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証券投資論(03/21)

 証券投資(現代ポートフォリオ理論)をコンパクトに学ぶべく、比較的最近に発刊され薄めの本である

を参考に学んでいく。

  • 前回:

power-of-awareness.com

3. ポートフォリオ理論

3.3. 平均=分散モデル

 Markovitzは、ある一定のポートフォリオ収益を達成することを所与としてポートフォリオ収益の分散を最小にするポートフォリオの構成法を提案した。

   (仮定1) 投資家はポートフォリオの期待リターンと分散に基づきポートフォリオを選択する。
   (仮定2) 同一のリターンの下で分散を最小にするような投資家はリスク回避的である。
   (仮定3) 投資家はすべての証券の期待リターンと証券間のリターンの分散共分散について同一の情報を有し、期末のポートフォリオ収益の分散を最小にするように期首でポートフォリオを選択する。

もしn種類の証券がすべてリスク証券であるならば、\mu_i=E[r_i],\ i=1,2,\cdots,nとして\boldsymbol{\mu}={}^{t}(\mu_1,\cdots,\mu_n)と表示する。また投資ウェイト\omega_i,i=1,2,\cdots,n\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_i}=1を満たす。もし無リスク証券を追加する場合、その投資ウェイトを\omega_0とし、そのリターンをr_0とおけば、ポートフォリオ\boldsymbol{\omega}={}^{t}(\omega_1,\cdots,\omega_n),\ \displaystyle{\sum_{i=0}^{n}\omega_i}=1で表す。

3.3.1. 無リスク証券が無い場合

 ポートフォリオPのリターンをr_P、その投資ウェイトを\boldsymbol{\omega}_P={}^{t}(\omega_{P,1},\cdots,\omega_{P,n})として、その期待リターンは


\begin{aligned}
E[r_P]={}^{t}\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\omega}_P=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\mu_{i}\omega_{P,i}}
\end{aligned}

で表される。\boldsymbol{1}={}^{t}(1,1,\cdots,1)とおけば、このポートフォリオの制約条件は


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_{P,i}}={}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\omega}_P=1
\end{aligned}

である。
 またr_Pの分散V[r_P]は、分散共分散行列をV=[\sigma{ij}]として


\begin{aligned}
V[r_P]=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{\omega_{P,i}}^2 V[r_i]}+\displaystyle{\sum_{i\neq j}\omega_{P,i}\omega_{P,j} Cov[r_i,r_j]}={}^{t}\boldsymbol{\omega}_P V\boldsymbol{\omega}_P
\end{aligned}

が成り立つ。
 以上の下で期待リターンを所与として、平均=分散モデルは以下の二次計画問題として定式化できる*1


\begin{aligned}
&\displaystyle{\min_{\boldsymbol{\omega}_P}{\frac{1}{2}}{}^{t}\boldsymbol{\omega}_P V\boldsymbol{\omega}_P}\\ \ 
s.t.\ &\ E[r_P]={}^{t}\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\omega}_P,\ {}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\omega}_P=1
\end{aligned}

この解を得るために\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}に対してラグランジュ関数Lを導入する:


\begin{aligned}
L(\boldsymbol{\omega}_P,\lambda_1,\lambda_2)=\displaystyle{\frac{1}{2}}{}^{t}\boldsymbol{\omega}_P V\boldsymbol{\omega}_P+\lambda_1\left(E[r_P]-{}^{t}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\omega}_P\right)+\lambda_2\left(1-{}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\omega}_P\right)
\end{aligned}

分散共分散行列Vを正定値行列とすれば、最適解\boldsymbol{\omega}_Pについて以下が得られる:


\begin{aligned}
\begin{cases}
\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}}}=&V\boldsymbol{\omega}_P-\lambda_1\boldsymbol{\mu}-\lambda_2\boldsymbol{1}=\boldsymbol{0},\\
\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial \lambda_1}}=&E[r_P]-{}^{t}\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\omega}_P=0,\\
\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial \lambda_2}}=&1-{}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\omega}_P=0
\end{cases}
\end{aligned}

正定値性から逆行列V^{-1}が存在するから、1番目の等式に左からV^{-1}を掛けることで


\begin{aligned}
\boldsymbol{\omega}_P=\lambda_1 V^{-1}\boldsymbol{\mu}+\lambda_2V^{-1}\boldsymbol{1}
\end{aligned}

が得られる。これに更に{}^{t}\boldsymbol{\mu}を左から乗じて2番目の等式を代入すれば


\begin{aligned}
\ &\ {}^{t}\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\omega}_P=\lambda_1 {}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}+\lambda_2{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1},\\
\Leftrightarrow\ &\ E[r_P]={}^{t}\boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\omega}_P=\lambda_1 {}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}+\lambda_2{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}
\end{aligned}
である。更に{}^{t}\boldsymbol{1}を投資ウェイト式の両辺に左側から乗じ3番目の等式を代入することで

\begin{aligned}
1={}^{t}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\omega}_P=\lambda_1{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}+\lambda_2{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}
\end{aligned}
が成り立つ。これらを整理すれば

\begin{aligned}
\begin{cases}
E[r_P]&=\lambda_1 {}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}+\lambda_2{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1},&\ \ \ \ (1)\\
1&=\lambda_1{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}+\lambda_2{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}&\ \ \ \ (2)
\end{cases}
\end{aligned}

という連立方程式を得る。
 (1)\times({}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1})-(2)\times ({}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1})より


\begin{aligned}
\lambda_1=\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}E[r_P]-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}
\end{aligned}

また(1)\times({}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1})-({}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1})\times(2)より


\begin{aligned}
\lambda_2=\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu} E[r_P]}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}
\end{aligned}

が得られる。したがって投資ウェイトは


\begin{aligned}
\boldsymbol{\omega}_P=&\left(\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}E[r_P]-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\right) V^{-1}\boldsymbol{\mu}\\
&+\left(\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu} E[r_P]}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\right)V^{-1}\boldsymbol{1}\\
=&\displaystyle{\frac{\left({}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}E[r_P]-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}\right) V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\
&+\displaystyle{\frac{\left({}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu} E[r_P]\right)V^{-1}\boldsymbol{1}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\
=&\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\
&+\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}E[r_P]
\end{aligned}

である。
 この効率ポートフォリオについて


\begin{aligned}
V\boldsymbol{\omega}_P=&\displaystyle{\frac{V{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}-V{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\
&+\displaystyle{\frac{V{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-V{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}E[r_P]\\
=&\displaystyle{\frac{\left({}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}E[r_P]-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu} \right)\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\
&+\displaystyle{\frac{\left({}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}E[r_P]\right)\boldsymbol{1}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}
\end{aligned}

が成り立つことに注意すれば、この効率的ポートフォリオの分散V[r_P]={}^{t}\boldsymbol{\omega}_PV\boldsymbol{\omega}_P


\begin{aligned}
V[r_P]=&{}^{t}\boldsymbol{\omega}_PV\boldsymbol{\omega}_P\\
=&\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\omega}_P\left({}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}E[r_P]-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu} \right)\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\
&+\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\omega}_P\left({}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}E[r_P]\right)\boldsymbol{1}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\
=&\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}{}^{t}\boldsymbol{\omega}_P\boldsymbol{\mu}E[r_P]-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu} {}^{t}\boldsymbol{\omega}_P \boldsymbol{\mu} }{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\
&+\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu} {}^{t}\boldsymbol{\omega}_P \boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\omega}_P \boldsymbol{1} E[r_P]}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}\\
=&\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}\left(E[r_P]\right)^2-2{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu} E[r_P] +{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}
\end{aligned}

である。これにより、期待リターンE[r_P]の水準ごとの効率的ポートフォリオの分散が得られた。
 E[r_P]-\V[r_P]空間に描いたこの効率的ポートフォリオの軌跡は、分散を期待リターンの多項式と見たときに2次係数および定数項について


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}&\gt0,\\
\displaystyle{\frac{
{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}
}{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}}&\gt0
\end{aligned}

が成り立つことから、下に凸で頂点が第1象限または第3象限に存在する放物線を描く。
 またV[r_P]-\E[r_P]空間の軌跡を考える。分散の式を変形することで


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{V[r_P]}{\frac{1}{{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}}}}-\displaystyle{\frac{\left(E[r_P]-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}\right)^2}{\frac{{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}-{}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}{}^{t}\boldsymbol{\mu}V^{-1}\boldsymbol{1}}{\left({}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{1}\right)^2}}}=1
\end{aligned}

が成り立つから、この軌跡は双曲線であることが分かる。


図表1 \sigma-\mu空間における効率的ポートフォリオの軌跡
f:id:suguru_125:20211218045901p:plain

 この効率的ポートフォリオにおいて最も分散が小さくなるのは\sigma[r_P]={}^{t}\boldsymbol{1}V^{-1}\boldsymbol{\mu}のときで、この点を最小分散ポートフォリオという。またこの最小分散ポートフォリオおよびその上部の双曲線(上図の赤線部分)を効率的フロンティアという。
 平均=分散モデルにおいてある証券(またはポートフォリオ)i,\ jに対し、それらの期待リターン\mu_i,\mu_jおよび標準偏差\sigma_i,\sigma_j\mu_i\geq\mu_j,\ \sigma_i\leq\sigma_jの双方を満たすとき、証券(またはポートフォリオ)iは証券(またはポートフォリオ)jを優越するという。ある証券(またはポートフォリオ)を優越するような証券(またはポートフォリオ)が存在しないとき、その証券(またはポートフォリオ)はパレート最適であるという。最小分散ポートフォリオパレート最適を満たす。

  • 次回:

power-of-awareness.com

*1:もし空売りを認めないのであれば、更に{}^{\forall}\omega_{P,i}\geq0,\ i=1,2,\cdots,nを制約に加える。

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