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やりなおしの数学・微分積分篇(021/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

www.rokakuho.co.jp

今日のまとめ

  • 置換積分f(x)は閉区間Iにおいて連続で、\varphi(t)は閉区間JにおいてC^1級でt\in J\Rightarrow \varphi(t)\in Iとする。このとき{}^{\forall}\alpha,{}^{\forall}\beta\in Jに対して
    \begin{aligned}\displaystyle{\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(x)}dx&=\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t))\varphi^{\prime}(t)}dt,\\\displaystyle{\int f(x)}dx&=\displaystyle{\int f(\varphi(t))\varphi^{\prime}(t)}dt\end{aligned}
    が成り立つ。
  • 広義積分f(x)(a,b]または[a,b)で連続とする。このときf(x)の当該区間での積分
    \begin{aligned}\displaystyle{\int_a^b f(x)}dx&=\displaystyle{\lim_{\varepsilon\rightarrow+0}\int_a^{b-\varepsilon}f(x)dx}\\\displaystyle{\int_a^b f(x)}dx&=\displaystyle{\lim_{\varepsilon\rightarrow-0}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx}\end{aligned}
    で定義する。上記の右辺の極限が存在する場合、左辺の積分は収束するといい、存在しない場合は発散するという。

     またf(x)[a,\infty)または(-\infty,b]で連続なとき、f(x)[a,\infty)または(-\infty,b]での積分
    \begin{aligned}\displaystyle{\int_{a}^{\infty}f(x)}dx&=\displaystyle{\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{a}^{R} f(x)}dx\\\displaystyle{\int_{-\infty}^{b}f(x)}dx&=\displaystyle{\lim_{R\rightarrow-\infty}\int_{R}^{b} f(x)}dx\end{aligned}
    で定義する。

6. 1変数関数の積分

6.3 部分積分と置換積分

 積分を計算するに当たり、原始関数を見つけるために積分を変形する方法を取り扱う。


部分積分 f,gが閉区間IにおいてC^{1}級の関数であるとき、任意のa,b\in Iに対して

\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x)g^{\prime}(x)}dx&=[f(x)g(x)]_a^b-\displaystyle{\int_a^b f^{\prime}(x)g(x)}dx,\\
\displaystyle{\int f(x)g^{\prime}(x)}dx&=[f(x)g(x)]-\displaystyle{\int f^{\prime}(x)g(x)}dx
\end{aligned}
が成り立つ。
(\because (f(x)g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)の両辺をaからbまで積分すれば前者の式を得る。またこの関係式の原始関数を求めれば後者の式を得る。 \blacksquare)


置換積分 f(x)は閉区間Iにおいて連続で、\varphi(t)は閉区間JにおいてC^1級でt\in J\Rightarrow \varphi(t)\in Iとする。このとき{}^{\forall}\alpha,{}^{\forall}\beta\in Jに対して

\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(x)}dx&=\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t))\varphi^{\prime}(t)}dt,\\
\displaystyle{\int f(x)}dx&=\displaystyle{\int f(\varphi(t))\varphi^{\prime}(t)}dt
\end{aligned}

が成り立つ。

(\because a=\varphi(\alpha),b=\varphi(\beta)およびF(x)=\displaystyle{\int_a^{x}f(s)}dsとおく。F^{\prime}(x)=f(x)であるから合成関数F(\varphi(t))tについて微分すると

\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{d}{dt}}F(\varphi(t))=f(\varphi(t))\varphi^{\prime}(t)
\end{aligned}

を得る。この式をtについて\alphaから\betaまで積分することで


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t))\varphi^{\prime}(t)}dt=F(\varphi(\beta))-F(\varphi(\alpha))=\displaystyle{\int_a^b f(s)}ds
\end{aligned}

と前者の式が得られる。後者の式は合成関数の微分式の原始関数を求め、x=\varphi(t)とおけばよい。 \blacksquare)

6.4 有利関数の積分と応用

 多項式の商の形で表現できる関数を有利関数という。
 多項式は分子の多項式の次数が分母のそれよりも小さくない場合は、それらの商が\left(多項式+\displaystyle{\frac{分母よりも次数の低い多項式}{分母}}\right)という形に展開できることから、分子の次数は分母の次数よりも小さいものとする。また多項式の係数は実数だとする。
 実係数の多項式は実数の範囲では1次式および2次式の積に因数分解できる。したがって積分\displaystyle{\int\frac{Q(x)}{P(x)}}dxを求める場合の最初の手順はP(x)1次式および2次式の積に因数分解することから始まる。
 次に\displaystyle{\frac{Q(x)}{P(x)}}を部分分数展開する。
 その後は以下などを活用して計算する:


\begin{aligned}
\displaystyle{\int\frac{1}{(x+a)^k} dx}=\begin{cases}
\displaystyle{\frac{1}{(1-k)(x+a)^{k-1}}},&k\neq1,\\
\log|x+a|,&k=1
\end{cases}
\end{aligned}

である。また(x-\alpha)^2+\beta^2の形の因子を分母に含む積分において、t=x-\alphaとおいて


\begin{aligned}
\displaystyle{\int\frac{Bx+C}{\{(x-\alpha)^2+\beta^2\}^l}}dx=\displaystyle{\int\frac{Bt+(B\alpha+C)}{t^2+\beta^2}^l}
\end{aligned}

となるから、\alpha=0として


\begin{aligned}
\displaystyle{\int\frac{x}{(x^2+\beta^2)^l}}dx=\begin{cases}
\displaystyle{\frac{1}{2(1-l)(x^2+\beta^2)^{l-1}}},&l\neq1\\
\displaystyle{\frac{1}{2}\log{x^2+\beta^2}}&l=1
\end{cases}
\end{aligned}

であり、更にI_n=\displaystyle{\int\frac{dx}{(x^2+\beta^2)}},n=1,2,\cdotsは部分積分により


\begin{aligned}
I_n&=\displaystyle{\frac{x}{(x^2+\beta^2)^n}}+2n\displaystyle{\int\frac{x^2}{(x^2+\beta^2)^{n+1}}dx}\\
     &=\displaystyle{\frac{x}{(x^2+\beta^2)^n}}+2n\displaystyle{\int\frac{(x^2+\beta^2)-\beta^2}{(x^2+\beta^2)^{n+1}}dx}\\
     &=\displaystyle{\frac{x}{(x^2+\beta^2)^n}}+2n(I_n-\beta^2 I_{n+1})
\end{aligned}

が成り立つ。したがって2n\beta^2 I_{n+1}=(2n-1)I_n+\displaystyle{\frac{x}{(x^2+\beta^2)^n}}が得られ、漸化式


\begin{aligned}
I_{n+1}=\displaystyle{\frac{1}{2n\beta^2}}\left\{(2n-1)I_n+\displaystyle{\frac{x}{(x^2+\beta^2)^n}}\right\}
\end{aligned}

を得る。なお、


\begin{aligned}
I_1&=\displaystyle{\int\frac{dx}{x^2+\beta^2}}=\displaystyle{\frac{1}{\beta}\int\frac{1}{1+\tan^2\theta}\displaystyle{\frac{d\theta}{\cos^2\theta}}},\ (x=\beta\tan\theta)\\
    &=\displaystyle{\frac{1}{\beta}\theta}\\
    &=\displaystyle{\frac{1}{\beta}\arctan{\frac{x}{\beta}}}
\end{aligned}

である(積分定数は省略した。)。

6.5 広義積分

 有界区間内の不連続点で関数が非有界になる場合や積分区間が非有界となる場合の積分を扱う。

6.5.1 広義積分の定義

 f(x)(a,b]または[a,b)で連続とする。このときf(x)の当該区間での積分


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_a^b f(x)}dx&=\displaystyle{\lim_{\varepsilon\rightarrow+0}\int_a^{b-\varepsilon}f(x)dx}\\
\displaystyle{\int_a^b f(x)}dx&=\displaystyle{\lim_{\varepsilon\rightarrow-0}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx}
\end{aligned}

で定義する。上記の右辺の極限が存在する場合、左辺の積分は収束するといい、存在しない場合は発散するという。
 またf(x)[a,\infty)または(-\infty,b]で連続なとき、f(x)[a,\infty)または(-\infty,b]での積分


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{a}^{\infty}f(x)}dx&=\displaystyle{\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{a}^{R} f(x)}dx\\
\displaystyle{\int_{-\infty}^{b}f(x)}dx&=\displaystyle{\lim_{R\rightarrow-\infty}\int_{R}^{b} f(x)}dx
\end{aligned}

で定義する。上記の右辺の極限が存在する場合、左辺の積分は収束するといい、存在しない場合は発散するという。
 上記のすべての積分を総称して広義積分という。

例:I=\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^a}},a\gt0
 \displaystyle{\frac{1}{x^a}}\rightarrow\infty(x\rightarrow+0)であるから、a\neq1ならば


\begin{aligned}
I&=\displaystyle{\lim_{\varepsilon\rightarrow+0}\int_{\varepsilon}^{1}\frac{dx}{x^a}}\\
 &=\displaystyle{\lim_{\varepsilon\rightarrow+0}\displaystyle{\frac{1}{1-a}\left[x^{1-a}\right]_{\varepsilon}^{1}}}\\
 &=\begin{cases}\displaystyle{\frac{1}{1-a}},&0\lt a\lt1\\\infty,&a\gt1\end{cases}
\end{aligned}

a=1ならば


\begin{aligned}
I=\displaystyle{\lim_{\varepsilon\rightarrow+0}\int_{\varepsilon}^{1}\frac{dx}{x}}=\displaystyle{\lim_{\varepsilon\rightarrow+0}[\log x]_{\varepsilon}^{1}}=\infty
\end{aligned}

である。以上から、この広義積分0\lt a\lt1のときのみ収束し、I=\displaystyle{\frac{1}{1-a}}である。

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