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やりなおしの数学・微分積分篇(020/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

www.rokakuho.co.jp

今日のまとめ

  • 区間I=[a,b]で定義された有界な関数f(x)を考える。区間Iの分割
    \begin{aligned}\Delta:a=x_0\leq x_1\leq x_2\leq \cdots\leq x_{n-1}\leq x_n=b\end{aligned}
    を考え
    \begin{aligned}M_k=\displaystyle{\sup_{x_{k-1}\leq x\leq x_k}f(x)},\ m_k=\displaystyle{\inf_{x_{k-1}\leq x\leq x_k}f(x)}\end{aligned}
    とおく。ここで次のような和
    \begin{aligned}S_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}M_k(x_k-x_{k-1})},\\s_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}m_k(x_k-x_{k-1})}\end{aligned}
    を定義する。さらに
    \begin{aligned}S:=\displaystyle{\inf\{S_{\Delta}|\Deltaは区間Iの分割\}},\\s:=\displaystyle{\sup\{s_{\Delta}|\Deltaは区間Iの分割\}}\end{aligned}
    とおく。

     s=Sが成立するとき、関数fI=[a,b]で(Riemann)積分可能であるといい、sfIにおける定積分と呼び
    \begin{aligned}s=\displaystyle{\int_{I}f(x)dx}=\displaystyle{\int_{a}^{b}f(x)dx}\end{aligned}
    と書く。

6. 1変数関数の積分

6.1 定積分

 Riemannによる積分の定義を述べる。
 区間I=[a,b]で定義された有界な関数f(x)を考える。区間Iの分割


\begin{aligned}
\Delta:a=x_0\leq x_1\leq x_2\leq \cdots\leq x_{n-1}\leq x_n=b
\end{aligned}

を考え


\begin{aligned}
M_k=\displaystyle{\sup_{x_{k-1}\leq x\leq x_k}f(x)},\ m_k=\displaystyle{\inf_{x_{k-1}\leq x\leq x_k}f(x)}
\end{aligned}

とおく。ここで次のような和


\begin{aligned}
S_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}M_k(x_k-x_{k-1})},\\
s_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}m_k(x_k-x_{k-1})}
\end{aligned}

を定義する。このときs_{\Delta}\leq S_{\Delta}が成り立つ。
 ここで区間Iの2つの分割\Delta_1,\Delta_2が与えられたとき、\Delta_1の分点の集合が\Delta_2の分点の集合に含まれるとき、\Delta_1\subset\Delta_2と表す。このとき、S_{\Delta},s_{\Delta}は次の性質を持つ:


\begin{aligned}
\Delta_1\subset\Delta_2\Rightarrow s_{\Delta_1}\leq s_{\Delta_2}\leq S_{\Delta_1}\leq S_{\Delta_2}
\end{aligned}

またIの任意の分割\Delta_1,\Delta_2についてs_{\Delta_1}\leq S_{\Delta_2},s_{\Delta_2}\leq S_{\Delta_1}である。
 実際分割\Delta_1の分点の集合を\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}とし、区間[x_{k-1},x_k]のなかに分割\Delta_2の分点x^{*}が加わるとする。このとき


\begin{aligned}
M_{k1}&:=\displaystyle{\sup_{x_{k-1}\leq x\leq x^{*}}f(x)}\leq M_k=\displaystyle{\sup_{x_{k-1}\leq x\leq x_k}f(x)},\\
M_{k2}&:=\displaystyle{\sup_{x^{*}\leq x\leq x_{k}}f(x)}\leq M_k=\displaystyle{\sup_{x_{k-1}\leq x\leq x_k}f(x)}
\end{aligned}

が成り立つ。したがって


\begin{aligned}
M_{k1}(x^{*}-x_{k-1})+M_{k2}(x_{k}-x^{*})\leq M_k(x_k-x_{k-1})
\end{aligned}

が得られ、S_{\Delta}は分割\Deltaに分点が加わるごとに減少することが分かる。したがってS_{\Delta_2}\leq S_{\Delta_1}が成り立つ。s_{\Delta_2}\leq s_{\Delta_1}も同様にして得られる。
 2つ目も\Delta_1の分点の集合に\Delta_2の分点の集合を加え、新しく分割\Delta_3=\Delta_1\cup \Delta_2を考えると、\Delta_1\subset\Delta_3,\Delta_2\subset\Delta_3が成り立つ。したがって


\begin{aligned}
s_{\Delta_1}\leq s_{\Delta_3}\leq S_{\Delta_3}\leq _{\Delta_2}
s_{\Delta_2}\leq s_{\Delta_3}\leq S_{\Delta_3}\leq _{\Delta_1}
\end{aligned}

が成り立つ。これらの性質から区間Iのあらゆる分割\Deltaを考えたとき、S_{\Delta},s_{\Delta}はそれぞれ下限、上限をもち


\begin{aligned}
S:=\displaystyle{\inf\{S_{\Delta}|\Deltaは区間Iの分割\}},\\
s:=\displaystyle{\sup\{s_{\Delta}|\Deltaは区間Iの分割\}}
\end{aligned}

とおけばs\leq Sとなる。


定義:積分 区間I=[a,b]で定義された有界な関数f(x)を考える。区間Iの分割

\begin{aligned}
\Delta:a=x_0\leq x_1\leq x_2\leq \cdots\leq x_{n-1}\leq x_n=b
\end{aligned}

を考え


\begin{aligned}
M_k=\displaystyle{\sup_{x_{k-1}\leq x\leq x_k}f(x)},\ m_k=\displaystyle{\inf_{x_{k-1}\leq x\leq x_k}f(x)}
\end{aligned}

とおく。ここで次のような和


\begin{aligned}
S_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}M_k(x_k-x_{k-1})},\\
s_{\Delta}&=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}m_k(x_k-x_{k-1})}
\end{aligned}

を定義する。さらに


\begin{aligned}
S:=\displaystyle{\inf\{S_{\Delta}|\Deltaは区間Iの分割\}},\\
s:=\displaystyle{\sup\{s_{\Delta}|\Deltaは区間Iの分割\}}
\end{aligned}

とおく。
 s=Sが成立するとき、関数fI=[a,b]で(Riemann)積分可能であるといい、sfIにおける定積分と呼び


\begin{aligned}
s=\displaystyle{\int_{I}f(x)dx}=\displaystyle{\int_{a}^{b}f(x)dx}
\end{aligned}
と書く。

 関数f区間I=[a,b]積分可能であるとき分割\Delta:a=x_0\leq x_1\leq x_2\leq \cdots\leq x_n=bについてx_{k-1}\leq \xi_k\leq x_kならばm_k\leq f(\xi_k)\leq M_kが成立するから


\begin{aligned}
s_{\Delta}\leq S_{\Delta,\xi}:=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})\leq S_{\Delta}}
\end{aligned}

が得られる。したがってs=Sであるから、d(\Delta)=\max\{x_k-x_{k-1}|k=1,2,\cdots,n\}とおけば


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{d(\Delta)\rightarrow0}S_{\Delta,\xi}}=s=S
\end{aligned}

となると予想される。


積分の同値条件 次の4つの条件は同値である。
(1) f区間I=[a,b]積分可能である。
(2) {}^{\forall}\varepsilon\gt0に対してS_{\Delta}-s_{\Delta}\gt \varepsilonを満たすようなIの分割\Deltaが存在する。
(3) {}^{\forall}\varepsilon\gt0({}^{\exists}\delta\gt0({}^{\forall}\Delta\ s.t.\ d(\Delta)\lt\delta(S_{\Delta}-s_{\Delta}\lt\varepsilon)))
(4) {}^{\forall}\varepsilon\gt0({}^{\exists}\delta\gt0({}^{\forall}\Delta\ s.t.\ d(\Delta)\lt\delta({}^{\exists}V\in\mathbb{R}\ s.t.\ |S_{\Delta,\xi}-V|\lt\varepsilon))
(\because (i)\Rightarrow(ii). S=sVとおくとS,sの定義から、{}^{\forall}\varepsilon\gt0に対して

\begin{aligned}
V\leq S_{\Delta^{*}}\leq V+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}},\ V-\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}\leq s_{\Delta_{*}}\leq V
\end{aligned}

を満たすようなIの分割\Delta^{*},\Delta_{*}が存在する。\Delta=\Delta_{*}\cup\Delta_{*}とすれば\Delta\Delta^{*},\Delta_{*}の細分となるから、


\begin{aligned}
S_{\Delta}-s_{\Delta}\leq S_{\Delta^{*}}-s_{\Delta_{*}}\leq \left(V+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}\right)-\left(V-\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}\right)=\varepsilon
\end{aligned}

が得られる。

(ii)\Rightarrow(iii). {}^{\forall}\varepsilon\gt0に対して仮定よりS_{\Delta_1}-s_{\Delta_1}が存在する。\Delta_1n-1個の分点によりn個の小区間に分割されているとするとき、\delta\lt \displaystyle{\frac{\varepsilon}{8M(n-1)}}を満たすように\deltaを取る。ここでM=\displaystyle{\sup_{a\leq x\leq b}|f(x)|}とする。
 \Deltad(\Delta)\lt\deltaを満たすような分割とし、\Delta_2=\Delta\cup\Delta_1とするとS_{\Delta_2}-s_{\Delta_2}\leq S_{\Delta_1}-s_{\Delta_1}\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{2}}である。ここでS_{\Delta_2}\leq S_{\Delta}であるが、S_{\Delta}およびS_{\Delta_2}の差は\Delta_1の分点により生じる点に留意する。S_{\Delta}の小区間I_k=[x_{k-1},x_k]\Delta_1の分点x^{*}が1個加わるとする。M_k=\displaystyle{\sup_{x\in I_k}f(x)},M_{k1}=\displaystyle{\sup_{x_{k-1}\leq x\leq x^{*}}f(x)},M_{k2}=\displaystyle{\sup_{x^{*}\leq x\leq x_k}f(x)}とすると、S_{\Delta},S_{\Delta_2}I_kにおける差分は


\begin{aligned}
&M_k(x_k-x_{k-1})-\{M_{k1}(x^{*}-x_{k-1})+M_{k2}(x_k-x^{*})\}\\
=&(M_k-M_{k1})(x^{*}-x_{k-1})+(M_k-M_{k2})(x_{k1}-x^{*})\\
\leq&2M(x_k-x_{k-1})\\
\leq&2M d(\Delta)
\end{aligned}

で評価される。I_kに加わる分点の個数が2個以上になってもS_{\Delta},S_{\Delta_2}I_kにおける差分は2Md(\Delta)以下である。このような変化が生じる小区間の個数は高々n-1個であるから


\begin{aligned}
S_{\Delta}-S_{\Delta_2}\leq2M(n-1)d(\Delta)\lt 2M(n-1)\delta\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{4}}
\end{aligned}

を得る。同様の議論からs_{\Delta_2}-s_{\Delta}\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{4}}も得られる。したがって


\begin{aligned}
S_{\Delta}-s_{\Delta}=(S_{\Delta}-S_{\Delta_2})+(S_{\Delta_2}-s_{\Delta_2})+(s_{\Delta_2}-s_{\Delta})\lt\varepsilon
\end{aligned}

が成立する。
(iii)\Rightarrow(i). 仮定より{}^{\forall}\varepsilon\gt0(d(\Delta)\lt\delta)となるようなすべての分割\Deltaに対して


\begin{aligned}
S_{\Delta}\leq s_{\Delta}\lt\varepsilon,\ S\leq S_{\Delta},\ s\geq s_{\Delta}
\end{aligned}

が成立する。ここから0\leq S-s\lt\varepsilonが得られるが、\varepsilonは任意の正数だったからS=sであり、fは可積分である。
(iii)\Rightarrow(iv). {}^{\forall}\varepsilon\gt0に対しd(\Delta)\lt\deltaを満たすような\Deltaについて(iii)が成り立つとする。このとき(i)も成り立つから、S=s=Vとおくとs_{\Delta}\leq V\leq S_{\Delta}となる。一方で


\begin{aligned}
s_{\Delta}\leq S_{\Delta,\xi}:=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})}\leq S_{\Delta}
\end{aligned}

で定義されるS_{\Delta,\xi}s_{\Delta}\leq S_{\Delta,\xi}\leq S_{\Delta}を満たすから、


\begin{aligned}
\left|S_{\Delta,\xi}-V\right|\leq\max\{S_{\Delta}-V,V-s_{\delta}\}\leq S_{\Delta}-s_{\Delta}\lt\varepsilon
\end{aligned}

となり、\displaystyle{\lim_{d(\delta)\rightarrow0}S_{\Delta,\xi}}=Vが得られる。
(iv)\Rightarrow(iii). {}^{\forall}\varepsilon\gt0({}^{\exists}\delta\gt0({}^{\forall}\Delta:a=x_0\leq x_1\leq \cdots\leq x_n=b\ s.t.\ d(\Delta)\lt\delta(V-\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\leq S_{\Delta,\xi}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})\lt V+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}})))

が成り立つようにできる。各\xi_kI_k=[x_{k-1},x_k]で動かして上限を取ることで、


\begin{aligned}
S_{\Delta}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}M_k(x_k-x_{k-1})\leq V+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}}
\end{aligned}

が得られる。ここでM_k=\displaystyle{\sup_{x\in I_k}f(x)}とする。
 同様に\xiI_k上で動かして下限を取ればm_k=\displaystyle{\inf_{x\in I_k}f(x)}とおいて


\begin{aligned}
s_{\Delta}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}m_k(x_k-x_{k-1})}\geq V-\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}
\end{aligned}

が得られる。
 以上から


\begin{aligned}
S_{\Delta}-s_{\Delta}\leq \left(V+\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\right)-\left(V-\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\right)=\displaystyle{\frac{2\varepsilon}{3}}\lt \varepsilon
\end{aligned}

が成立し(iii)が得られる。 \blacksquare)

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