やりなおしの数学・微分積分篇（33/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ
8.　多変数関数の積分
- 8.3　一般の有界集合上での二重積分
- 8.4　広義分割での積分の定義
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今日のまとめ

$\mathbb{R}^2$ の有界集合 $\Omega$ が面積をもつとは $\Omega$ の定義関数
$\begin{aligned}\chi_{\Omega}(x,y)=\begin{cases}1,&(x,y)\in\Omega,\\0,&(x,y)\notin\Omega\end{cases}\end{aligned}$
が $(\Omega\subset)\tilde{\Omega}=[a,b]\times[c,d]$ 上で二重積分可能であることをいう。このとき $\Omega$ の面積 $|\Omega|$ を
$\begin{aligned}\left|\Omega\right|=\displaystyle{\iint_{\tilde{\Omega}}\chi_{\Omega}(x,y)dxdy}\end{aligned}$
で定義する。

8.　多変数関数の積分

8.3　一般の有界集合上での二重積分

二重積分可能性の十分条件(系)　 $\varphi_1(x),\varphi_2(x)$ を $[a,b]$ 上の連続関数で $\varphi_1(x)\lt \varphi_2(x),a\lt x\lt b$ とする。 $\Omega=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|a\leq x\leq b,\varphi_1(x)\leq y\leq \varphi_2(x)\}$ とおくとき、 $\Omega$ 上の連続関数 $f(x,y)$ は $\Omega$ 上で二重積分可能である。

( $\because$ 　 $c=\displaystyle{\min_{a\leq x\leq b}\varphi_1(x)},d=\displaystyle{\max_{a\leq x\leq b}\varphi_2(x)},\tilde{\Omega}=[a,b]\times[c,d]$ とおくと、 $\Omega\subset\tilde{\Omega}$ である。 $\tilde{f}$ を

$\begin{aligned} \tilde{f}(x,y)=\begin{cases} f(x,y),&(x,y)\in\Omega,\\ 0,&(x,y)\notin\Omega \end{cases} \end{aligned}$

で定義する。 $\tilde{f}$ の不連続点の集合を $A$ とすると

$\begin{aligned} A\subset\{(x,\varphi_1(x))|a\leq x\leq b\}\cup\{(x,\varphi_2(x))|a\leq x\leq b\}=G_{\varphi_1}\cup G_{\varphi_2} \end{aligned}$

である。
　連続関数のグラフの面積が $0$ であることから、 $G_{\varphi_1}\cup G_{\varphi_2}$ の面積も $0$ である。したがってこれらに含まれる集合 $A$ の面積も $0$ である。したがって $\tilde{f}$ は $\tilde{\Omega}$ 上で二重積分可能であり。ここから $f$ は $\Omega$ で二重積分可能である　 $\blacksquare$ )

面積をもつこと　 $\mathbb{R}^2$ の有界集合 $\Omega$ が面積をもつとは $\Omega$ の定義関数

$\begin{aligned} \chi_{\Omega}(x,y)=\begin{cases}1,&(x,y)\in\Omega,\\0,&(x,y)\notin\Omega\end{cases} \end{aligned}$

が $(\Omega\subset)\tilde{\Omega}=[a,b]\times[c,d]$ 上で二重積分可能であることをいう。このとき $\Omega$ の面積 $|\Omega|$ を

$\begin{aligned} \left|\Omega\right|=\displaystyle{\iint_{\tilde{\Omega}}\chi_{\Omega}(x,y)dxdy} \end{aligned}$

で定義する。

以上が $\mathbb{R}^2$ の有界集合 $\Omega$ の面積の定義である。

面積をもつ必要十分条件　 $\mathbb{R}^2$ の有界集合 $\Omega$ が面積をもつための必要十分条件は $\Omega$ の境界 $\partial\Omega$ の面積が $0$ であることである。

( $\because$ 　 $\tilde{\Omega}=[a,b]\times[c,d]$ とおく。 $\chi_{\Omega}$ の不連続点の集合は $\partial\Omega$ であるから $\partial\Omega$ の面積が $0$ ならば $\tilde{\Omega}$ で二重積分可能となるから、 $\Omega$ は面積をもつ。
　逆に $\chi_{\Omega}(x,y)$ が二重積分可能であるならば、 ${}^{\forall}\varepsilon\gt0$ に対して $\tilde{\Omega}$ のある分割 $\Delta=\{\Delta_{ij}\}$ があり、

$\begin{aligned} S_{\Delta}-s_{\Delta}=\displaystyle{\sum_{i,j}(M_{ij}-m_{ij})|\Delta_{ij}|}\lt\varepsilon \end{aligned}$

とできる。いま $B=\displaystyle{\bigcup_{i,j}\partial\Delta_{ij}}$ とおく。このとき $|B|=0$ であるから、 $|\partial\Omega\cap B|=0$ である。したがって $\partial\Omega$ の面積は $\partial\Omega\cap B^{C}$ の面積に等しい。 $(x,y)\in\partial\Omega\cap B^{C}$ とすると、

$\begin{aligned} {}^{\exists}i,{}^{\exists}j\ s.t.\ (x,y)\in\Delta_{ij} \end{aligned}$

が成り立ち、そのような $i,j$ に対して $\Delta_{ij}\cap\Omega\neq\emptyset\land\Delta_{ij}\cap\Omega^{C}\neq\emptyset$ である。したがって

$\begin{aligned} M_{ij}=1\land m_{ij}=0 \end{aligned}$

が成り立つ。このためこのような $\Delta_{ij}$ 全体を $\omega_1,\cdots,\omega_m$ と書けば $\partial\Omega\cap B^{C}\subset\omega_1\cup\cdots\cup\omega_m$ である。一方で

$\begin{aligned} S_{\Delta}-s_{\Delta}=\displaystyle{\sum_{i,j}(M_{ij}-m_{ij})|\Delta_{ij}|}\lt\varepsilon \end{aligned}$

であったから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{i=1}^{m}|\omega_i|}\lt\varepsilon \end{aligned}$

である。以上から $\partial\Omega\cap B^{C}$ の面積は $0$ である。　 $\blacksquare$ )

8.4　広義分割での積分の定義

　分割を面積の確定した一般的な図形で分割することを考える。
　 $\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_m$ を長方形 $\Omega=[a,b]\times[c,d]$ の部分集合で面積が確定しているものとし、

$\begin{aligned} \Omega=\displaystyle{\bigcup_{i=1}^{m}\delta_i},(\delta_i/\partial\delta_i)\cap(\delta_j/\partial\delta_j)=\emptyset,i\neq j \end{aligned}$

を満たすものとする。ここで $\delta_i/\partial\delta_i$ を $\delta_i$ の内部と呼ぶ。
　 $\Delta=\displaystyle{\{\delta_i\}_{i=1}^{m}}$ とおき、

$\begin{aligned} d(\Delta)&=\displaystyle{\max_{i=1,2,\cdots,m}\mathrm{diam}\ \delta_i},\\ \mathrm{diam}\ \delta_i&=\displaystyle{\sup_{(x,y),(x^{\prime},y^{\prime})\in\delta_i}|(x,y)-(x^{\prime},y^{\prime})|} \end{aligned}$

とおく（この $\mathrm{diam}\ \delta_i$ を $\delta_i$ の直径と呼ぶ。）。このような $\Delta$ を $\Omega$ の広義分割と呼び、このような広義分割全体を $\mathcal{G}_{\Omega}$ とする。
　これに対して座標軸に平行な長方形による分割 $\Delta=\{\Delta_{ij}\}(\Delta_{ij}=[x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j])$ の全体を $\mathcal{R}_{\Omega}$ とおく。 $\Delta=\{\delta_{i}\}_{i=1}^{m}\in\mathcal{G}_{\Omega}$ に対して

$\begin{aligned} M_i&=\displaystyle{\sup_{(x,y)\in\delta_i}f(x,y)},\\ m_i&=\displaystyle{\inf_{(x,y)\in\delta_i}f(x,y)},\\ \tilde{S}_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}M_i|\delta_i|},\\ \tilde{s}_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}m_i|\delta_i|} \end{aligned}$

とおくと、過去の議論と同様に考えることで以下が分かる：

$\tilde{s}_{\Delta}\leq\tilde{S}_{\Delta}$
$\Delta_1\subset\Delta_2\Longrightarrow\tilde{s}_{\Delta_1}\leq\tilde{s}_{\Delta_2}\leq\tilde{S}_{\Delta_2}\leq\tilde{S}_{\Delta_1}$
${}^{\forall}\Delta_1,{}^{\forall}\Delta_2\in\mathcal{G}_{\Omega}(\tilde{s}_{\Delta_1}\leq\tilde{S}_{\Delta_2})$

ここで $\Delta_1\subset\Delta_2$ は $\Delta_1$ の中の領域 $\delta_i$ を更に広義分割したものが $\Delta_2$ であることを意味する。
　いま $\mathcal{R}_{\Omega}\subset\mathcal{G}_{\Omega}$ であるから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy&=\displaystyle{\sup\{s_{\Delta}|\Delta\in\mathcal{R}_{\Omega}\}}\leq\displaystyle{\sup\{\tilde{s}_{\Delta}|\Delta\in\mathcal{G}_{\Omega}\}}\\ &\leq\displaystyle{\inf\{\tilde{S}_{\Delta}|\Delta\in\mathcal{G}_{\Delta}\}}\leq\displaystyle{\inf\{S_{\Delta}|\Delta\in\mathcal{R}_{\Delta}\}}\\ &=\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy \end{aligned}$

が成り立つ。
　二重積分可能ならば

$\begin{aligned} \displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy=\displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)}dxdy \end{aligned}$

であることから、したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\sup\{\tilde{s}_{\Delta}|\Delta\in\mathcal{G}_{\Omega}\}}=\displaystyle{\inf\{\tilde{S}_{\Delta}|\Delta\in\mathcal{G}_{\Delta}\}} \end{aligned}$

を得る。逆にこれが成り立つならば、過去に行った議論と同様に考えることで

$\begin{aligned} {}^{\forall}\varepsilon\gt0({}^{\exists}\delta\gt0\ s.t.\ ({}^{\forall}\Delta\in\mathcal{G}_{\Omega}\ s.t.\ d(\Delta)\lt\delta(\tilde{S}_{\Delta}-\tilde{s}_{\Delta}\lt\varepsilon) ) ) \end{aligned}$

を得る。特に $\Delta\in\mathcal{R}_{\Omega}\land d(\Delta)\lt\delta\Longrightarrow S_{\Delta}-s_{\delta}\lt\varepsilon$ であるから、 $f$ は二重積分可能である。
　またこのとき

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{d(\Omega)\rightarrow0\\\Delta\in\mathcal{G}_{\Omega}}\sum_{i=1}^{m}f(\xi_i,\eta_i)|\delta_i|}=\sup\{\tilde{s}_{\Delta}|\Delta\in\mathcal{G}_{\Omega}\}=\inf\{\tilde{S}_{\Delta}|\Delta\in\mathcal{G}_{\Omega}\} \end{aligned}$

が $(\xi_i,\eta_i)\in\delta_i$ の取り方に依存せずに成立する。特に $f$ が二重積分可能であるならば、

$\begin{aligned} \displaystyle{\overline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}=\displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy} \end{aligned}$

であるから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\underline{\iint}_{\Omega}f(x,y)dxdy}=\displaystyle{\sup\{\tilde{s}_{\Delta}|\Delta\in\mathcal{G}_{\Omega}\}} \end{aligned}$

である。こうして

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{d(\Omega)\rightarrow0\\\Delta\in\mathcal{G}_{\Omega}}\sum_{i=1}^{m}f(\xi_i,\eta_i)|\delta_i|}=\displaystyle{\iint_{\Omega}f(x,y)dxdy} \end{aligned}$

である。以上から、広義の分割で積分を定義しても長方形分割で積分を定義しても同値であることが分かった。

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今日のまとめ

8. 多変数関数の積分

8.3 一般の有界集合上での二重積分

8.4 広義分割での積分の定義

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