証券投資論（03/21） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　証券投資（現代ポートフォリオ理論）をコンパクトに学ぶべく、比較的最近に発刊され薄めの本である

証券投資理論 (Minervaファイナンス講座)

作者:八木恭子,澤木勝茂
ミネルヴァ書房

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を参考に学んでいく。

3.　ポートフォリオ理論
- 3.3.　平均=分散モデル
  - 3.3.1.　無リスク証券が無い場合

前回：

power-of-awareness.com

3.　ポートフォリオ理論

3.3.　平均=分散モデル

　Markovitzは、ある一定のポートフォリオ収益を達成することを所与としてポートフォリオ収益の分散を最小にするポートフォリオの構成法を提案した。

	(仮定1)	投資家はポートフォリオの期待リターンと分散に基づきポートフォリオを選択する。
	(仮定2)	同一のリターンの下で分散を最小にするような投資家はリスク回避的である。
	(仮定3)	投資家はすべての証券の期待リターンと証券間のリターンの分散共分散について同一の情報を有し、期末のポートフォリオ収益の分散を最小にするように期首でポートフォリオを選択する。

もし $n$ 種類の証券がすべてリスク証券であるならば、 $\mu_i=E[r_i],\ i=1,2,\cdots,n$ として $\boldsymbol{\mu}={}^{t}(\mu_1,\cdots,\mu_n)$ と表示する。また投資ウェイト $\omega_i,i=1,2,\cdots,n$ は $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i}=1$ を満たす。もし無リスク証券を追加する場合、その投資ウェイトを $\omega_0$ とし、そのリターンを $r_0$ とおけば、ポートフォリオは $\boldsymbol{\omega}={}^{t}(\omega_1,\cdots,\omega_n),\ \displaystyle{\sum_{i=0}^{n}\omega_i}=1$ で表す。

3.3.1.　無リスク証券が無い場合

　ポートフォリオ $P$ のリターンを $r_P$ 、その投資ウェイトを $\boldsymbol{\omega}_P={}^{t}(\omega_{P,1},\cdots,\omega_{P,n})$ として、その期待リターンは

$\begin{aligned} E[r_P]={}^{t}\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\omega}_P=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\mu_{i}\omega_{P,i}} \end{aligned}$

で表される。 $\boldsymbol{1}={}^{t}(1,1,\cdots,1)$ とおけば、このポートフォリオの制約条件は

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_{P,i}}={}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\omega}_P=1 \end{aligned}$

である。
　また $r_P$ の分散 $V[r_P]$ は、分散共分散行列を $V=[\sigma{ij}]$ として

$\begin{aligned} V[r_P]=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{\omega_{P,i}}^2 V[r_i]}+\displaystyle{\sum_{i\neq j}\omega_{P,i}\omega_{P,j} Cov[r_i,r_j]}={}^{t}\boldsymbol{\omega}_P V\boldsymbol{\omega}_P \end{aligned}$

が成り立つ。
　以上の下で期待リターンを所与として、平均=分散モデルは以下の二次計画問題として定式化できる*1：

$\begin{aligned} &\displaystyle{\min_{\boldsymbol{\omega}_P}{\frac{1}{2}}{}^{t}\boldsymbol{\omega}_P V\boldsymbol{\omega}_P}\\ \ s.t.\ &\ E[r_P]={}^{t}\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\omega}_P,\ {}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\omega}_P=1 \end{aligned}$

この解を得るために $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}$ に対してラグランジュ関数 $L$ を導入する：

$\begin{aligned} L(\boldsymbol{\omega}_P,\lambda_1,\lambda_2)=\displaystyle{\frac{1}{2}}{}^{t}\boldsymbol{\omega}_P V\boldsymbol{\omega}_P+\lambda_1\left(E[r_P]-{}^{t}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\omega}_P\right)+\lambda_2\left(1-{}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\omega}_P\right) \end{aligned}$

分散共分散行列 $V$ を正定値行列とすれば、最適解 $\boldsymbol{\omega}_P$ について以下が得られる：

$\begin{aligned} \begin{cases} \displaystyle{\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}}}=&V\boldsymbol{\omega}_P-\lambda_1\boldsymbol{\mu}-\lambda_2\boldsymbol{1}=\boldsymbol{0},\\ \displaystyle{\frac{\partial L}{\partial \lambda_1}}=&E[r_P]-{}^{t}\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\omega}_P=0,\\ \displaystyle{\frac{\partial L}{\partial \lambda_2}}=&1-{}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\omega}_P=0 \end{cases} \end{aligned}$

正定値性から逆行列 $V^{-1}$ が存在するから、1番目の等式に左から $V^{-1}$ を掛けることで

$\begin{aligned} \boldsymbol{\omega}_P=\lambda_1 V^{-1}\boldsymbol{\mu}+\lambda_2V^{-1}\boldsymbol{1} \end{aligned}$

が得られる。これに更に ${}^{t}\boldsymbol{\mu}$ を左から乗じて2番目の等式を代入すれば

$\begin{aligned} \ &\ {}^{t}\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\omega}_P=\lambda_1 {}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}+\lambda_2{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1},\\ \Leftrightarrow\ &\ E[r_P]={}^{t}\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\omega}_P=\lambda_1 {}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}+\lambda_2{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1} \end{aligned}$

である。更に ${}^{t}\boldsymbol{1}$ を投資ウェイト式の両辺に左側から乗じ3番目の等式を代入することで

$\begin{aligned} 1={}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\omega}_P=\lambda_1{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}+\lambda_2{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1} \end{aligned}$

が成り立つ。これらを整理すれば

$\begin{aligned} \begin{cases} E[r_P]&=\lambda_1 {}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}+\lambda_2{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1},&\ \ \ \ (1)\\ 1&=\lambda_1{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}+\lambda_2{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}&\ \ \ \ (2) \end{cases} \end{aligned}$

という連立方程式を得る。
　(1) $\times({}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1})-$ (2) $\times ({}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1})$ より

$\begin{aligned} \lambda_1=\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}E[r_P]-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}} \end{aligned}$

また(1) $\times({}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1})-$ $({}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1})\times$ (2)より

$\begin{aligned} \lambda_2=\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu} E[r_P]}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}} \end{aligned}$

が得られる。したがって投資ウェイトは

$\begin{aligned} \boldsymbol{\omega}_P=&\left(\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}E[r_P]-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\right) V^{-1}\boldsymbol{\mu}\\ &+\left(\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu} E[r_P]}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\right)V^{-1}\boldsymbol{1}\\ =&\displaystyle{\frac{\left({}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}E[r_P]-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}\right) V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\ &+\displaystyle{\frac{\left({}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu} E[r_P]\right)V^{-1}\boldsymbol{1}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\ =&\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\ &+\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}E[r_P] \end{aligned}$

である。
　この効率ポートフォリオについて

$\begin{aligned} V\boldsymbol{\omega}_P=&\displaystyle{\frac{V{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}-V{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\ &+\displaystyle{\frac{V{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-V{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}E[r_P]\\ =&\displaystyle{\frac{\left({}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}E[r_P]-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu} \right)\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\ &+\displaystyle{\frac{\left({}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}E[r_P]\right)\boldsymbol{1}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}} \end{aligned}$

が成り立つことに注意すれば、この効率的ポートフォリオの分散 $V[r_P]={}^{t}\boldsymbol{\omega}_PV\boldsymbol{\omega}_P$ は

$\begin{aligned} V[r_P]=&{}^{t}\boldsymbol{\omega}_PV\boldsymbol{\omega}_P\\ =&\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\omega}_P\left({}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}E[r_P]-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu} \right)\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\ &+\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\omega}_P\left({}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}E[r_P]\right)\boldsymbol{1}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\ =&\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}{}^{t}\boldsymbol{\omega}_P\boldsymbol{\mu}E[r_P]-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu} {}^{t}\boldsymbol{\omega}_P \boldsymbol{\mu} }{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\ &+\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu} {}^{t}\boldsymbol{\omega}_P \boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\omega}_P \boldsymbol{1} E[r_P]}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\ =&\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}\left(E[r_P]\right)^2-2{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu} E[r_P] +{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}} \end{aligned}$

である。これにより、期待リターン $E[r_P]$ の水準ごとの効率的ポートフォリオの分散が得られた。
　 $E[r_P]$ -\ $V[r_P]$ 空間に描いたこの効率的ポートフォリオの軌跡は、分散を期待リターンの多項式と見たときに2次係数および定数項について

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}&\gt0,\\ \displaystyle{\frac{ {}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu} }{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}&\gt0 \end{aligned}$

が成り立つことから、下に凸で頂点が第1象限または第3象限に存在する放物線を描く。
　また $V[r_P]$ -\ $E[r_P]$ 空間の軌跡を考える。分散の式を変形することで

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{V[r_P]}{\frac{1}{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}}}}-\displaystyle{\frac{\left(E[r_P]-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}\right)^2}{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}{\left({}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}\right)^2}}}=1 \end{aligned}$

が成り立つから、この軌跡は双曲線であることが分かる。

図表1　 $\sigma$ - $\mu$ 空間における効率的ポートフォリオの軌跡
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　この効率的ポートフォリオにおいて最も分散が小さくなるのは $\sigma[r_P]={}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}$ のときで、この点を最小分散ポートフォリオという。またこの最小分散ポートフォリオおよびその上部の双曲線(上図の赤線部分)を効率的フロンティアという。
　平均=分散モデルにおいてある証券(またはポートフォリオ) $i,\ j$ に対し、それらの期待リターン $\mu_i,\mu_j$ および標準偏差 $\sigma_i,\sigma_j$ が $\mu_i\geq\mu_j,\ \sigma_i\leq\sigma_j$ の双方を満たすとき、証券(またはポートフォリオ) $i$ は証券(またはポートフォリオ) $j$ を優越するという。ある証券(またはポートフォリオ)を優越するような証券(またはポートフォリオ)が存在しないとき、その証券(またはポートフォリオ)はパレート最適であるという。最小分散ポートフォリオはパレート最適を満たす。