+C_2\psi(x)\\
      &=(C_1+C_2)e^{\alpha x}\cos\beta x+i(C_1-C_2)\sin\beta x\\
      &=C_1^{*}e^{\alpha x}\cos\beta x+iC_2^{*}\sin\beta x
\end{aligned}

と表すことが出来る。これは\varphi^{*}(x)=e^{\alpha x}\cos\beta x,\psi^{*}(x)=e^{\alpha x}\sin\beta xとおくとき、\varphi^{*},\psi^{*}も1次独立な解となることを示している。
 最後に\lambda_1=\lambda_2の場合を考える。


\begin{aligned}
\varphi(x)=e^{\lambda_1 x},\psi(x)=xe^{\lambda_1 x}
\end{aligned}

とおくと、


\begin{aligned}
\psi^{\prime\prime}(x)+a\psi^{\prime}(x)+b\psi(x)=(\lambda_1^2+a\lambda_1+b)xe^{\lambda_1 x}+(2\lambda_1+a)e^{\lambda_1 x}=0
\end{aligned}

となり、\varphi,\psiともに同次方程式の解となることが確かめられる。更に


\begin{aligned}
W(\varphi,\psi)(x)=\det\begin{bmatrix}e^{\lambda_1 x}&xe^{\lambda_1 x}\\ \lambda_1e^{\lambda_1 x}&(1+\lambda_1 x)e^{\lambda_1 x}\end{bmatrix}=e^{2\lambda_1 x}\neq0
\end{aligned}

であり、これは\varphi,\psiが1次独立な解となることを示している。したがって


\begin{aligned}
y(x)&=C_1\varphi(x)+C_2\psi(x),\\
\varphi(x)&=e^{\lambda_1 x},\psi(x)=xe^{\lambda_1 x}
\end{aligned}

で与えられる。

6.7.7 微分方程式の解法:非同次2階線形微分方程式

 非同次方程式


\begin{aligned}
y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=r(x)
\end{aligned}

を考える。あるy=y_0(x)がこの非同次方程式の解だったとしよう(これを特殊解という。)。そのときz(x)=y(x)-y_0(x)とおけば、


\begin{aligned}
z^{\prime\prime}+p(x)z^{\prime}qz=0
\end{aligned}

と同次方程式に帰着できる。したがってこの同次方程式の1次独立な解\varphi(x),\psi(x)が分かれば、z(x)=C_1\varphi(x)+C_2\psi(x)と表せる。以上から元の非同次方程式の解y(x)=z(x)+y_0(x)


\begin{aligned}
y(x)=C_1\varphi(x)+C_2\psi(x)+y_0(x),\ C_1,C_2\in\mathbb{R}
\end{aligned}

で与えられる。
 問題は特殊解をどうやって見つけるかであるが、以下の定理を利用すればよい。


非同次方程式の特殊解 非同次方程式

\begin{aligned}
y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=r(x)
\end{aligned}

において1次独立な解\varphi,\psiは以下で与えられる:


\begin{aligned}
y(x)=&D_1\varphi(x)+D_2\psi(x)-\varphi(x)\displaystyle{\int\frac{\psi(x)r(x)}{W(\varphi,\psi)(x)}dx}\\
        &+\psi(x)\displaystyle{\int\frac{\varphi(x)r(x)}{W(\varphi,\psi)(x)}dx}
\end{aligned}
(\because 定数変化法を活用する。非同次方程式

\begin{aligned}
y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=r(x)
\end{aligned}

の解を


\begin{aligned}
y(x)=C_1(x)\varphi(x)+C_2(x)\psi(x)
\end{aligned}

の形で求めることとする。制約条件


\begin{aligned}
C_1^{\prime}\varphi+C_2^{\prime}\psi=0
\end{aligned}

を設けることで


\begin{aligned}
y^{\prime}&=C_1\varphi^{\prime}+C_2\psi^{\prime},\\
y^{\prime\prime}&=C_1^{\prime\prime}\varphi^{\prime}+C_2^{\prime}\psi^{\prime}+C_1\varphi^{\prime\prime}+C_2\psi^{\prime\prime},
\end{aligned}

を非同次方程式を代入すれば


\begin{aligned}
y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y&=C_1^{\prime\prime}\varphi^{\prime}+C_2^{\prime}\psi^{\prime}+C_1\varphi^{\prime\prime}+C_2\psi^{\prime\prime}+p(x)(C_1\varphi^{\prime}+C_2\psi^{\prime})\\
&=C_1^{\prime}\varphi^{\prime}+C_2^{\prime}\psi^{\prime}=r(x)
\end{aligned}

を得る。以上を連立させることで


\begin{aligned}
\begin{bmatrix}\varphi(x)&\psi(x)\\ \varphi^{\prime}(x)&\psi^{\prime}(x)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}C_1^{\prime(x)}\\C_2^{\prime(x)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ r(x)\end{bmatrix}
\end{aligned}

を得、これを解くことで


\begin{aligned}
C_1^{\prime}=-\displaystyle{\frac{\psi(x)r(x)}{W(\varphi,\psi)(x)}},C_2^{\prime}=\displaystyle{\frac{\varphi(x)r(x)}{W(\varphi,\psi)(x)}}
\end{aligned}

を得る。以上から


\begin{aligned}
C_1=-\displaystyle{\int\frac{\psi(x)r(x)}{W(\varphi,\psi)(x)}dx}+D_1,C_2=\displaystyle{\int\frac{\varphi(x)r(x)}{W(\varphi,\psi)(x)}dx}+D_2,\ D_1,D_2\in\mathbb{R}
\end{aligned}

となり、一般解が求められる。 \blacksquare)

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