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やりなおしの数学・微分積分篇(48/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • \mathrm{Bonnet}の定理を示す:区間[a,b]f(x)が連続で\varphi(x)が正値かつ単調減少だとする。このとき

    \begin{aligned}\displaystyle{\int_a^b\varphi(x)f(x)dx}=\varphi(a)\displaystyle{\int_a^{\xi}f(x)dx}\end{aligned}

    を満たすような\xi\in[a,b]が存在する。

9. 関数列の収束

 本節では関数の数列(関数列)に関する収束概念を扱う。

9.7 条件収束

 \mathrm{Abel}変換の別の応用を考える。



\mathrm{Bonnet}の定理 区間[a,b]f(x)が連続で\varphi(x)が正値かつ単調減少だとする。このとき



\begin{aligned}
\displaystyle{\int_a^b\varphi(x)f(x)dx}=\varphi(a)\displaystyle{\int_a^{\xi}f(x)dx}
\end{aligned}


を満たすような\xi\in[a,b]が存在する。

(\because [a,b]n等分しa=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n=b, h=\displaystyle{\frac{b-a}{n}}とおく。このときx_i=a+ih,i=0,1,\cdots,nである。\mathrm{Abel}変換より



\begin{aligned}
\varphi(a)\displaystyle{\min_{s=0,1,\cdots,n-1}\left(h\sum_{i=0}^{s}f(x_i)\right) }&\leq\displaystyle{h\sum_{i=0}^{n-1}\varphi(x_i)f(x_i)}\\
&\leq \varphi(a)\displaystyle{\max_{s=0,1,\cdots,n-1}\left(h\sum_{i=0}^{s}f(x_i)\right) }
\end{aligned}


が成り立つ。いま



\begin{aligned}
\left|\displaystyle{h\sum_{i=0}^{s} f(x_i)}-\displaystyle{\int_{a}^{a+(s+1)h}f(x)dx}\right|&=\left|\displaystyle{\sum_{i=0}^{s}\int_{a}^{a+(s+1)h}\left(f(x_i)-f(x)\right)dx}\right|\\
&\leq \displaystyle{\sum_{i=0}^{s}\int_{x_i}^{x_{i+1}}\left|f(x_i)-f(x)\right|dx}
\end{aligned}


であり、f(x)[a,b]において連続であるから一様連続である。そのため{}^{\forall}\varepsilon\gt0に対して



\begin{aligned}
{}^{\exists}\delta\gt0\ \mathrm{s.t.}\ \left(\left|x-x^{\prime}\right|\lt\delta\Longrightarrow\left|f(x)-f(x^{\prime})\right|\lt\displaystyle{\frac{\varepsilon}{b-a}}\right)
\end{aligned}


が成り立つ。こうしてh\lt\deltaならば|x_i-x|\lt\deltax\in[x_i,x_{i+1}]のときに成立するから、これを代入して



\begin{aligned}
\left|h\displaystyle{\sum_{i=0}^{s}f(x_i)-\int_{a}^{a+(s+1)h}f(x)dx}\right|\leq\displaystyle{\sum_{i=0}^{n-1}\int_{x_i}^{x_{i+1}}\frac{\varepsilon}{b-a}dx}=\varepsilon
\end{aligned}


を得る。したがって



\begin{aligned}
\displaystyle{\min_{s=0,1,\cdots,n-1}\left(h\sum_{i=0}^{s}f(x_i)\right)}&\geq\displaystyle{\min_{s=0,1,\cdots,n-1}\left(\int_{a}^{a+(s+1)h}f(x)dx\right)}-\varepsilon\\
&\geq\displaystyle{\min_{\xi\in[a,b]}\int_{a}^{\xi}f(x) dx}-\varepsilon\\
\displaystyle{\max_{s=0,1,\cdots,n-1}\left(h\sum_{i=0}^{s}f(x_i)\right)}&\leq\displaystyle{\max_{s=0,1,\cdots,n-1}\left(\int_{a}^{a+(s+1)h}f(x)dx\right)}+\varepsilon\\
&\leq\displaystyle{\max_{\xi\in[a,b]}\int_{a}^{\xi}f(x) dx}+\varepsilon
\end{aligned}


が成り立つ。これを代入して



\begin{aligned}
\varphi(a)\left(\displaystyle{\min_{\xi\in[a,b]} \int_{a}^{\xi}f(x)dx}\right)-\varphi(a)\varepsilon&\leq h\displaystyle{\sum_{i=0}^{n-1}\varphi(x_i)f(x_i)}\\
&\leq \varphi(a)\left(\displaystyle{\max_{\xi\in[a,b]} \int_{a}^{\xi}f(x)dx}\right)+\varphi(a)\varepsilon
\end{aligned}


である。いま\varepsilonは任意であったから\varepsilon\rightarrow\inftyとして



\begin{aligned}
\varphi(a)\displaystyle{\min_{\xi\in[a,b]}f(x)dx}\leq h\displaystyle{\sum_{i=0}^{n-1}\varphi(x_i)f(x_i)}\leq\varphi(a)\displaystyle{\max_{\xi\in[a,b]}f(x)dx}
\end{aligned}

である。各辺を\varphi(a)で割り更にh\rightarrow0とすることで


\begin{aligned}
\displaystyle{\min_{\xi\in[a,b]}\int_{a}^{\xi}f(x)dx}\leq\displaystyle{\frac{1}{\varphi(a)}\int_{a}^{b}\varphi(x)f(x)dx}\leq\displaystyle{\max_{\xi\in[a,b]}\int_{a}^{\xi}f(x)dx}
\end{aligned}

を得る。いまF(\xi)=\displaystyle{\int_a^{\xi}f(x)dx}とおくと、\xi\in[a,b]の連続関数であるから、上式より中間値の定理を用いることで


\begin{aligned}
{}^{\exists}\xi\in[a,b]\ \mathrm{s.t.}\ F(\xi)=\displaystyle{\frac{1}{\varphi(a)}\int_a^b\varphi(x)f(x)dx}
\end{aligned}

が得られる。したがって


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_a^b \varphi(x)f(x)dx}=\displaystyle{\varphi(a)\int_a^{\xi}f(x)dx}
\end{aligned}

である。 \blacksquare)

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