やりなおしの数学・微分積分篇（71/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ
11.　陰関数定理と逆写像定理
- 11.4.　ベクトル値写像
  - 11.4.1　ベクトル値写像の連続性と微分可能性

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今日のまとめ

ベクトル値写像の連続性と微分可能性を扱います。

11.　陰関数定理と逆写像定理

11.4.　ベクトル値写像

　陰関数定理の一般形を扱うべく、ベクトル値写像を導入する。

11.4.1　ベクトル値写像の連続性と微分可能性

　ベクトル値関数の連続性および $C^1$ 級の定義は、前回導入したベクトル値写像の連続の定義と一致することを示すことができる。

ベクトル値写像の性質とベクトル値関数の性質　開集合 $\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^n,\mathit{\Omega}\neq\emptyset$ に対して、

$\begin{aligned} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix}f_{1}(\boldsymbol{x})\\f_{2}(\boldsymbol{x})\\\vdots\\f_{m}(\boldsymbol{x})\end{bmatrix}:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}^m \end{aligned}$

とする。このとき、

$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ が $\boldsymbol{x}_0\in\mathit{\Omega}$ において連続（または微分可能）であるための必要十分条件は、すべての $i=$ $1,\cdots,$ $m$ について $f_i(\boldsymbol{x})$ が $\mathit{\Omega}$ において連続（ないし微分可能、 $C^1$ 級）であることである。更に $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ が微分可能であるとき、
$\begin{aligned}(D\boldsymbol{f})(\boldsymbol{x}_0)=\begin{bmatrix}\displaystyle{\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\boldsymbol{x}_0)&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\boldsymbol{x}_0)\\\vdots&&\vdots\\\displaystyle{\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\boldsymbol{x}_0)&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\boldsymbol{x}_0)\end{bmatrix}\end{aligned}$
が成立する。

$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ が $\mathit{\Omega}$ で連続（ないし微分可能、 $C^1$ 級）であることの必要十分条件は、すべての $i=$ $1,\cdots,$ $m$ について $f_i(\boldsymbol{x})$ が $\mathit{\Omega}$ において連続（ないし微分可能、 $C^1$ 級）であることである。

　この命題を示すべく、以下の補題を導入する。

補題：ベクトルのノルムに関する不等式　不等式

$\begin{aligned} \displaystyle{\max_{i=1,\cdots,n}\left|x_i\right|}\leq\left|\boldsymbol{x}\right|_{\mathbb{R}^n}\leq\sqrt{n}\displaystyle{\max_{i=1,\cdots,n}\left|x_i\right|} \end{aligned}$

が成り立つ。

( $\because$ 　 $x_j=\displaystyle{\max_{i=1,\cdots,n}\left|x_i\right|}$ とおく。左の不等式は、 ${}^{\forall}k\in\{1,\cdots,\}x_k^2\geq0$ に注意すれば、

$\begin{aligned} 0\leq x_j^2&\leq x_1^2+\cdots+x_j^2+\cdots+x_n^2\\ &=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}\\ &=\left(\left|\boldsymbol{x}\right|_{\mathbb{R}^n}\right)^2 \end{aligned}$

である。したがって、この不等式は成り立つ。
　次に右の不等式は、任意の $k=1,\cdots,n$ について

$\begin{aligned} x_k^2\leq x_j^2 \end{aligned}$

が成り立つ。この両辺について $k=1,\cdots,n$ までの総和を取ることで、

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}x_k^2}&\leq x_j^2\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}1}\\ &=n x_j^2\\ &=n\left(\displaystyle{\max_{i=1,\cdots,n}\left|x_i\right|}\right)^2 \end{aligned}$

を得、この両辺の平方根を取ることで、示すべき不等式を得る。　 $\blacksquare$ )

( $\because$ 　 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ が $\boldsymbol{x}_0\in\mathit{\Omega}$ において微分可能だと仮定する。 $A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}$ とおく。上で示した補題より、各 $i=1,\cdots,m$ に対して

$\begin{aligned} &\left|f_i(\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{h})-f_i(\boldsymbol{x}_0)-\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}a_{ij}h_j}\right|\\ \leq&\displaystyle{\max_{i=1,\cdots,n}\left|f_i(\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{h})-f_i(\boldsymbol{x}_0)-\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}a_{ij}h_j}\right|}\\ \leq&\left|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{h})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)-A\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^m} \end{aligned}$

が成り立つ。したがって

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{h})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)-A\boldsymbol{h}|_{\mathbb{R}^m}}{|\boldsymbol{h}|_{\mathbb{R}^n}}}(|\boldsymbol{h}|_{\mathbb{R}^n}\rightarrow0) \end{aligned}$

が成り立つならば、各 $i=1,\cdots,m$ に対して、

$\begin{aligned} &\displaystyle{\frac{1}{|\boldsymbol{h}|_{\mathbb{R}^n}}}\left|f_i(\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{h})-f_i(\boldsymbol{x}_0)-\displaystyle{\sum_{j=1}^{n}a_{ij}h_j}\right|\\ \leq&\displaystyle{\frac{1}{|\boldsymbol{h}|_{\mathbb{R}^n}}}\left|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{h})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)-A\boldsymbol{h}\right|_{\mathbb{R}^m}\\ \rightarrow&0(|\boldsymbol{h}|_{\mathbb{R}^n}\rightarrow0) \end{aligned}$

が成立する。したがって各 $f_i(\boldsymbol{x})$ は $\boldsymbol{x}_0$ において微分可能であり、

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial f_i}{\partial x_j}}(\boldsymbol{x}_0)=a_{ij} \end{aligned}$

が成立し、特に

$\begin{aligned} (D\boldsymbol{f})(\boldsymbol{x}_0)=\begin{bmatrix}\displaystyle{\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\boldsymbol{x}_0)&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\boldsymbol{x}_0)\\\vdots&&\vdots\\\displaystyle{\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\boldsymbol{x}_0)&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\boldsymbol{x}_0)\end{bmatrix} \end{aligned}$

である。
　逆に補題の後半の不等式を用いることで、すべての $i=1,\cdots,m$ に対して、 $f_i(\boldsymbol{x})$ が $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0$ において微分可能ならば、 $A=\begin{bmatrix}\displaystyle{\frac{\partial f_i}{\partial x_j}}(\boldsymbol{x}_0)\end{bmatrix}$ として

が成立することも分かる。
　次に $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ が $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0$ で連続であるとき、補題より、 $\boldsymbol{x}_0=\begin{bmatrix}x_{0,1}\\\vdots\\x_{0,n}\end{bmatrix}$ とおいて

$\begin{aligned} \displaystyle{\max_{i=1,\cdots,n}\left|x_i-x_{i,0}\right|}\leq\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\right|_{\mathbb{R}^n} \end{aligned}$

および

$\begin{aligned} &\left|f_i(\boldsymbol{x})-f_i(\boldsymbol{x}_0)\right|\\ \leq&\displaystyle{\max_{i=1,\cdots,m}\left|f_i(\boldsymbol{x})-f_i(\boldsymbol{x}_0)\right|}\\ \leq&\left|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)\right|_{\mathbb{R}^m} \end{aligned}$

が成り立つ。したがって $\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\right|_{\mathbb{R}^n}\rightarrow0$ のとき $\displaystyle{\max_{i=1,\cdots,n}\left|x_i-x_{i,0}\right|}\rightarrow0$ であり、

$\begin{aligned} 0\leq&\left|f_i(\boldsymbol{x})-f_i(\boldsymbol{x}_0)\right|\\ \leq&\left|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)\right|_{\mathbb{R}^m}\rightarrow0 \end{aligned}$

を得る。
　逆にすべての $i=1,\cdots,m$ について $f_i(\boldsymbol{x})$ が $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0$ において連続ならば、

$\begin{aligned} \left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\right|_{\mathbb{R}^n}\leq\sqrt{n}\max_{i=1,\cdots,n}\left|x_i\right| \end{aligned}$

および

$\begin{aligned} \left|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)\right|_{\mathbb{R}^n}\leq\sqrt{n}\max_{i=1,\cdots,n}\left|f_i(\boldsymbol{x})\right| \end{aligned}$

が成り立つ。したがって $\displaystyle{\max_{i=1,\cdots,n}x_i}\rightarrow0$ とすれば $\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\right|_{\mathbb{R}^n}\rightarrow0$ となり、更に

$\begin{aligned} {}^{\forall}i\in\{1,\cdots,n\}\left(f_i(\boldsymbol{x})-f_i(\boldsymbol{x}_0)\right) \end{aligned}$

であるから、

$\begin{aligned} 0\leq\left|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)\right|_{\mathbb{R}^n}\leq\sqrt{n}\max_{i=1,\cdots,n}\left|f_i(\boldsymbol{x})\right|\rightarrow0 \end{aligned}$

が成り立つ、すなわち

$\begin{aligned} \left|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)\right|_{\mathbb{R}^n}\rightarrow0 \end{aligned}$

である。

　他方で、 $\mathit{\Omega}$ において $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ が連続（微分可能、 $C^1$ 級）のとき、その定義から、任意の点 $\boldsymbol{x}\in\mathit{\Omega}$ において $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ は連続（微分可能、 $C^1$ 級）である。上で示した示すべき命題の前半部分より、任意の点 $\boldsymbol{x}\in\mathit{\Omega}$ において各 $f_i(\boldsymbol{x}),$ $i=$ $1,$ $\cdots$ $,m$ は連続（微分可能、 $C^1$ 級）であることと同値である。これは各 $f_i(\boldsymbol{x}),$ $i=$ $1,$ $\cdots$ $,m$ が $\mathit{\Omega}$ において連続（微分可能、 $C^1$ 級）であることに他ならない。したがって示すべき命題の後半部分が示された。　 $\blacksquare$ )