やりなおしの数学・微分積分篇（20/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍

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を参考に、改めて微分積分を復習していく。

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今日のまとめ

区間 $I=[a,b]$ で定義された有界な関数 $f(x)$ を考える。区間 $I$ の分割
$\begin{aligned}\Delta:a=x_0\leq x_1\leq x_2\leq \cdots\leq x_{n-1}\leq x_n=b\end{aligned}$
を考え
$\begin{aligned}M_k=\displaystyle{\sup_{x_{k-1}\leq x\leq x_k}f(x)},\ m_k=\displaystyle{\inf_{x_{k-1}\leq x\leq x_k}f(x)}\end{aligned}$
とおく。ここで次のような和
$\begin{aligned}S_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}M_k(x_k-x_{k-1})},\\s_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}m_k(x_k-x_{k-1})}\end{aligned}$
を定義する。さらに
$\begin{aligned}S:=\displaystyle{\inf\{S_{\Delta}|\Deltaは区間Iの分割\}},\\s:=\displaystyle{\sup\{s_{\Delta}|\Deltaは区間Iの分割\}}\end{aligned}$
とおく。
　 $s=S$ が成立するとき、関数 $f$ は $I=[a,b]$ で(Riemann)積分可能であるといい、 $s$ を $f$ の $I$ における定積分と呼び
$\begin{aligned}s=\displaystyle{\int_{I}f(x)dx}=\displaystyle{\int_{a}^{b}f(x)dx}\end{aligned}$
と書く。

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今日のまとめ
6.　1変数関数の積分
- 6.1　定積分
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6.　1変数関数の積分

6.1　定積分

　Riemannによる積分の定義を述べる。
　区間 $I=[a,b]$ で定義された有界な関数 $f(x)$ を考える。区間 $I$ の分割

$\begin{aligned} \Delta:a=x_0\leq x_1\leq x_2\leq \cdots\leq x_{n-1}\leq x_n=b \end{aligned}$

を考え

$\begin{aligned} M_k=\displaystyle{\sup_{x_{k-1}\leq x\leq x_k}f(x)},\ m_k=\displaystyle{\inf_{x_{k-1}\leq x\leq x_k}f(x)} \end{aligned}$

とおく。ここで次のような和

$\begin{aligned} S_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}M_k(x_k-x_{k-1})},\\ s_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}m_k(x_k-x_{k-1})} \end{aligned}$

を定義する。このとき $s_{\Delta}\leq S_{\Delta}$ が成り立つ。
　ここで区間 $I$ の2つの分割 $\Delta_1,\Delta_2$ が与えられたとき、 $\Delta_1$ の分点の集合が $\Delta_2$ の分点の集合に含まれるとき、 $\Delta_1\subset\Delta_2$ と表す。このとき、 $S_{\Delta},s_{\Delta}$ は次の性質を持つ：

$\begin{aligned} \Delta_1\subset\Delta_2\Rightarrow s_{\Delta_1}\leq s_{\Delta_2}\leq S_{\Delta_1}\leq S_{\Delta_2} \end{aligned}$

また $I$ の任意の分割 $\Delta_1,\Delta_2$ について $s_{\Delta_1}\leq S_{\Delta_2},s_{\Delta_2}\leq S_{\Delta_1}$ である。
　実際分割 $\Delta_1$ の分点の集合を $\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$ とし、区間 $[x_{k-1},x_k]$ のなかに分割 $\Delta_2$ の分点 $x^{*}$ が加わるとする。このとき

$\begin{aligned} M_{k1}&:=\displaystyle{\sup_{x_{k-1}\leq x\leq x^{*}}f(x)}\leq M_k=\displaystyle{\sup_{x_{k-1}\leq x\leq x_k}f(x)},\\ M_{k2}&:=\displaystyle{\sup_{x^{*}\leq x\leq x_{k}}f(x)}\leq M_k=\displaystyle{\sup_{x_{k-1}\leq x\leq x_k}f(x)} \end{aligned}$

が成り立つ。したがって

$\begin{aligned} M_{k1}(x^{*}-x_{k-1})+M_{k2}(x_{k}-x^{*})\leq M_k(x_k-x_{k-1}) \end{aligned}$

が得られ、 $S_{\Delta}$ は分割 $\Delta$ に分点が加わるごとに減少することが分かる。したがって $S_{\Delta_2}\leq S_{\Delta_1}$ が成り立つ。 $s_{\Delta_2}\leq s_{\Delta_1}$ も同様にして得られる。
　2つ目も $\Delta_1$ の分点の集合に $\Delta_2$ の分点の集合を加え、新しく分割 $\Delta_3=\Delta_1\cup \Delta_2$ を考えると、 $\Delta_1\subset\Delta_3,\Delta_2\subset\Delta_3$ が成り立つ。したがって

$\begin{aligned} s_{\Delta_1}\leq s_{\Delta_3}\leq S_{\Delta_3}\leq _{\Delta_2} s_{\Delta_2}\leq s_{\Delta_3}\leq S_{\Delta_3}\leq _{\Delta_1} \end{aligned}$

が成り立つ。これらの性質から区間 $I$ のあらゆる分割 $\Delta$ を考えたとき、 $S_{\Delta},s_{\Delta}$ はそれぞれ下限、上限をもち

$\begin{aligned} S:=\displaystyle{\inf\{S_{\Delta}|\Deltaは区間Iの分割\}},\\ s:=\displaystyle{\sup\{s_{\Delta}|\Deltaは区間Iの分割\}} \end{aligned}$

とおけば $s\leq S$ となる。

定義：積分　区間 $I=[a,b]$ で定義された有界な関数 $f(x)$ を考える。区間 $I$ の分割

$\begin{aligned} \Delta:a=x_0\leq x_1\leq x_2\leq \cdots\leq x_{n-1}\leq x_n=b \end{aligned}$

を考え

$\begin{aligned} M_k=\displaystyle{\sup_{x_{k-1}\leq x\leq x_k}f(x)},\ m_k=\displaystyle{\inf_{x_{k-1}\leq x\leq x_k}f(x)} \end{aligned}$

とおく。ここで次のような和

$\begin{aligned} S_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}M_k(x_k-x_{k-1})},\\ s_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}m_k(x_k-x_{k-1})} \end{aligned}$

を定義する。さらに

$\begin{aligned} S:=\displaystyle{\inf\{S_{\Delta}|\Deltaは区間Iの分割\}},\\ s:=\displaystyle{\sup\{s_{\Delta}|\Deltaは区間Iの分割\}} \end{aligned}$

とおく。
　 $s=S$ が成立するとき、関数 $f$ は $I=[a,b]$ で(Riemann)積分可能であるといい、 $s$ を $f$ の $I$ における定積分と呼び

$\begin{aligned} s=\displaystyle{\int_{I}f(x)dx}=\displaystyle{\int_{a}^{b}f(x)dx} \end{aligned}$

と書く。

　関数 $f$ が区間 $I=[a,b]$ で積分可能であるとき分割 $\Delta:a=x_0\leq x_1\leq x_2\leq \cdots\leq x_n=b$ について $x_{k-1}\leq \xi_k\leq x_k$ ならば $m_k\leq f(\xi_k)\leq M_k$ が成立するから

$\begin{aligned} s_{\Delta}\leq S_{\Delta,\xi}:=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})\leq S_{\Delta}} \end{aligned}$

が得られる。したがって $s=S$ であるから、 $d(\Delta)=\max\{x_k-x_{k-1}|k=1,2,\cdots,n\}$ とおけば

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{d(\Delta)\rightarrow0}S_{\Delta,\xi}}=s=S \end{aligned}$

となると予想される。

可積分の同値条件　次の4つの条件は同値である。
(1) $f$ は区間 $I=[a,b]$ で積分可能である。
(2) ${}^{\forall}\varepsilon\gt0$ に対して $S_{\Delta}-s_{\Delta}\gt \varepsilon$ を満たすような $I$ の分割 $\Delta$ が存在する。
(3) ${}^{\forall}\varepsilon\gt0({}^{\exists}\delta\gt0({}^{\forall}\Delta\ s.t.\ d(\Delta)\lt\delta(S_{\Delta}-s_{\Delta}\lt\varepsilon)))$
(4) ${}^{\forall}\varepsilon\gt0({}^{\exists}\delta\gt0({}^{\forall}\Delta\ s.t.\ d(\Delta)\lt\delta({}^{\exists}V\in\mathbb{R}\ s.t.\ |S_{\Delta,\xi}-V|\lt\varepsilon))$

( $\because$ 　(i) $\Rightarrow$ (ii).　 $S=sV$ とおくと $S,s$ の定義から、 ${}^{\forall}\varepsilon\gt0$ に対して

$\begin{aligned} V\leq S_{\Delta^{*}}\leq V+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}},\ V-\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}\leq s_{\Delta_{*}}\leq V \end{aligned}$

を満たすような $I$ の分割 $\Delta^{*},\Delta_{*}$ が存在する。 $\Delta=\Delta_{*}\cup\Delta_{*}$ とすれば $\Delta$ は $\Delta^{*},\Delta_{*}$ の細分となるから、

$\begin{aligned} S_{\Delta}-s_{\Delta}\leq S_{\Delta^{*}}-s_{\Delta_{*}}\leq \left(V+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}\right)-\left(V-\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}\right)=\varepsilon \end{aligned}$

が得られる。

(ii) $\Rightarrow$ (iii).　 ${}^{\forall}\varepsilon\gt0$ に対して仮定より $S_{\Delta_1}-s_{\Delta_1}$ が存在する。 $\Delta_1$ が $n-1$ 個の分点により $n$ 個の小区間に分割されているとするとき、 $\delta\lt \displaystyle{\frac{\varepsilon}{8M(n-1)}}$ を満たすように $\delta$ を取る。ここで $M=\displaystyle{\sup_{a\leq x\leq b}|f(x)|}$ とする。
　 $\Delta$ を $d(\Delta)\lt\delta$ を満たすような分割とし、 $\Delta_2=\Delta\cup\Delta_1$ とすると $S_{\Delta_2}-s_{\Delta_2}\leq S_{\Delta_1}-s_{\Delta_1}\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}$ である。ここで $S_{\Delta_2}\leq S_{\Delta}$ であるが、 $S_{\Delta}$ および $S_{\Delta_2}$ の差は $\Delta_1$ の分点により生じる点に留意する。 $S_{\Delta}$ の小区間 $I_k=[x_{k-1},x_k]$ に $\Delta_1$ の分点 $x^{*}$ が1個加わるとする。 $M_k=\displaystyle{\sup_{x\in I_k}f(x)},M_{k1}=\displaystyle{\sup_{x_{k-1}\leq x\leq x^{*}}f(x)},M_{k2}=\displaystyle{\sup_{x^{*}\leq x\leq x_k}f(x)}$ とすると、 $S_{\Delta},S_{\Delta_2}$ の $I_k$ における差分は

$\begin{aligned} &M_k(x_k-x_{k-1})-\{M_{k1}(x^{*}-x_{k-1})+M_{k2}(x_k-x^{*})\}\\ =&(M_k-M_{k1})(x^{*}-x_{k-1})+(M_k-M_{k2})(x_{k1}-x^{*})\\ \leq&2M(x_k-x_{k-1})\\ \leq&2M d(\Delta) \end{aligned}$

で評価される。 $I_k$ に加わる分点の個数が $2$ 個以上になっても $S_{\Delta},S_{\Delta_2}$ の $I_k$ における差分は $2Md(\Delta)$ 以下である。このような変化が生じる小区間の個数は高々 $n-1$ 個であるから

$\begin{aligned} S_{\Delta}-S_{\Delta_2}\leq2M(n-1)d(\Delta)\lt 2M(n-1)\delta\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{4}} \end{aligned}$

を得る。同様の議論から $s_{\Delta_2}-s_{\Delta}\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{4}}$ も得られる。したがって

$\begin{aligned} S_{\Delta}-s_{\Delta}=(S_{\Delta}-S_{\Delta_2})+(S_{\Delta_2}-s_{\Delta_2})+(s_{\Delta_2}-s_{\Delta})\lt\varepsilon \end{aligned}$

が成立する。
(iii) $\Rightarrow$ (i).　仮定より ${}^{\forall}\varepsilon\gt0(d(\Delta)\lt\delta)$ となるようなすべての分割 $\Delta$ に対して

$\begin{aligned} S_{\Delta}\leq s_{\Delta}\lt\varepsilon,\ S\leq S_{\Delta},\ s\geq s_{\Delta} \end{aligned}$

が成立する。ここから $0\leq S-s\lt\varepsilon$ が得られるが、 $\varepsilon$ は任意の正数だったから $S=s$ であり、 $f$ は可積分である。
(iii) $\Rightarrow$ (iv).　 ${}^{\forall}\varepsilon\gt0$ に対し $d(\Delta)\lt\delta$ を満たすような $\Delta$ について(iii)が成り立つとする。このとき(i)も成り立つから、 $S=s=V$ とおくと $s_{\Delta}\leq V\leq S_{\Delta}$ となる。一方で

$\begin{aligned} s_{\Delta}\leq S_{\Delta,\xi}:=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})}\leq S_{\Delta} \end{aligned}$

で定義される $S_{\Delta,\xi}$ は $s_{\Delta}\leq S_{\Delta,\xi}\leq S_{\Delta}$ を満たすから、

$\begin{aligned} \left|S_{\Delta,\xi}-V\right|\leq\max\{S_{\Delta}-V,V-s_{\delta}\}\leq S_{\Delta}-s_{\Delta}\lt\varepsilon \end{aligned}$

となり、 $\displaystyle{\lim_{d(\delta)\rightarrow0}S_{\Delta,\xi}}=V$ が得られる。
(iv) $\Rightarrow$ (iii).　 ${}^{\forall}\varepsilon\gt0({}^{\exists}\delta\gt0({}^{\forall}\Delta:a=x_0\leq x_1\leq \cdots\leq x_n=b\ s.t.\ d(\Delta)\lt\delta(V-\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\leq S_{\Delta,\xi}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})\lt V+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}})))$

が成り立つようにできる。各 $\xi_k$ を $I_k=[x_{k-1},x_k]$ で動かして上限を取ることで、

$\begin{aligned} S_{\Delta}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}M_k(x_k-x_{k-1})\leq V+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}} \end{aligned}$

が得られる。ここで $M_k=\displaystyle{\sup_{x\in I_k}f(x)}$ とする。
　同様に $\xi$ を $I_k$ 上で動かして下限を取れば $m_k=\displaystyle{\inf_{x\in I_k}f(x)}$ とおいて

$\begin{aligned} s_{\Delta}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}m_k(x_k-x_{k-1})}\geq V-\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}} \end{aligned}$

が得られる。
　以上から

$\begin{aligned} S_{\Delta}-s_{\Delta}\leq \left(V+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\right)-\left(V-\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\right)=\displaystyle{\frac{2\varepsilon}{3}}\lt \varepsilon \end{aligned}$

が成立し(iii)が得られる。　 $\blacksquare$ )

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6. 1変数関数の積分

6.1 定積分

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