やりなおしの数学・微分積分篇（49/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ

$\mathrm{Bonnet}$ の定理を示す：区間 $[a,b]$ で $f(x)$ が連続で $\varphi(x)$ が正値かつ単調減少だとする。このとき
$\begin{aligned}\displaystyle{\int_a^b\varphi(x)f(x)dx}=\varphi(a)\displaystyle{\int_a^{\xi}f(x)dx}\end{aligned}$
を満たすような $\xi\in[a,b]$ が存在する。

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今日のまとめ
9.　関数列の収束
- 9.7　条件収束
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9.　関数列の収束

　本節では関数の数列（関数列）に関する収束概念を扱う。

9.7　条件収束

　 $\mathrm{Abel}$ 変換の別の応用を考える。

$\mathrm{Bonnet}$ の定理　区間 $[a,b]$ で $f(x)$ が連続で $\varphi(x)$ が正値かつ単調減少だとする。このとき

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_a^b\varphi(x)f(x)dx}=\varphi(a)\displaystyle{\int_a^{\xi}f(x)dx} \end{aligned}$

を満たすような $\xi\in[a,b]$ が存在する。

( $\because$ 　 $[a,b]$ を $n$ 等分し $a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n=b, h=\displaystyle{\frac{b-a}{n}}$ とおく。このとき $x_i=a+ih,i=0,1,\cdots,n$ である。 $\mathrm{Abel}$ 変換より

$\begin{aligned} \varphi(a)\displaystyle{\min_{s=0,1,\cdots,n-1}\left(h\sum_{i=0}^{s}f(x_i)\right) }&\leq\displaystyle{h\sum_{i=0}^{n-1}\varphi(x_i)f(x_i)}\\ &\leq \varphi(a)\displaystyle{\max_{s=0,1,\cdots,n-1}\left(h\sum_{i=0}^{s}f(x_i)\right) } \end{aligned}$

が成り立つ。いま

$\begin{aligned} \left|\displaystyle{h\sum_{i=0}^{s} f(x_i)}-\displaystyle{\int_{a}^{a+(s+1)h}f(x)dx}\right|&=\left|\displaystyle{\sum_{i=0}^{s}\int_{a}^{a+(s+1)h}\left(f(x_i)-f(x)\right)dx}\right|\\ &\leq \displaystyle{\sum_{i=0}^{s}\int_{x_i}^{x_{i+1}}\left|f(x_i)-f(x)\right|dx} \end{aligned}$

であり、 $f(x)$ が $[a,b]$ において連続であるから一様連続である。そのため ${}^{\forall}\varepsilon\gt0$ に対して

$\begin{aligned} {}^{\exists}\delta\gt0\ \mathrm{s.t.}\ \left(\left|x-x^{\prime}\right|\lt\delta\Longrightarrow\left|f(x)-f(x^{\prime})\right|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{b-a}}\right) \end{aligned}$

が成り立つ。こうして $h\lt\delta$ ならば $|x_i-x|\lt\delta$ が $x\in[x_i,x_{i+1}]$ のときに成立するから、これを代入して

$\begin{aligned} \left|h\displaystyle{\sum_{i=0}^{s}f(x_i)-\int_{a}^{a+(s+1)h}f(x)dx}\right|\leq\displaystyle{\sum_{i=0}^{n-1}\int_{x_i}^{x_{i+1}}\frac{\varepsilon}{b-a}dx}=\varepsilon \end{aligned}$

を得る。したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\min_{s=0,1,\cdots,n-1}\left(h\sum_{i=0}^{s}f(x_i)\right)}&\geq\displaystyle{\min_{s=0,1,\cdots,n-1}\left(\int_{a}^{a+(s+1)h}f(x)dx\right)}-\varepsilon\\ &\geq\displaystyle{\min_{\xi\in[a,b]}\int_{a}^{\xi}f(x) dx}-\varepsilon\\ \displaystyle{\max_{s=0,1,\cdots,n-1}\left(h\sum_{i=0}^{s}f(x_i)\right)}&\leq\displaystyle{\max_{s=0,1,\cdots,n-1}\left(\int_{a}^{a+(s+1)h}f(x)dx\right)}+\varepsilon\\ &\leq\displaystyle{\max_{\xi\in[a,b]}\int_{a}^{\xi}f(x) dx}+\varepsilon \end{aligned}$

が成り立つ。これを代入して

$\begin{aligned} \varphi(a)\left(\displaystyle{\min_{\xi\in[a,b]} \int_{a}^{\xi}f(x)dx}\right)-\varphi(a)\varepsilon&\leq h\displaystyle{\sum_{i=0}^{n-1}\varphi(x_i)f(x_i)}\\ &\leq \varphi(a)\left(\displaystyle{\max_{\xi\in[a,b]} \int_{a}^{\xi}f(x)dx}\right)+\varphi(a)\varepsilon \end{aligned}$

である。いま $\varepsilon$ は任意であったから $\varepsilon\rightarrow\infty$ として

$\begin{aligned} \varphi(a)\displaystyle{\min_{\xi\in[a,b]}f(x)dx}\leq h\displaystyle{\sum_{i=0}^{n-1}\varphi(x_i)f(x_i)}\leq\varphi(a)\displaystyle{\max_{\xi\in[a,b]}f(x)dx} \end{aligned}$

である。各辺を $\varphi(a)$ で割り更に $h\rightarrow0$ とすることで

$\begin{aligned} \displaystyle{\min_{\xi\in[a,b]}\int_{a}^{\xi}f(x)dx}\leq\displaystyle{\frac{1}{\varphi(a)}\int_{a}^{b}\varphi(x)f(x)dx}\leq\displaystyle{\max_{\xi\in[a,b]}\int_{a}^{\xi}f(x)dx} \end{aligned}$