やりなおしの数学・微分積分篇（70/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ
11.　陰関数定理と逆写像定理
- 11.3　陰関数定理
- 11.4.　ベクトル値写像
  - 11.4.1　ベクトル値写像の連続性と微分可能性

今日のまとめ

陰関数定理を満たすような関数が $C^2$ 級だった場合の2階微分を求めます。

11.　陰関数定理と逆写像定理

11.3　陰関数定理

　開集合 $\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^2$ および $C^1$ 級関数 $f:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}$ に対して、 $(x_0,y_0)\in\mathit{\Omega}$ において

$\begin{aligned} f(x_0,y_0)&=0,\\ f_y(x_0,y_0)&\gt0 \end{aligned}$

が成立すると仮定する。このときの陰関数定理は以下のとおりであった。

陰関数定理　 $\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^2$ を空でない開集合、また $f(x,y):\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}$ を $C^1$ 級関数とする。 $(x_0,y_0)\in\mathit{\Omega}$ が

$\begin{aligned} f(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)\neq0 \end{aligned}$

を満たすならば、 $\delta,\rho\gt0$ が存在して以下が成り立つ。

$\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\times\left[y_0-\rho,y_0+\rho\right]\subset\mathit{\Omega}$
${}^{\forall}x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)\left({}^{!\exists}y\in(y_0-\rho,y_0+\rho)\right)\ \mathrm{s.t.}\ f(x,y)=0$ 。このとき $y=\varphi(x)$ と書くと、 $f(x,y)=0$ を満たすような $(x,y)$ は $\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)\times\left(y_0-\rho,y_0+\rho\right)$ の中でグラフ $y=\varphi(x)$ の形にかけ、特に $\varphi(x_0)=y_0$ が成り立つ。
$\varphi:\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)\times\left(y_0-\rho,y_0+\rho\right)$ は $C^1$ 級であり、
$\begin{aligned}\varphi^{\prime}(x)=-\displaystyle{\frac{f_x(x,\varphi(x) )}{f_y(x,\varphi(x) )}}\end{aligned}$
が成り立つ。
$f(x,y)$ が $C^l,l\geq1$ ならば $\varphi(x)$ も $C^l$ 級である。

　ここで $f(x,y)$ が $C^2$ 級だった場合の陰関数の2回微分を考える。

陰関数定理を満たす関数の2階微分　陰関数定理の仮定を満たす関数 $f(x,y)$ が、更に $C^2$ 級であると仮定する。このとき

$\begin{aligned} \varphi^{\prime\prime}(x)=-\displaystyle{\frac{f_{xx}f_y^2-2f_{xy}f_xf_y+f_{yy}f_x^2}{f_y^3}} \end{aligned}$

が成り立つ。

( $\because$ 　 $f(x,y)$ が $C^2$ 級ならば、 $\varphi(x)$ も $C^2$ 級であり、 $f(x,y)=f(x,\varphi(x))=0$ の両辺を $x$ に関して微分することで、

$\begin{aligned} f_{x}(x,\varphi(x))+f_y(x,\varphi(x))\varphi^{\prime}(x)=0 \end{aligned}$

を得る。この両辺をもう1度 $x$ に関して微分することで、仮定より $f_y\gt0$ であることに注意して、

$\begin{aligned} &f_{x}(x,\varphi(x))+f_y(x,\varphi(x))\varphi^{\prime}(x)=0\\ \Leftrightarrow&f_{xx}(x,\varphi(x))+2f_{xy}(x,\varphi(x))\varphi^{\prime}(x)+f_{yy}(x,\varphi(x))\left(\varphi^{\prime}(x)\right)^2+f_{y}(x,\varphi(x))\varphi^{\prime\prime}(x)=0\\ \Leftrightarrow&\varphi^{\prime\prime}(x)=-\displaystyle{\frac{f_{xx}(x,\varphi(x))+2f_{xy}(x,\varphi(x))\varphi^{\prime}(x)+f_{yy}(x,\varphi(x))\left(\varphi^{\prime}(x)\right)^2}{f_{y}(x,\varphi(x))}}\\ \end{aligned}$

を得る。ここに $f_{x}(x,\varphi(x))+f_y(x,\varphi(x))\varphi^{\prime}(x)=0$ より

$\begin{aligned} \varphi^{\prime}(x)=-\displaystyle{\frac{f_{x}(x,\varphi(x))}{f_y(x,\varphi(x))}} \end{aligned}$

であり、これを代入することで、

$\begin{aligned} \varphi^{\prime\prime}(x)&=-\displaystyle{\frac{f_{xx}(x,\varphi(x))+2f_{xy}(x,\varphi(x))\varphi^{\prime}(x)+f_{yy}(x,\varphi(x))\left(\varphi^{\prime}(x)\right)^2}{f_{y}(x,\varphi(x))}}\\ &=-\displaystyle{\frac{f_{xx}f_y^2-2f_{xy}f_xf_y+f_{yy}f_x^2}{f_y^3}} \end{aligned}$

を得る。　 $\blacksquare$ )

11.4.　ベクトル値写像

　陰関数定理の一般形を扱うべく、ベクトル値写像を導入する。

11.4.1　ベクトル値写像の連続性と微分可能性

　 $m,n\in\mathbb{N}$ とする。 $\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^n,$ $\mathit{\Omega}\neq\emptyset$ 上で定義された $f_i(x_1,\cdots,x_m):$ $\mathit{\Omega}$ $\rightarrow$ $\mathbb{R},$ $i=1,$ $\cdots,$ $m$ が与えられたとき、写像

$\begin{aligned} \boldsymbol{f}:&\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}^m,\\ &\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}\mapsto\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix}f_1(\boldsymbol{x})\\\vdots\\f_m(\boldsymbol{x})\end{bmatrix} \end{aligned}$

を考えることができる。
　また $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n,$ $\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^m$ に対してそのノルムを

$\begin{aligned} \left|\boldsymbol{x}\right|_{\mathbb{R}^n}&=\displaystyle{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}},\\ \left|\boldsymbol{y}\right|_{\mathbb{R}^m}&=\displaystyle{\sqrt{\sum_{i=1}^{m}y_i^2}} \end{aligned}$

で定義する。以降、簡略化のため、 $\left|\boldsymbol{x}\right|$ などノルムの添字を省略する。
　ベクトル値関数の連続性および微分可能性を以下のように定義する。

ベクトル値写像の連続性および微分可能性　開集合 $\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^n,$ $\mathit{\Omega}\neq\emptyset$ をに対して、 $\boldsymbol{f}:\mathit{\Omega}\rightarrow$ $\mathbb{R}^m$ とする。
　 $\boldsymbol{x}_0\in\mathit{\Omega}$ に対して、 $\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x}_0$ ならば $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\rightarrow\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)$ 、すなわち

$\begin{aligned} \left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\right|_{\mathbb{R}^n}\rightarrow0\Rightarrow\left|\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)-\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}_0\right)\right|_{\mathbb{R}^m}\rightarrow0 \end{aligned}$

が成り立つとき、 $\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}\right)$ は $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0$ において連続であるという。
　また

$\begin{aligned} {}^{\exists}A\in GL(m,n)\left(\displaystyle{\frac{|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{h})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)-A\boldsymbol{h}|_{\mathbb{R}^m}}{|\boldsymbol{h}|_{\mathbb{R}^n}}}\rightarrow0(|\boldsymbol{h}|_{\mathbb{R}^n}\rightarrow0)\right) \end{aligned}$

が成り立つならば、 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ は $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0$ において微分可能であるといい、 $A$ を $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ の $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0$ における微分と呼び、 $(D\boldsymbol{f})(\boldsymbol{x}_0)$ と書く。

　もし ${}^{\forall}\boldsymbol{x}\in\mathit{\Omega}$ において $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ が連続（微分可能）ならば、 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ は $\mathrm{\Omega}$ で連続（微分可能）であるという。 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ が微分可能かつ、 $D\boldsymbol{f}:\mathit{\Omega}$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}^{m\times n},$ $\boldsymbol{x}\mapsto$ $(D\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}))$ が連続であるとき、 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ は $\mathit{\Omega}$ 上で $C^1$ 級であるという。