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計量経済学の基礎(12/22)

 計量経済学を学んでいく。
 まずは

を中心に参照して基礎を学んでいく。

今日のまとめ

  • 仮定

    (1)\boldsymbol{X}は非確率的である、

    (2)\mathbb{E}[\boldsymbol{Y}]=\boldsymbol{X\beta}であり\mathbb{E}[\boldsymbol{\varepsilon}]=\boldsymbol{0}

    (3)\boldsymbol{X}の階数はkである、を置いた回帰モデルを一般化古典的回帰モデルと呼ぶ。

8. 一般化古典的回帰モデル

 古典的過程モデルにおいて攪乱項の分散に関する仮定

  • \boldsymbol{\varepsilon}の分散は一定で各要素が他から独立している。

を除いた3つの仮定

  (1) \boldsymbol{X}は非確率的である。
  (2) \mathbb{E}[\boldsymbol{Y}]=\boldsymbol{X\beta}であり\mathbb{E}[\boldsymbol{\varepsilon}]=\boldsymbol{0}
  (3) \boldsymbol{X}の階数はkである。

を置いた回帰モデルを一般化古典的回帰モデルと呼ぶ。

8.1 一般化古典的回帰モデルの定義

 一般化古典的回帰モデル(GCRM)は


\begin{aligned}
\boldsymbol{Y}&=\boldsymbol{X\beta}+\boldsymbol{\varepsilon},\ \mathbb{E}[\boldsymbol{\varepsilon}]=\boldsymbol{0},\\
&=\mathbb{V}[\boldsymbol{\varepsilon}]=\Sigma=\begin{bmatrix}
\sigma_{11}&\sigma_{12}&\cdots&\sigma_{1n}\\
\sigma_{21}&\sigma_{22}&\cdots&\cdots\\
\vdots&\cdots&\sigma_{ii}&\vdots\\
\sigma_{n1}&\cdots&\cdots&\sigma_{nn}\\
\end{bmatrix}
\end{aligned}

と定式化できる。
 以下ではGCRMでも3つのケースを扱う。

8.2 不均一分散

 古典的回帰モデルでは攪乱項の分散は一定と見なす。これを均一分散性という。逆にこれを満たさない場合を不均一分散性という。
 不均一分散性をもつとき、分散共分散行列は


\begin{aligned}
\mathbb{V}[\boldsymbol{\varepsilon}]=\Sigma=\begin{bmatrix}
{\sigma_{1}}^2&0&\cdots&0\\
0&{\sigma_{2}}^2&\cdots&0\\
\vdots&\cdots&{\sigma_{i}}^2&\vdots\\
0&\cdots&\cdots&{\sigma_{n}}^2\\
\end{bmatrix}
\end{aligned}

と書ける。
 K変量回帰モデルでは


\begin{aligned}
\hat{\boldsymbol{\beta}}=A\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{\beta}+A\boldsymbol{\varepsilon},\ A=\left({}^{t}\boldsymbol{X} \boldsymbol{X}\right)^{-1}{}^{t}\boldsymbol{X}
\end{aligned}

と係数ベクトルの推定量は書ける。


\begin{aligned}
\mathbb{E}[\hat{\boldsymbol{\beta}}]=\mathbb{E}[\boldsymbol{\beta}+A\boldsymbol{\varepsilon}]=\mathbb{E}[\boldsymbol{\beta}]+A\cdot\mathbb{E}[\boldsymbol{\varepsilon}]=\boldsymbol{\beta}
\end{aligned}

が成り立つため、これは不偏性が成り立つ。
 一方で


\begin{aligned}
\mathbb{V}[\hat{\boldsymbol{\beta}}]=A\mathbb{V}[\boldsymbol{Y}]{}^{t}A=\left({}^{t}\boldsymbol{X} \boldsymbol{X}\right)^{-1}{}^{t}\boldsymbol{X}\Sigma\boldsymbol{X}\left({}^{t}\boldsymbol{X} \boldsymbol{X}\right)^{-1}
\end{aligned}

が成り立つため、分散は均一分散の場合とは異なる形態で書ける。これは最小分散性を満たさない。

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