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一流の大人（ビジネスマン、政治家、リーダー…）として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。データ分析・語学に力点を置いています。　→現在、コンサルタントの雛になるべく、少しずつ勉強中です(※2024年1月21日改訂)。

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計量経済学の基礎（12/22）

経済学 統計学

　計量経済学を学んでいく。
　まずは

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を中心に参照して基礎を学んでいく。

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今日のまとめ

  • 仮定

    (1)\boldsymbol{X}は非確率的である、

    (2)\mathbb{E}[\boldsymbol{Y}]=\boldsymbol{X\beta}であり\mathbb{E}[\boldsymbol{\varepsilon}]=\boldsymbol{0}、

    (3)\boldsymbol{X}の階数はkである、を置いた回帰モデルを一般化古典的回帰モデルと呼ぶ。

8.　一般化古典的回帰モデル

　古典的過程モデルにおいて攪乱項の分散に関する仮定

  • \boldsymbol{\varepsilon}の分散は一定で各要素が他から独立している。

を除いた3つの仮定

　 (1) \boldsymbol{X}は非確率的である。
　 (2) \mathbb{E}[\boldsymbol{Y}]=\boldsymbol{X\beta}であり\mathbb{E}[\boldsymbol{\varepsilon}]=\boldsymbol{0}
　 (3) \boldsymbol{X}の階数はkである。

を置いた回帰モデルを一般化古典的回帰モデルと呼ぶ。

8.1　一般化古典的回帰モデルの定義

　一般化古典的回帰モデル(GCRM)は

\begin{aligned} \boldsymbol{Y}&=\boldsymbol{X\beta}+\boldsymbol{\varepsilon},\ \mathbb{E}[\boldsymbol{\varepsilon}]=\boldsymbol{0},\\ &=\mathbb{V}[\boldsymbol{\varepsilon}]=\Sigma=\begin{bmatrix} \sigma_{11}&\sigma_{12}&\cdots&\sigma_{1n}\\ \sigma_{21}&\sigma_{22}&\cdots&\cdots\\ \vdots&\cdots&\sigma_{ii}&\vdots\\ \sigma_{n1}&\cdots&\cdots&\sigma_{nn}\\ \end{bmatrix} \end{aligned}

と定式化できる。
　以下ではGCRMでも3つのケースを扱う。

8.2　不均一分散

　古典的回帰モデルでは攪乱項の分散は一定と見なす。これを均一分散性という。逆にこれを満たさない場合を不均一分散性という。
　不均一分散性をもつとき、分散共分散行列は

\begin{aligned} \mathbb{V}[\boldsymbol{\varepsilon}]=\Sigma=\begin{bmatrix} {\sigma_{1}}^2&0&\cdots&0\\ 0&{\sigma_{2}}^2&\cdots&0\\ \vdots&\cdots&{\sigma_{i}}^2&\vdots\\ 0&\cdots&\cdots&{\sigma_{n}}^2\\ \end{bmatrix} \end{aligned}

と書ける。
　K変量回帰モデルでは

\begin{aligned} \hat{\boldsymbol{\beta}}=A\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{\beta}+A\boldsymbol{\varepsilon},\ A=\left({}^{t}\boldsymbol{X} \boldsymbol{X}\right)^{-1}{}^{t}\boldsymbol{X} \end{aligned}

と係数ベクトルの推定量は書ける。

\begin{aligned} \mathbb{E}[\hat{\boldsymbol{\beta}}]=\mathbb{E}[\boldsymbol{\beta}+A\boldsymbol{\varepsilon}]=\mathbb{E}[\boldsymbol{\beta}]+A\cdot\mathbb{E}[\boldsymbol{\varepsilon}]=\boldsymbol{\beta} \end{aligned}

が成り立つため、これは不偏性が成り立つ。
　一方で

\begin{aligned} \mathbb{V}[\hat{\boldsymbol{\beta}}]=A\mathbb{V}[\boldsymbol{Y}]{}^{t}A=\left({}^{t}\boldsymbol{X} \boldsymbol{X}\right)^{-1}{}^{t}\boldsymbol{X}\Sigma\boldsymbol{X}\left({}^{t}\boldsymbol{X} \boldsymbol{X}\right)^{-1} \end{aligned}

が成り立つため、分散は均一分散の場合とは異なる形態で書ける。これは最小分散性を満たさない。

次回

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